普通高等校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)理試題（北京卷）

PAGEPAGE82013北京高考理科數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）選擇題共8小題。每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，則A∩B=()A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2－i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.“φ=π”是“曲線y=sin(2x＋φ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的”A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為開(kāi)始是開(kāi)始是否輸出結(jié)束A.1B.C.D.5.函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與y=ex關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)=A.B.C.D.6.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2xB.y=C.D.7.直線l過(guò)拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于A.B.2C.D.8.設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x0－2y0=2，求得m的取值范圍是A.B.C.D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6題，每小題5分，共30分.9.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，)到直線ρsinθ=2的距離等于.10.若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4=20，a3＋a5=40，則公比q=；前n項(xiàng)和Sn=.11.如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若PA=3，，則PD=；AB=.12.將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是.13.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，則=.14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15.(本小題共13分)在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.(I)求cosA的值；(II)求c的值.16.(本小題共13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率;（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;（Ⅲ）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）17.(本小題共14分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；（Ⅲ）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值.18.(本小題共13分)設(shè)L為曲線C：在點(diǎn)(1，0)處的切線.(I)求L的方程；(II)證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線C在直線L的下方.19.(本小題共14分)已知A、B、C是橢圓W：上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積;(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由.20.(本小題共13分)已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，,…的最小值記為Bn，dn=An－Bn。(I)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列；(III)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，則{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1.參考答案選擇題：1.B2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C二、填空題：9.110.2，11.；412.9613.414.三.解答題：15.解：（I）因?yàn)閍=3，b=2，∠B=2∠A.所以在△ABC中，由正弦定理得.所以.故.(II)由（I）知，所以.又因?yàn)椤螧=2∠A,所以.所以.在△ABC中，.所以.16.解：設(shè)表示事件“此人于3月日到達(dá)該市”（=1,2，…，13）.根據(jù)題意,,且.（I）設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則,所以.(II)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2，且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=,P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)=,所以X的分布列為：故X的期望.(III)從3月517.解：（I）因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,所以AA(II)由（I）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－,則B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，設(shè)平面A1BC1的法向量為，則,即，令，則，，所以.同理可得，平面BB1C1的法向量為,所以.由題知二面角A1－BC1－B1為銳角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為.(III)設(shè)D是直線BC1上一點(diǎn)，且.所以.解得，，.所以.由，即.解得.因?yàn)?，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B.此時(shí)，.18.解:（I）設(shè)，則.所以.所以L的方程為.(II)令，則除切點(diǎn)之外，曲線C在直線的下方等價(jià)于.滿足，且.當(dāng)時(shí)，，，所以，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，所以，故單調(diào)遞增.所以，（）.所以除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方.又解：即變形為，記，則，所以當(dāng)時(shí)，，在（0,1）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在（1，+∞）上單調(diào)遞增。所以.）19.解：（I）橢圓W：的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）.因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分.所以可設(shè)A（1，），代入橢圓方程得，即.所以菱形OABC的面積是.(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形.因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為.由消去并整理得.設(shè)A,C，則，.所以AC的中點(diǎn)為M（，）.因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為.因?yàn)?，所以AC與OB不垂直.所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形.20.（I）(II)(充分性)因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，且，所以因此，,.(必要性)因?yàn)?，?/p>