2022年湖南省長(zhǎng)沙市同升湖國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022年湖南省長(zhǎng)沙市同升湖國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，∠F1MF2=120°，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知∠OMF2=60°，在直角三角形MOF2中可得tan∠OMF2==，進(jìn)而可得b和c的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)a=求得a和b的關(guān)系式．最后代入離心率公式即可求得答案．【解答】解：根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知∠OMF2=60°，∴tan∠OMF2===，即c=b，∴a==b，∴e==．故選B．2.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且成等差數(shù)列，則的值為(

)A． B． C． D．或參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】計(jì)算題．【分析】題意可得，a3=a1+a2，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q2﹣q﹣1=0結(jié)合an＞0可求q，進(jìn)而可求【解答】解由題意可得，a3=a1+a2即a1q2=a1+a1q∴q2﹣q﹣1=0an＞0∵q＞0∴∴故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)試題．3.點(diǎn)P在曲線y=x3﹣x+上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A．[0，]B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．（，]參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率即為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍求出斜率的范圍，最后再根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系k=tanα，求出α的范圍即可．【解答】解：∵tanα=3x2﹣1，∴tanα∈[﹣1，+∞）．當(dāng)tanα∈[0，+∞）時(shí)，α∈[0，）；當(dāng)tanα∈[﹣1，0）時(shí)，α∈[，π）．∴α∈[0，）∪[，π）故選B．4.甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，1，2分別表示甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)，s1，s2分別表示甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2參考答案：B【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；莖葉圖．【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出甲、乙同學(xué)測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)與方差、標(biāo)準(zhǔn)差，即可得出結(jié)論【解答】解：由莖葉圖可知，甲的成績(jī)分別為：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成績(jī)分別為：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故選：B5.兩圓，的公切線有且僅有（

）A.

1條

B.

2

C.

3條

D.

4條參考答案：B6.已知圓柱的上、下底面中心為O1、O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(

)A.10π

B.8π

C.12π

D.12π參考答案：C7.某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83．則x+y的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：B【考點(diǎn)】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】利用平均數(shù)求出x的值，中位數(shù)求出y的值，解答即可．【解答】解：由莖葉圖可知甲班學(xué)生的總分為70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班學(xué)生的平均分是85，總分又等于85×7=595．所以x=5乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是80+y=83，得y=3．∴x+y=8．故選B．8.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且,當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集是（）A.(－2,0)∪(2,+∞)B.(－∞,－2)∪(0,2)C.(－∞,－2)∪(2,+∞)D.(－2,0)∪(0,2)參考答案：B試題分析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有恒成立，所以恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因?yàn)椴坏仁降慕饧?，即不等式的解集，由上分析可得，其解集為∪，故?yīng)選．考點(diǎn)：1、函數(shù)的基本性質(zhì)；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則可知化為；然后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；再由可得函數(shù)在內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖像特征可得，函數(shù)在內(nèi)的正負(fù)性，即可得出所求的解集．9.若，則的解集為

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.某考察團(tuán)對(duì)全國(guó)10大城市進(jìn)行職工人均平均工資與居民人均消費(fèi)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查,與具有相關(guān)關(guān)系,回歸方程

(單位:千元),若某城市居民消費(fèi)水平為7.675,估計(jì)該城市消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為（

）(A)66%

(B)72.3%

(C)67.3%

(D)83%

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知離心率為的雙曲線的左焦點(diǎn)與拋物線的

焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)__________．參考答案：-312.橢圓+=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為．參考答案：16【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由橢圓的方程知，長(zhǎng)半軸a=4，利用橢圓的定義知，△ABF2的周長(zhǎng)為4a，從而可得答案．【解答】解：橢圓+=1中a=4．又過焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成△ABF2，則△ABF2的周長(zhǎng)l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=16．故答案為：16．13.已知函數(shù)，，若存在兩切點(diǎn)，，，使得直線AB與函數(shù)和的圖象均相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.參考答案：【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)判別式，令，得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】由題意，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，令，則點(diǎn)，又由，則，所以切線方程，即，聯(lián)立方程組，整理得，則，令，整理得，且，構(gòu)造函數(shù)，則，，可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，又由，所以，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性與，以及函數(shù)單調(diào)性，求解參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14.在△ABC中，若,則

.參考答案：15.過點(diǎn)作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點(diǎn)恰為，則直線的方程為

.參考答案：4x+9y-13=0;16.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于____參考答案：17.設(shè)為兩個(gè)不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確命題的序號(hào)是

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分15分)如圖，四邊形是正方形，△與△均是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的平面角的正弦值.參考答案：（1）證明：∵是的中點(diǎn)，且，

∴.

∵△與△均是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴，.∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵四邊形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………6′（2）解法1：作于，連接，∵⊥平面，平面∴.

∵，平面，平面，∴⊥平面.∵平面，∴.

∴∠為二面角的平面角.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，在Rt△中，，

在Rt△中，，，在Rt△中，.∴二面角的平面角的正弦值為.

…………15′解法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，,.∴，.設(shè)平面的法向量為，由得令，得，

∴為平面的一個(gè)法向量.∵平面，平面，∴平面平面.連接，則.∵平面平面，平面，∴平面.

∴平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為，

則.

∴.

∴二面角的平面角的正弦值為.

…………15′19.（本小題14分）數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)都有,則：(1)求數(shù)列的前三項(xiàng)；(2)根據(jù)上述結(jié)果，歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.(3)求證：對(duì)任意都有.參考答案：（本小題滿分14分）解：（1）

……3分（2）猜想，（）……5分證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，猜測(cè)成立；……6分②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)有成立

……7分則當(dāng)時(shí)，由,.

……9分故猜測(cè)也成立.

……10分由①②可得對(duì)一切，數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（）……11分(3),

……12分∴對(duì)任意都有.

……14分略20.在塔底的水平面上某點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由此點(diǎn)向塔底沿直線行走30米，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔前進(jìn)米，又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，求塔高．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；解三角形．【分析】作出草圖：先根據(jù)題意確定，在△CED中應(yīng)用余弦定理可求得cos2θ的值，進(jìn)而可確定2θ的值，然后在△CBD中可求得BC的長(zhǎng)度，從而確定答案．【解答】解：如圖所示，BC為所求塔高∵…在△CED中，CE2=DE2+CD2﹣2DE?CD?cos2θ，∴，∴…在Rt△CBD中，答：塔高為15米

…【點(diǎn)評(píng)