2022-2023學年北京市大興區(qū)高一年級下冊期中考試數(shù)學模擬試題（含解析）

2022-2023學年北京市大興區(qū)高一下冊期中考試數(shù)學模擬試題

(含解析)

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選

出符合題目要求的一項.

1.復數(shù)(l+i)(l-i)=()

A.0B.1C.2iD.2

c"-④D?/e÷V2

?-V4

3.已知向量Z=(l,2),?=-(2-,〃?)，若ι∕∕B,則加=()

A.-?B.T4C.4D.1

4.函數(shù)/(x)=sin2x-cos?的X最小正周期是()

π

A.-B.πC.24D.44

2

5.已知復數(shù)Z滿足z?i+l-2i=0,則在復平面內(nèi)Z對應的點的坐標為()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(2,1)D.(-2,1)

6.設平面向量，6，"均為非零向量，則"704)=0”是“=”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.在平面直角坐標系XOy中，角α與角耳均以OX為始邊，它們的終邊關于X軸對稱，若

Sina=；,則cos(a-/?)=()

C?HD.L

A.1B.--

999

8.在。中，α=4,b=5,c=69則sin(∕+6)=()

A.近B.?C不D,也

84416

9.已知ΔJ5C是邊長為2的等邊三角形，。是邊BC上的動點，E是邊4C的中點，則布?亞

的取值范圍是()

A.[-2√3,θ]B.[θ,2√3]C.[-3,0]D.[0,3]

10.已知函數(shù)/(幻=25泊(妙+夕)(o>0,0<9<1^的部分圖象如圖，/(xl)=∕(x2)=-∣,

第二部分(非選擇題共IlO分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復數(shù)1+i的共輸復數(shù)為

12.已知平面向量B滿足同=2,W=I,且￡與B的夾角為與，則,+*.

13.在“8C中，若CSin8=JibcosC,則NC=.

___I_.___

14.已知“5C,AB=I,/C=l,ABAC=?^點。滿足">=5(∕8+∕C),點E滿足

AE=￡D>則N8∕C=,EA-EC=.

15.己知函數(shù)/(x)=2sinx+cos2x,給出下列四個結(jié)論:

①/(X)為奇函數(shù);

②/(X)在區(qū)間［0,2π)內(nèi)有2個零點;

③/(x)的周期是π;

3

④/(x)的最大值為

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知Sina=I?,α∈(θ,^1.

(1)求sin(；-aj的值；

⑵求tan(2。-；)的值.

17.已知復數(shù)z=α+i(αeR),i為虛數(shù)單位.

⑴若囪=1,求。的值；

(2)若三為實數(shù)，求。的值；

1+1

(3)若Z是關于X的實系數(shù)方程χ2+fer+2=O的一個復數(shù)根，求α,b的值.

18.已知函數(shù)/(x)=√Jsin2?υx-cos20x(O<0<2),再從條件①、條件②、條件③中選擇一個

作為已知.

條件①：函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過點(早2)；

條件②：函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到；

條件③：函數(shù)/(》)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.

⑴求/(x)的解析式；

(2)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)當xe[θ,[[時，關于X的不等式/(x)≤m恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

19.如圖，在中，Z5=y,AB=2,/C=26，點。在BC邊的延長線上，且80=6.

⑴求N/C8；

(2)求ANe。的周長.

20.在4/BC中，λ∕3sin^β+^=-cos^β+.

(1)求8的值；

222

(2)給出以下三個條件：Φα-?+c+3c=0;②α=√L6=1;③SΜc=等3若這三

個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題:

(i)求sin/的值；

(ii)求//8。的角平分線5。的長.

21.在“8C中，NC=θ,CB=a,CA=b.

⑴設點P為邊48靠近點A的三等分點，CP=λCA+(?-λ)CB(AeR),求2的值;

⑵設點，…，月_是線段NB的〃等分點，其中"cN*,n≥2.

(i)當"=5時,求I函+函+函+苗I的值；(用含α,46的式子表示)

(ii)求"(函+函+…+西)的值.(用含"，。,瓦。的式子表示)

答案解析

1.D

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法法，準確計算，即可求解.

【詳解】由復數(shù)的運算法則，可得(l+i)(l-i)=l-i+i-(-i)2=2.

故選：D.

2.B

【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.

■'V-hjj▼.兀兀1.7IlIl

【講解】SmFeOSF=5s1nd=5x5=a.

故選：B.

3.B

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示即可求解.

【詳解】由G//B，則lx%-(-2)χ2=0,得加=-4.

故選：B.

4.B

【分析】化簡/(x)解析式，由此求得/(x)的最小正周期.

【詳解】/(x)=-cos2x,最小正周期為7=夸=乃.

故選：B

5.C

【分析1由題意可解出z=2+i,則可得到復平面內(nèi)Z對應的點的坐標為(2,1).

【詳解】因為z?i+l-2i=0,所以z=qa=(T：2i)i=2+i,

從而復平面內(nèi)Z對應的點的坐標為(2,1),

故選：C.

6.B

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.

【詳解】由5=3得加_工=6,得7R-W)=0;反之不成立.

故“￡?0-工)=O"是%=c”的必要不充分條件.

故選：B.

本題主要考查判斷命題的必要不充分條件，涉及向量數(shù)量積，屬于基礎題型.

7.D

【分析】由題意，求出α與P的關系，再運用二倍角余弦公式求解.

【詳解】由題意作下圖：

/3=2π-a,COS(C-〃)=cos(2α-2π)=cos2ɑ=l-2sin2ɑ=—；

故選：D.

8.A

【分析】根據(jù)余弦定理求得CoSC=結(jié)合三角函數(shù)的基本關系式，利用SinQ+8)=SinC,

8

即可求解.

【詳解】因為α=4,b=5,c=6,由余弦定理可得COSC='一°、=4七-二￡.=1,

2ah2×4×58

又O<C<兀，貝IJSinC=JI-COS20=之互，

8

又因為4+B+C=π,所以sin(4+B)=SinC=—.

故選：A.

9.C

【分析】利用基底的思路結(jié)合共線向量表示出屁.通=3/1-3,然后根據(jù)丸的取值范圍計算

即可.

設麗=X品，則7r[0,l],

展.詬=；怦+網(wǎng)卜就-網(wǎng)

22

=^λBA-~BC-∣∑4∣+λ∣BC∣-5J?βc)

=∣(22-4+42-2)

=32-3,

所以而?功的取值范圍為[-3,0].

故選：C.

10.C

【分析】首先結(jié)合已知條件和圖像求出/(x)的解析式，然后利用函數(shù)的對稱關系求出為與々

之間的關系式，然后通過/&)=-：求出Sincxl+J)=-：,進而即可求出COSf(x2-xl).

2364L6_

【詳解】結(jié)合題意可知，/(0)=2sine=lnsin*=;,

丁OV3<一,?*?(p——,

26

152π2π

又由圖像可知，-T>2=T='>5=0<G<3,

22ω5

SS7ΓS7tτr2

又由/(一)=2sin(-0+—)=O,UP-ω+-=kπ,即G=-----+-kπ,%∈Z,

22626155

從而①=￡,故/'(X)=2Sin(WX+5)，

336

JTTTTT

令一x+—=——!■左∕τnx=l+3左，％∈Z,

362

從而/(M的對稱軸為X=1+3%,%∈Z,

7

由圖像可知，X=Xl與X=X2關于1=一2對稱，即玉+W=-4=工2=-4一須，且再∈(-],一2),

因為/(x∣)=2sin(gx∣+g)=-∣?=>sin(gx∣+?)?-?

362364

所以cos[J(七一X∣)]=cos[g(-4-2x∣)]=cos(gx∣+J+g)=-sin(gx∣+J)=?.

66362364

故選：c.

11.1-i

【分析】根據(jù)共朝復數(shù)定義直接寫出已知復數(shù)的共粗復數(shù)即可.

【詳解】由共軌復數(shù)得定義：復數(shù)1+i的共貌復數(shù)為1-i.

故1-i

12.√3

【分析】利用平面向量數(shù)量積運算公式進行出(￡+5/=3,從而求出B+5∣=6.

［詳解】（〃+4=47^÷?2+2tz?A=∣+∣0÷2∣I^eos?=4+1+41-?J=2,

故,+q二石.

故6

π

13.-##60°

3

【分析】利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成角的形式，然后利用同角三角函數(shù)的關系可求得結(jié)

果.

【詳解】因為CSinB=JJbCosC,

所以由正弦定理得sinCSinB=JJsinBcosC，

因為3∈（0,兀），所以SinB≠0,

所以SinC=VJcosC,

所以tanC=V3，

因為。€（0,兀），

所以。=:，

3

4√π

故W

14.巴-?

316

【分析】先確定。，E點的位置，再根據(jù)數(shù)量積的運算規(guī)則求解.

【詳解】由題意作下圖：

其中點。是BC的中點，點E是工。的中點：

■-?,?I

AB?AC=AB?ACcoSNBAC=1,/.cosZBAC=—,Z.BAC∈（0,π）,.*.NBAC=—,

EA=-DA=一一（AB+JCYEC=EA+AC=--AB+-AC

24、/44f

.?京反=-；（在+可］在3同=吊（2在證43元一珂=吊

故和^T6

15.②④

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的有關性質(zhì)逐項分析.

【詳解】對于①，/(-x)=2sin(-x)+cos(-2x)=-2sinx+cos2x≠-f(x)f不是奇函數(shù)，錯

誤;

2

+∣,令

對于②，/(x)=2SinX+l-2sin2X=-21sinX—?/(x)=0,

2

???∣sinx∣≤l,解得SinX=匕且，對應的X值分別在第三象限和第四象限有一個，正確;

2

對于③，/(x+π)=2sin(x+π)÷cos2(x+π)=-2sinx+cos2x≠?(?),錯誤;

對于④，由②的分析知，/（x）的最大值為］，正確;

故②④.

⑥⑴奈

(2)?

【分析】（1）先求出COSC,再根據(jù)兩角差的正弦公式求解;

（2）先求出tan2α,再根據(jù)兩角差的正切公式求解.

,,Λ

【詳解】⑴因為Sina=片a∈(0,-∣),所以CoSa=JI-Sin?α=,

匕匚卜］./兀??兀兀.√24√23√2

J7T以s?n(——a)=sin-cosa-cos-sina=——×-------×-二——；

444252510

3424

(2)因為sin20=2sinαcosa=2x—x—=—

5525

7

cos2α=2cos2α-l=2×-----1=

2525

Csin2224

所以tan2a=--------=一,

cos2a7

tan2a-tan—*

所以tan(2α-^)=--------------公=J=IZ

4.π24

41+tan2atanl+31?

47

17.(1)0

(2)1

【分析】(I)直接列方程求解即可;

7

(2)把z=α+i(α∈R)代入1一化簡，然后由虛部為零，可求出。的值;

(3)把z="+i(o∈R)代入方程化簡，然后列方程組可求出6的值.

【詳解】(1)因為∣z∣="7W=l,所以α=0.

/C、H&Z(a+i)(l-i)61+1?-ɑ,

(2)因為TTrEV=三十亍Iλ為頭數(shù)，

所以ICa=0，解得Q=L

2

(3)因為Z是關于X的實系數(shù)方程χ2+H+2=o的一個復數(shù)根，

所以(α+i):+b(α+i)+2=0,

整理得a?+ab+l+(2a+b)i=0,

a2+ab+?=O

所以

2a+b-0

18.(l)∕(x)=2sin^2x--

(2)—+kτι,—+ku.k∈Z

'[63

⑶[2,+8)

【分析】(1)化簡函數(shù)得/(x)=2sin(2ox-F),

6

若選①，則把(早2)代入函數(shù)中可求出0的值，則可求出解析式，

若選②，則由三角函數(shù)圖象平移規(guī)律可求出。的值，

若選③，則3=^,求出周期，再利用周期公式可求出。的值；

(2)由」TT+T2T?TπT≤2x-^≤二+2E可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

262

(3)利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出/(x)在Xe0,j上的最大值，從而可求出實數(shù)〃?的取值范圍.

【詳解】(1)/(%)=V3sin2<υx-cos2d>x=2sin(2<yχ-―),

6

選①：函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過點仔,2),則2sin(20x'.)=2,

所以26υχN-E=E+及π,%wZ,貝Ij0=1+3左,左∈Z.

362

JT

由0<o<2,可得G=1,則/(x)=2sin(2x——)；

6

選②：函數(shù)/(X)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到，

即/(X)=2sin(2ox-F)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到,

6

則G=1,貝∣J∕(X)=2sin(2x-5).

6

選③：函數(shù)/(X)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為g,

2

2兀

則函數(shù)的最小正周期為兀，故2勿=一=2,.?.o=l,

π

TT

故/(?)=2Sin(2/--).

(2)令z=2x-J,因為y=sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是-g+2E,^+2Aπ

6L22

且由一百+2Aπ<2x--<-+2kπ,得一二+Aτt≤x≤—+kπ,k∈Z.

26263

所以，/(x)=2sin(2x-F)的單調(diào)遞增區(qū)間是-→?→Aπ,?∈Z.

6[_63

(3)當x∈0]時，2X-YEπ5πJlJsin(2x--≡j∈--1,1,

6,T2

?∕(x)=2sin(2x--^j∈[-l,2],

Tr

又當x∈0,-時，關于X的不等式/*)≤沈恒成立，故加≥2,

即實數(shù)加的取值范圍為[2,+8).

π

19.(1)-

O

⑵2+26+2?

【分析】(I)在AZlBC中，利用正弦定理即可求解；

5TT

(2)由(1)可求得CD=2,ZACD=,在A/C。中，利用余弦定理可求CD,從而可求AACD

的周長.

ACAB

【詳解】（1）在。中，由正弦定理

sinBsinZACB

又∕8=g,AB=I,∕4C=2√3.

所以SinNNCB=生鏟=；.

因為N4C8∈(0√r),所以NZC8=夕Tr或5TT

66

若N4CB=學,則NNCB+/8=等+?＞兀，與三角形兩角和定理矛盾，故舍去,

663

TT

所以N4C8=V.

6

(2)在“8C中,因為NBRC=π-NB-N4CB=]

所以“8C是直角三角形，又/8=2,AC=2也，

所以BC=y∣AB2+AC2=4，

又因為5。=6,所以8=2,

5JT

因為NJa)=π-4C8=-,

6

所以在AZCZ)中，由余弦定理4)2=C42+C02-2C4?CZ)COSN4CZ)

得/￡)2=28，所以4)=2√7,

所以，”C。的周長為2+20+2".

20.(1)8號

(2)正確條件為①③，G)SirU=邁，(ii)BD=-

148

【分析】（1）利用和角正弦公式可得2sin（8+gj=o,結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求8的

值；

（2）根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，（i）應用余弦定理、三角形面積公式求各邊長,

最后由正弦定理求sin/；

（ii）由角平分線性質(zhì)求得N/8。=],再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式求出

sinAADB,再根據(jù)正弦定理求BD的長.

【詳解】⑴由題設扇“8+看卜時8+升25畝（8+務0,

r_πCπ4π

而：<8+;<-,

333r

所以8+W=π,故5=勺；

33

(2)若①②正確，則/+3C+2=(C+1)(C+2)=0,得C=-I或C=-2,

所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，

若②③正確，則SA““=1"sinC=曳l,可得SinC=二＞1,即②為錯誤條件,

△ABC242

綜上，正確條件為①③，

(i)?2accosB=a2+c2-b29則c(3-4)=O,即α=3,

又SABC=~acsin3="",可得c=5,

Δ∕?0C24

所以9-"+25+15=0,可得6=7,則-^7=~^=??,

sinAsinB√3

4√r?λ35∕J

∏xsinA=----;

14

(ii)因為Sin/=邁且∕e]θ,1],得COSZ=Jl-Sin2/=U,

14I3)14

TT

由5。平分//8C得448。=§,

在△仙中，sm∕"5=sm(4如/)=與***竽,

?3√3

5×-----

BDAB15

在AZBO中，由得BD=—科-

sin4s