中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：相似三角形的探索性問(wèn)題

相似三角形的探索性問(wèn)題探索性問(wèn)題一般沒有明確的結(jié)論，沒有固定的形式和方法，要求學(xué)生通過(guò)自己的觀察、分析、比較、概括，得出結(jié)論，形成方法和思路的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這類題是考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要題型，它可以分為三類：A圖1PCA圖1PCB條件探索性問(wèn)題是指所給問(wèn)題中結(jié)論明確，而需要完備使結(jié)論成立的條件的題目，這類問(wèn)題大致分為兩種類型：一是問(wèn)題中的條件未知或不足需要探求，二是條件多余或有錯(cuò)，要求排除或修正.例1:如圖1,已知△ABC,P是AB邊上的一點(diǎn),連結(jié)CP.要使△APC∽△ACB,則應(yīng)添加一個(gè)條件是_______.分析:⑴∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB)時(shí),可得到△APC∽△ACB;⑵即△APC∽△ACB方法探究:在△APC和△ACB中,已有一角對(duì)應(yīng)相等,因此添加的條件應(yīng)從“有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”和“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形形似”兩個(gè)途徑進(jìn)行思考，本題是一個(gè)條件探究題，這類問(wèn)題一般解法是把結(jié)論當(dāng)作已知反溯條件.二、結(jié)論探索性問(wèn)題它是指題目結(jié)論不確定,不唯一,或題目結(jié)論需要通過(guò)類比引申推廣,或題目給出特例,要通過(guò)歸納總結(jié)出一般結(jié)論.BACDEF圖2例2:已知:如圖2,△ABC中,點(diǎn)D.E分別在邊AB.AC上,連結(jié)DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)DC.BE.若BACDEF圖2(1)寫出圖中三對(duì)相似三角形(注意:不得加字母和線);(2)請(qǐng)?jiān)谀闼页龅南嗨迫切沃羞x取一對(duì),說(shuō)明他們相似的理由.分析:先由角的關(guān)系入手,由∠BDE+∠BCE=180°和圖形中∠BDE+∠ADE=∠BCE+∠ECF=180°,可得∠BDE=∠ECF,∠ADE=∠BCE,易得△ADE∽△ACB(∠A為公共角)、△ECF∽△BDF(∠F為公共角),其次，由△ECF∽△BDF得可得△FDC∽△FBE(∠F為公共角).解：⑴△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE.⑵①△ADE∽△ACB.證明如下：∵∠BDE+∠BCE=180°.又∵∠BDE+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠BCE.∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB。②△ECF∽△BDF.證明如下：∵∠BDE+∠BCE=180°，又∵∠BCE+∠ECF=180°，∴∠BDE=∠ECF.∵∠F=∠F，∴△ECF∽△BDF.③△FDC∽△FBE.證明如下：∵∠BDE+∠BCE=180°，又∵∠BCE+∠ECF=180°，∴∠BDE=∠ECF.∵∠F=∠F，∴△ECF∽△BDF.∴∵∠F=∠F，∴△FDC∽△FBE.反思:這是一道結(jié)論開放型試題,這種題型要求根據(jù)題意去探求,往往結(jié)論不唯一,具有開放性,解題時(shí),要充分利用已知條件進(jìn)行大膽而合理的猜想,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,這就要求平時(shí)要注意發(fā)散性為司和所學(xué)基本知識(shí)的應(yīng)用能力的培養(yǎng).圖3CED圖3CEDBAFM存在性問(wèn)題是指在一定的條件下,探索某種數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的問(wèn)題.例3:如圖3,DE是△ABC的中位線,∠B=AF∥BC,在射線AF上是否存在一點(diǎn)M，使△MEC與△ADE相似?若存在,請(qǐng)先確定M,并說(shuō)明這兩個(gè)三角形為何相似?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析:存在,過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線交AF于點(diǎn)M(或作∠MCA=∠AED).連接MC,∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,AE=EC.又ME⊥AC,∴AM=CM,∠MAC=∠MCA.又∵AF∥BC,∴AF∥DE,∴∠AED=∠MAC,∴∠AED=∠MCA,又∠ADE=∠MEC=∴△ADE∽△M