中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：探索規(guī)律型問題歸類解析

探索規(guī)律型問題歸類解析探索規(guī)律型問題是歷年中考數(shù)學(xué)試題中的重要題型之一，其特點是給出一組變化了的數(shù)字、式子、表格、圖形等，要求學(xué)生通過觀察、歸納、猜想、驗證、類比，探求其內(nèi)在規(guī)律．1.通用的解題策略解答規(guī)律型問題一般要從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗證結(jié)論．這種“特殊——一般——特殊”的解題模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，也正是人們認識新事物的一般過程．具體來說，就是先寫出開頭幾個數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比或縱比找出各部分的特征，寫出符合要求的結(jié)果．例1如圖1，房間地面的圖案是用大小相同的黑、白正方形鑲嵌而成． 圖中，第1個黑色“L”形由3個正方形組成，第2個黑色“L”形由7個正方形組成，…那么組成第6個黑色“L”形的正方形個數(shù)是()(A)22(B)23(C)24(D)25解析從特例入手：如圖1．縱比正方形的個數(shù)3，7，11，15中，后一個數(shù)比前一個大4（即相鄰兩數(shù)的差為4），猜想與4有關(guān)．橫比3與1，7與2，11與3，15與4之間有何關(guān)系？聯(lián)想到與4有關(guān)，故改寫為：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想組成第6個黑色L形的正方形個數(shù)是4×6－1＝23個．故選B．點評考察相鄰兩數(shù)的差（或商）是探究數(shù)字規(guī)律的常用手段．常見的類型有：相鄰兩數(shù)的差（或商）相等或成倍數(shù)關(guān)系，相鄰兩數(shù)的差相等與商相等交替出現(xiàn)等．2.關(guān)注特殊數(shù)列(1)斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其規(guī)律為：從第三項開始，每一項都等于前兩項之和）；(2)平方數(shù)數(shù)列：1，4，9，16，25，36…（其規(guī)律為：n2，即每一項都等于項數(shù)的平方）．例2有一組數(shù)：1，2，5，10，17，26…請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個數(shù)為_______．解析規(guī)律為：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．點評此類題要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形數(shù)列：1，3，6，10，15，21，…（其規(guī)律為1＋2＋3＋…＋n）例3世界上著名的萊布尼茨三角形如圖2所示，則排在第10行從左邊數(shù)第3個位置上的數(shù)是：()（A） （B） （C） （D）解析從第3行起，從左邊數(shù)第3位置上的數(shù)分別為，，，，…它們的分母可分別改寫為：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形數(shù)，故答案為：．選B．(4)楊輝三角形，楊輝三角形斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上”的兩數(shù)之和，如圖3．(5)與等差等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列．如例1中3，7，11，15…就是一個等差數(shù)列．例4數(shù)字解密：第一個數(shù)是3＝2＋1，第二個數(shù)是5＝3＋2，第三個數(shù)是9＝5＋4，第四個數(shù)是17＝9＋8，……觀察并猜想第六個數(shù)應(yīng)是_______．解析第二個加數(shù)1，2，4，8…規(guī)律為2n（為一等比數(shù)列，也要關(guān)注這一數(shù)列），第一個加數(shù)2，3，5，9…比第二個加數(shù)大1．所以第六個數(shù)為(25＋1)＋25＝65．例5一組按規(guī)律排列的數(shù)：…請你推斷第9個數(shù)是________．解析這列數(shù)的分母為2，3，4，5，6…的平方數(shù)，分子形成二階等差數(shù)列，依次相差2，4，6，8…故第9個數(shù)分子為1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母為100，故答案為．(6)與循環(huán)有關(guān)的問題例6讓我們輕松一下，做一個數(shù)字游戲：第一步：取一個自然數(shù)n1＝5，計算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位數(shù)字之和得n2，計算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位數(shù)字之和得n3，再計算n32＋1得a3；…… 依此類推，則a2008＝_______． 解析根據(jù)題意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)就出現(xiàn)一次循環(huán)．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．點評一列數(shù)由某m個數(shù)循環(huán)出現(xiàn)組成，可依據(jù)同余等值(由n＝p·m＋r得an＝ar)實施轉(zhuǎn)換．(7)分奇數(shù)項偶數(shù)項的問題例7一組按規(guī)律排列的式子：，…(ab≠0)，其中第7個式子是________，第n個式子是_(n為正整數(shù))．解析6的指數(shù)2，5，8，11…，相鄰兩數(shù)差為3，是等差數(shù)列，其規(guī)律為3n－1；再注意到奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，則第n個式子為第七個式子為3.特殊數(shù)列的遷移例8把數(shù)字按如圖4所示排列起來，從上開始，依次為第一行、第二行、第三行、…，中間用虛線圍的一列，從上至下依次為1.5.13.25.…，則第10個數(shù)為_______．解析1中間框出的一列數(shù)的規(guī)律為：第n個數(shù)為1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10個數(shù)為1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2用虛線圈出的一列數(shù)1，5，13，25可改寫為：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10個數(shù)為92＋102＝181．點評此列數(shù)可看成是平方數(shù)數(shù)列的遷移．例9圖5中是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘．a(chǎn)，b，c，d是相鄰兩行的前四個數(shù)，那么當(dāng)a＝8時，c＝_______，d＝_______． 解析除兩邊外，中間的每個數(shù)等于肩上兩數(shù)的和．答案：9；32．點評此列數(shù)可看成是楊輝三角形的遷移．4.關(guān)注中考新題型例10觀察圖6所示表格，依據(jù)表格數(shù)據(jù)排列的規(guī)律，數(shù)2008在表格中出現(xiàn)的次數(shù)共有_______次．解析從特例入手，通過擴充表格可得：數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出現(xiàn)次數(shù)分別為1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出現(xiàn)的次數(shù)恰為給定數(shù)的所有因數(shù)的