人教版七年級數(shù)學(xué)下冊全冊大單元教學(xué)設(shè)計

人教版七年級數(shù)學(xué)下冊全冊大單元教學(xué)設(shè)計

原創(chuàng)作者李想

5.1相交線(單元教學(xué)設(shè)計)

一、【單元目標(biāo)】

通過觀察現(xiàn)實生活中的圖片，了解相交線的相關(guān)概念，包括對頂角、鄰補角、垂線和“三

線八角”的概念認識與拓展，形成對知識點的全面認識，并促進學(xué)生思維的發(fā)展；

(1)構(gòu)造生活中的具體情境，讓學(xué)生通過實例歸納總結(jié)出對頂角和鄰補角的概念和性

質(zhì)；掌握垂線和垂線段的概念，同時理解點到直線的距離；同時通過線段的位置關(guān)系理解“三

線八角”的概念，并能正確識別圖形中出現(xiàn)的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角；學(xué)會從生活實際

抽象出具體的概念；

(2)通過小組合作探究，讓學(xué)生參與教學(xué)過程，加深對基礎(chǔ)概念的理解，提升了學(xué)生

的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進一步發(fā)展了學(xué)生的類比推理素養(yǎng)；

(3)通過典型例題的訓(xùn)練，加強學(xué)生的做題技巧，訓(xùn)練做題的方法，提升學(xué)生的邏輯

推理素養(yǎng)；

(4)在師生共同思考與合作下，學(xué)生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學(xué)思想，同時提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；

(5)通過觀察圖片，提高學(xué)生的觀察事物的能力，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)

生的人文素養(yǎng)；

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

'對頂角、鄰補角

垂線

相交線＜(同位角

三線八角《內(nèi)錯角

、(同旁內(nèi)角

三、【學(xué)情分析】

1.認知基礎(chǔ)

本節(jié)內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)，同時也是理解角的關(guān)鍵；在小學(xué)階段我們就已經(jīng)學(xué)習(xí)了角的概

念，對于角的大小和計算有一定的了解，但本節(jié)內(nèi)容拓展了角的概念，豐富了對角的理解;

2.認知障礙

學(xué)生在理解對頂角、鄰補角和垂線的相關(guān)概念時，往往比較直觀，對概念的理解和把握

比較準(zhǔn)確，但涉及到“三線八角”問題時容易混淆同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的概念，主要

在于對概念的深入理解不夠，缺乏舉一反三的能力;

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：約3課時

教學(xué)重點：對頂角、鄰補角的概念，垂線和垂線段的概念與表示；同位角、內(nèi)錯角和

同旁內(nèi)角的概念；

教學(xué)難點：點到直線的距離和垂線的性質(zhì)；“三線八角”的識別與應(yīng)用；

五、【教學(xué)問題診斷分析】

5.1.1對頂角、鄰補角概念

問題1：同學(xué)們，你們看這座宏偉的大橋，它的兩端有很多斜拉的平行鋼索，橋的側(cè)面

有許多相交鋼索組成的圖案；圍棋棋盤的縱線相互平行，橫線相互平行，縱線和橫線相交.這

些都給我們以相交線、平行線的形象.在我們生活中，蘊涵著大量的相交線和平行線.那么

兩條直線相交形成哪些角？這些角又有什么特征？

【破解方法】通過身邊熟悉的環(huán)境場景，引發(fā)學(xué)生的思考，掌握直線相交形成的對頂角

和鄰補角；掌握對頂角相等，鄰補角互補的性質(zhì)；

問題2：下列圖形中/I與/2互為對頂角的是（）

【破解方法】判斷對頂角只看兩點：①有公共頂點；②一個角的兩邊分別是另一個角的

兩邊的反向延長線.

【解析】觀察N1與N2的位置特征，只有C中N1和/2同時滿足有公共頂點，且N1

的兩邊是N2的兩邊的反向延長線.故選C.

問題3：如圖所示，直線和切相交所成的四個角中，/I的鄰補角是

【破解方法】鄰補角的定義包含了兩層含義：相鄰且互補.但需要注意的是：互為鄰補

角的兩個角一定互補，但互補的角不一定是鄰補角.

【解析】根據(jù)鄰補角的概念判斷：有一個公共頂點、一條公共邊，另一邊互為延長線.Z

1和/2、/I和/4都滿足有一個公共頂點和一條公共邊,另一邊互為延長線,故為鄰補角.故

答案為/2和/4.

問題4：如圖，直線4?、切相交于點。，若/"力=42°,0A平■分4COE,求/加^的度

數(shù).

【破解方法】解決此類問題的關(guān)鍵是在圖中找出對頂角和鄰補角，根據(jù)兩種角的性質(zhì)找

出已知角和未知角之間的數(shù)量關(guān)系.

【解析】由對頂角相等得//%=/夕勿=42°.?/平分/儂，：.ZC0E=2ZA0C=

84°.由鄰補角的性質(zhì)得/戊應(yīng)=180°—應(yīng)=180°-84°=96°.

5.1.2垂線的概念與性質(zhì)

問題5：如圖，已知點。在直線上，COLDO于點、0,若Nl=150°,則N3的度數(shù)為

【破解方法】兩條直線垂直時，其夾角為90°；由一個角是90°也能得到這個角的兩

條邊是互相垂直的.

【解析】先根據(jù)鄰補角關(guān)系求出N2=180°-150°=30°,再由CO，。。得出N80=

90°,最后由互余關(guān)系求出/3=90°—/2=90°-30°=60°.故選D.

問題6：(1)如圖①，過點戶畫46的垂線；

⑵如圖②，過點尸分別畫的、如的垂線;

⑶如圖③，過點/畫8c的垂線.

pA

4BO

圖①圖②

【破解方法】垂線的畫法需要三步完成:一落:讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，

使其與已知直線重合；二移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經(jīng)過所給的點；三畫：沿

此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線.

【解析】分別根據(jù)垂線的定義作出相應(yīng)的垂線即可.

解：如圖所示.

問題7：如圖，是一條河，C是河邊力6外一點.現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到C處,

請在圖上畫出應(yīng)該如何鋪設(shè)水管能讓路線最短，并說明理由.

【破解方法】在利用垂線的性質(zhì)解決生活中最近、最短距離的問題時，要依據(jù)“兩點之間,

線段最短”和“垂線段最短”來解決.

【解析】根據(jù)垂線的性質(zhì)可解，即過C作血位?，根據(jù)“垂線段最短”可得方最短.

解：如圖所示，沿方鋪設(shè)水管能讓路線最短，因為垂線段最短.

C

5.1.3同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的概念

問題8：如圖，/I和N2是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？Z1

和N3是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？

D\2/B

【破解方法】①同位角中的“同”字有兩層含義：一同是指兩角在截線的同旁，二同是

指它們在被截兩直線同方向；②在表述''三線八角”中某種位置關(guān)系的角時，可用以下方法：

“/X和/X是直線義和直線X被直線X所截形成的X角”.

【解析】識別同位角要弄清哪兩條直線被哪一條直線所截.也就是說，在辨別這些角之

前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線.

解：/I和/2是直線用2c被直線力8所截形成的同位角，N1和N3是直線/反CD

被直線所所截形成的同位角.

問題9：如圖，下列說法錯誤的是（）

A.//與是同旁內(nèi)角

B./3與N1是同旁內(nèi)角

C./2與N3是內(nèi)錯角

D.N1與N2是同位角

【破解方法】在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必

有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即

為被截的線.同位角的邊構(gòu)成“F”型，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z”型，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”

型.

【解析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的基本模型判斷.A中//與N6形成“U”型，

是同旁內(nèi)角；B中N3與N1形成“U”型，是同旁內(nèi)角；C中N2與N3形成“Z”型,是內(nèi)

錯角；D中/I與/2是鄰補角，該選項說法錯誤.故選D.

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1.三條直線相交于一點，形成（）對頂角

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】兩條直線相交于一點，形成兩對對頂角，把三條直線相交于一點，拆開成三種兩條

直線相交于一點的情況，再判斷對頂角的對數(shù).

【詳解】解：三條直線相交于一點，拆開成三種兩條直線相交于一點的情況，

因為兩條直線相交于一點，形成兩對對頂角，

所以三條直線相交于一點，有3個兩對對頂角，共6對對頂角.

故選：D.

【點睛】本題考查了對頂角的定義，注意對頂角是兩條直線相交而成的四個角中，沒有公共

邊的兩個角.

2.N1的對頂角是N2,N2的鄰補角是/3,若N3=50。，則N1的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.130°D.50°或130°

【答案】C

【分析】根據(jù)對頂角相等、鄰補角互補的性質(zhì)求解.

【詳解】解：的鄰補角是N3,Z3=50°,

/.Z2=130°,

:N1的對頂角是N2,

Zl=130°,

故選：C.

【點睛】本題考查對頂角的性質(zhì)以及鄰補角的定義，解決本題的根據(jù)是熟記對頂角、鄰補角

的定義.

3.如圖，下列說法錯誤的是（）.

A.N1與N4是同旁內(nèi)角B.N1與N3是內(nèi)錯角

C.N2與N4是內(nèi)錯角D.N2與N3是同位角

【答案】D

【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的意義，可得答案.

【詳解】解；A、N1與N4是同旁內(nèi)角，故此選項不符合題意;

B、N1與N3是內(nèi)錯角，故此選項不符合題意；

C、N2與/4是內(nèi)錯角，故此選項不符合題意；

D、N2與/3是同旁內(nèi)角，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角

或同旁內(nèi)角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定.在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)

從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在

同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成“F"形，內(nèi)錯角的邊

構(gòu)成“Z"形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形.

4.N1與N2是對頂角，N2與/3是鄰補角，則Nl+N3=度.

【答案】180

【分析】根據(jù)對頂角相等，鄰補角互補即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，

Z1=Z2,Z2+Z3=180°,

Zl+Z3=180°,

故答案為180.

【點睛】本題考查對頂角相等，鄰補角互補，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到角度關(guān)系.

5.如圖，過直線AB上一點0作射線OC,ZBOC=30。，OD平分ZAOC,則ZDOC的度

數(shù)為.

【分析】先根據(jù)ZBOC=30。，求出NAOC=150。，再根據(jù)平分ZAOC,即可得出答案.

【詳解】解：；々6^=30。，

ZAOC=180°-ZBOC=180°-30°=150°,

?/OD平分/AOC,

...ZDOC=-ZAOC=-xl50°=75°.

22

故答案為：75°.

【點睛】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計算，領(lǐng)補角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)鄰補角求

出NAOC=150。.

6.如果把圖看成是直線鰭被直線切所截，那么

（1）/I與/2是一對什么角？

（2）/3與N4呢？N2與/4呢？

【答案】（1）/I與N2是一對同位角；（2）/3與N4是一對內(nèi)錯角，/2與N4是一對

同旁內(nèi)角

【分析】同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一側(cè)的角，

我們把這樣的兩個角稱為同位角；內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線

的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角；同旁內(nèi)角：兩

條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截直線之間的兩角，叫做同旁內(nèi)角；由以上

概念進行判斷即可.

【詳解】解：直線/6,廝被直線切所截，

(1)/1與N2是一對同位角；

(2)/3與N4是一對內(nèi)錯角，/2與N4是一對同旁內(nèi)角.

【點睛】本題考查同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角的識別，掌握這幾種角的基本定義是解題關(guān)

鍵.

2.課堂檢測

設(shè)計意圖：例題變式練.

【變式11如圖,兩條直線AB與8相交于點。，0E是射線，則圖中共有鄰補角和對頂角

的數(shù)量分別為()

C.8對，4對D.4對，4對

【答案】A

【分析】根據(jù)鄰補角與對頂角的定義找出鄰補角和對頂角即可求解.

【詳解】解：?.?兩條直線A3與8相交于點。，0E是射線,

對頂角有：NAOC與NBOD,NCOB與N4OD,共2對,

鄰補角有：NAOC與NCOB,/AOE與NEOB,/COE與NEOD,NCOB馬/BOD,ZAOD

與NBOD,ZAQD與NAOC,共6對

故選:A

【點睛】本題考查了鄰補角與對頂角的定義，掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，直線A。、3E被直線8尸和AC所截，下列說法正確的是()

A.N3與N4是同旁內(nèi)角B.N2與N5是同位角

C.N6與N1是內(nèi)錯角D.N2與N6是同旁內(nèi)角

【答案】D

【分析】根據(jù)定義判斷可得.

【詳解】A：N3與N4是內(nèi)錯角，錯誤

B：N2與/5不是同位角，錯誤

C：/6與N1不是內(nèi)錯角，錯誤

D：N2與/6是同旁內(nèi)角，正確

故選：D.

【點睛】本題考查了三線八角模型的相關(guān)知識，理解三種角的定義是解題關(guān)鍵.內(nèi)錯角：兩

條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣

一對位置關(guān)系的角叫做內(nèi)錯角；同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，被截

兩直線的同一方，具有這樣一對位置關(guān)系的角叫同位角；同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直

線所截，在兩條直線之間，并在第三條直線同旁的兩個角.

【變式3】如圖，AO1.BO于點。，直線。經(jīng)過點。，且NBODNAOC=2：5,則ZAOD

的度數(shù)為一度.

【分析】設(shè)=則N3OD=90。-x,根據(jù)N3ODZAOC=2：5,列出方程，解方程

即可求解.

【詳解】解：,?,AOJ_3O，

ZAOD+ZBOD^90°,

設(shè)NAOD=x,則/3OD=90。-*,

NAOC+NA8=180。，

ZAOC=180°-ZAOD=180°,

,?ZBOD：ZAOC=2：5,

：.(90°-x)：(180°-x)=2：5,

解得x=30。，

ZAOC=30°,

故答案為：30.

【點睛】本題考查的是平角、余角的定義，解題的關(guān)鍵是找到互余、互補的兩個角.

3.課后作業(yè)

設(shè)計意圖：鞏固提升.

1.如圖，已知直線。，b被直線c所截，N1的同旁內(nèi)角是（）

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三

條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角.

【詳解】???直線b被直線c所截，

，N1的同旁內(nèi)角是N2.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了同旁內(nèi)角的概念，掌握同旁內(nèi)角在圖形中的位置是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，點40,8在同一直線上，。。是/AOC的平分線，E0是N3OC的平分線，

NEOC=40°,則/DQ4的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)0E是—3OC的平分線求出—3OC,由鄰補角的定義求出NAOC,再根據(jù)

是/AOC的平分線，即可求解.

【詳解】解：；0E是Z3OC的平分線，ZEOC=40°

ZBOC=2ZEOC=80°,

ZAOC=180°-ZBOC=100°,

是/AOC的平分線，

/.ZDOA=-ZAOC=50°.

2

故選A.

【點睛】本題考查角度的計算，關(guān)鍵是利用角平分線定義求解.

3.下列說法中，正確的是（）

A.有公共頂點，并且相等的角是對頂角

B.如果兩個角不相等，那么它們一定不是對頂角

C.如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角

D.互補的兩個角不可能是對頂角

【答案】B

【分析】根據(jù)對頂角的定義和性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】解：A、有公共頂點，并且相等的角是對頂角，故此說法錯誤；

B、如果兩個角不相等，那么它們一定不是對頂角，故此說法正確；

C、如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角，故此說法錯誤；

D、互補的兩個角不可能是對頂角，故此說法錯誤.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了對頂角的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對頂角的定義和對頂

角相等.

4.已知NA和NB的兩邊互相垂直，且NA比NB的兩倍少60。，則ZB的度數(shù)為.

【答案】60°或80。

【分析】由—A和—3的兩邊分別垂直，即可得NA=ZB或ZA+ZB=180。，又由，A比一3

的兩倍少60。，即可求得Z3的度數(shù).

【詳解】解：.ZA和的兩邊分別垂直，

,ZA=N3或ZA+ZB=18O°,

NA比一3的兩倍少60。，

即ZA=2ZB-6O°,

①當(dāng)ZA=NB時，ZB=2ZB-60°,

:.ZB=60°.

②當(dāng)NA+NB=180。時，

.-.2ZB-60°+ZB=180°,

.-.ZB=80°

二.ZB=60?；?=80。，

故答案為：60?；?0。.

【點睛】此題考查了垂線,解題的關(guān)鍵是掌握由一A和ZB的兩邊分別垂直，即可得N4=々

或ZA+NB=180。，注意分類討論思想的應(yīng)用.

5.如圖，AB±CD,垂足為。.

⑴比較NAOD,NEOB,NAOE的大小，并用號連接.

(2)若ZEOC=28。，求NEO8和/EOD的度數(shù).

c

【答案】⑴ZAOE<ZAOD<Z.EOB

(2)NEOB=118°,Z.EOD=152°

【分析】(1)根據(jù)圖形可判斷各角的大小.

(2)根據(jù)圖形可得=400+90。=118。,，根據(jù)平角的定義求得NEOD.

【詳解】(1)解：：A3LCD,

ZAOD=90°,ZEOB=90°+ZEOC,ZAOE=900-ZEOC,

：.ZAOE<ZAOD<Z.EOB；

(2)VABVCD,

：.NEOB=ZEOC+90°=118°,

ZEOD=180°-NEOC=180°-28°=152°.

【點睛】本題考查了角的關(guān)系，垂直的定義，通過已知角求得未知角，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)

鍵.

6.如圖，汽車站、碼頭分別位于AB兩點，直線匕和波浪線分別表示公路與河流.

(1)從汽車站A到碼頭8怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由；

(2)從碼頭8到公路6怎樣走最近？畫出最近路線2C,并說明理由.

【答案】(1)作圖見解析，理由見解析

(2)作圖見解析，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)兩點之間線段最短解決問題.

(2)根據(jù)垂線段最短解決問題.

【詳解】(1)解：如圖，連接AI,線段即為所求作.

(2)如圖，過點B作3CL6于點C,線段2C即為所求作.

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，垂線段最短，兩點之間線段最短等知識，解題的

關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

5.2平行線及其判定(單元教學(xué)設(shè)計)

一、【單元目標(biāo)】

通過情景導(dǎo)入，歸納總結(jié)出圖形出現(xiàn)的規(guī)律，從而得到平行線的概念；從平行線的關(guān)系

可以發(fā)現(xiàn)存在同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，我們就可以推導(dǎo)出平行線的判定方法；通過這種

循序漸進的教育模式，提高學(xué)生的參與度，促進對知識點的理解，并且加強學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

的興趣；

(1)選擇特點鮮明的圖片，讓學(xué)生從中歸納出平行線的概念，再由平行線的情況發(fā)現(xiàn)

“三線八角”，就可以得到平行線的判定方法；學(xué)生通過完成相關(guān)的例題，加強對概念的理

解和應(yīng)用，同時對復(fù)雜的平行線判定方法有一個直觀的感受；

(2)通過小組合作探究，讓學(xué)生參與教學(xué)過程，加深對基礎(chǔ)概念的理解，提升了學(xué)生

的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進一步發(fā)展了學(xué)生的類比推理素養(yǎng)；

(3)通過典型例題的訓(xùn)練，加強學(xué)生的做題技巧，訓(xùn)練做題的方法，提升學(xué)生的邏輯

推理素養(yǎng)；

(4)在師生共同思考與合作下，學(xué)生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學(xué)思想，同時提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；

(5)通過觀察圖片，提高學(xué)生的觀察事物的能力，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)

生的人文素養(yǎng)；

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

'1、平行線的概念

(同位角相等，兩直線平行

平行線及其判定(2、平行線判定的方法(內(nèi)錯角相等，兩直線平行

(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

、3、平行線判定方法的綜合運用

三、【學(xué)情分析】

1.認知基礎(chǔ)

本節(jié)內(nèi)容是本章的重點內(nèi)容之一，是考試的常考點；這一節(jié)內(nèi)容讓我們學(xué)會了對平行線

的證明，加強對證明方法的理解；“三線八角”證明平行線關(guān)系，也是我們學(xué)好幾何證明的

基礎(chǔ)；

2.認知障礙

學(xué)生在理解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角證明平行線關(guān)系時易產(chǎn)生混亂，導(dǎo)致做題的依據(jù)

不充分，對于復(fù)雜的平行線判定問題，往往會出現(xiàn)束手無策的情況，這里需要加強對角的關(guān)

聯(lián)性計算，同時要靈活運用“三線八角”證明是否是平行線;

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：約2課時

教學(xué)重點：平行線的概念；掌握同位角相等、兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行;

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

教學(xué)難點：平行線判定方法的綜合運用；

五、【教學(xué)問題診斷分析】

5.2.1平行線的概念

問題1：（情境導(dǎo)入）數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，觀察下面的圖片，你發(fā)現(xiàn)

了什么？

【破解方法】學(xué)會觀察周邊的事物，總結(jié)圖形中出現(xiàn)的規(guī)律，再形成基礎(chǔ)概念；通過具

體圖片，幫助學(xué)生掌握兩條線之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力和總結(jié)能力，促進學(xué)生

思維的發(fā)展。

問題2：(平行線的概念)下列說法中正確的有：.

(1)在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行；

(2)在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行；

(3)在同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交；

(4)在同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交；

(5)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和垂直.

【破解方法】同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行和相交.兩條線段平行、

兩條射線平行是指它們所在的直線平行，因此，兩條線段不相交不意味著它們所在的直線不

相交，也就無法判斷它們是否平行.

【解析】根據(jù)平行線的概念進行判斷.線段不相交，延長后不一定不相交，(1)錯誤；

同一平面內(nèi)，直線只有平行和相交兩種位置關(guān)系，(2)(4)正確，(5)錯誤；線段是有長度的，

不平行也可以不相交，(3)錯誤.故答案為(2)(4).

問題3：(過直線外一點畫已知直線的平行線)如圖所示，在NA03內(nèi)有一點P

(1)過點P畫

⑵過點尸畫/2〃。5

(3)用量角器量一量h與/2相交的角與N。的大小有怎樣的關(guān)系.

【破解方法】用兩個三角板，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來畫平行線，然后用量

角器量一量/，與人相交的角，該角與的關(guān)系為相等或互補.

【解析】⑴⑵如圖所示;

(3)/1與/2夾角有兩個：Zl,Z2；Z1=ZO,Z2+ZO=180°,所以人和的夾角與

N。相等或互補.

易錯點撥：注意N2與/。是互補關(guān)系，解答時容易漏掉.

問題4：（平行公理）有下列四種說法：（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線

平行；（2）同一平面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直；（3）直線外一點與直線

上各點連接的所有線段中，垂線段最短；（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行.其中

正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【破解方法】平行線公理和垂線的性質(zhì)兩者比較相近，兩者區(qū)別在于：對于平行線公理

中，必須是過直線外一點可以作已知直線的平行線，但過直線上一點不能作已知直線的平行

線，垂線的性質(zhì)中，無論點在何處都能作出已知直線的垂線.

【解析】根據(jù)平行公理、垂線的性質(zhì)進行判斷.（1）過直線外一點有且只有一條直線與

這條直線平行，正確；（2）同一平面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直，正確；

⑶直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，正確；（4）平行于同一條直線

的兩條直線互相平行，正確；正確的有4個.故答案為D.

問題5：（平行公理的推論）四條直線a,b,c,d互不重合，如果?！?b//c,c//d,

那直線。，d的位置關(guān)系為.

【破解方法】平行公理的推論是證明兩條直線相互平行的理論依據(jù).

【解析】由于a〃4b//c,根據(jù)平行公理的推論得到a〃c,而c〃&所以a〃d故答

案為a//d.

5.2.2平行線的判定

問題6：（應(yīng)用同位角相等，判斷兩直線平行）如圖，N1=N2=55°,N3等于多少

度？直線AB,平行嗎？說明理由.

【破解方法】準(zhǔn)確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到同位角（“F”

型）相等，從而可以應(yīng)用“同位角相等，兩直線平行”.

【解析】Z3=55°,理由如下：VZ3=Z2,Z1=Z2=55°,Z.Z1=Z3

=55°,（同位角相等，兩直線平行）.

問題7：（應(yīng)用內(nèi)錯角相等，判斷兩直線平行）如圖，已知BC平分/AC。，且/1=

Z2,AB與C￡）平行嗎？為什么？

【破解方法】準(zhǔn)確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到內(nèi)錯角（“Z”

型）相等，從而可以應(yīng)用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”.

【解析】A8〃CD理由如下：平分/AC。，AZ1=ZBCD.VZ1=Z2,AZ2=

N8C。，.28〃。（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

問題8：（應(yīng)用同旁內(nèi)角互補，判斷兩直線平行）如圖，Nl=25°,NB=65°,AB

±AC.AD與BC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

【破解方法】準(zhǔn)確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到同旁內(nèi)角

（“U”型）相等，從而可以應(yīng)用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”.

【解析】AO〃BC理由如下：：N1=25°,ZB=65°,AB±AC,：.ZBAD=90°+

25°=115°.VZBAD+ZB=1150+65°=180°,J.AD//BC.

問題9：（平行線判定方法的應(yīng)用）如圖，下列說法錯誤的是（）

ae

A.若a〃6,b//c,則a〃c

B.若/1=N2,則a〃c

C.若N3=/2,貝Ub〃c

D.若/3+N4=180°,貝!Ja〃c

【破解方法】解決此類問題的關(guān)鍵是識別截線和被截線，找準(zhǔn)同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)

角，從而判斷出哪兩條直線是平行的.

【解析】根據(jù)平行線的判定方法進行推理論證.A選項中，若a〃6,b//c,則a〃c,

利用了平行公理，正確；B選項中，若N1=N2,貝l]a〃c,利用了“內(nèi)錯角相等，兩直線平

行”，正確；C選項中，Z3=Z2,不能判斷6〃c,錯誤；D選項中，若N3+N4=180。，

則^〃°,利用了“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，正確.故選C.

5.1.3平行線判定方法的綜合應(yīng)用

問題10：如圖，有以下四個條件：①NB+NBC￡）=180°；②N1=N2；③N3=N4；

④NB=N5,其中能判定的條件有（）

>7]--------7。

A.1個B.2個C.3個D.4個

【破解方法】要判定兩直線是否平行，首先要將題目給出的角轉(zhuǎn)化為這兩條直線被第三

條直線所截得的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，再看這些角是否滿足平行線的判定方法.

【解析】根據(jù)平行線的判定定理即可求得答案.?■.-Z5+Z^=180°,：.AB//CD-,

②?；N1=N2,：.AD//BC-,③,；N3=N4,：.AB//CD；④；N8=N5,.,.能得到

AB//CD的條件是①③④.故選0.

問題11：如圖，直線A3、CD、斯被直線G8所截，Nl=70°,Z2=110°,Z2+Z3

=180。.求證：（1）EF〃AB；（2）CE>〃A2（補全橫線及括號的內(nèi)容）.

證明：(l)VZ2+Z3=180°,Z2=110°(己知),

：.Z3=70°().

又?；/1=70°(已知),

)，

：.EF//AB().

(2)VZ2+Z3=180°,

//（

又：亦〃A8（已證）,

【破解方法】判定兩條直線平行的方法除了利用平行線的判定定理外，有時需要結(jié)合運

用“平行于同一條直線的兩條直線平行”.

【解析】：（1）先將N2=110。代入N2+N3=180。，求出N3=70°,根據(jù)等量代換

得到N1=N3,再由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可得到行〃/8；（2）先由“同旁內(nèi)角互

補，兩直線平行”得出CD//EF,再根據(jù)“兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線

平行”即可得到必〃答案分別為：（1）等量代換；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

⑦CD；EF-,同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；CD-,AB-,平行于同一條直線的兩直線平行.

問題12：如圖，MFLNF于F,MF交AB于點、E,NF交CD于點、G,Zl=140°,Z

2=50°,試判斷AB和CO的位置關(guān)系，并說明理由.

4米EB

【破解方法】在解決與平行線相關(guān)問題時，有時需作出適當(dāng)?shù)妮o助線.

【解析】通過觀察圖可以猜想力8與緲互相平行.過點尸向左作打?,使/頗。=/2=

50°,則可得/版2=40°,再運用兩次平行線的判定定理可得出結(jié)果.

解：過點尸向左作尸。，使/炳!?=/2=50°,則2NFQ=ZMFN—NMFQ=90。-50°=

40°,四〃人?.又因為N1=140°,所以N1+NMR=180°,所以CD〃FQ,所以AB〃微

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1.下列說法正確的是（）

A.兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種

B.同一平面內(nèi)，兩條互相垂直的線段不一定相交

C.直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離

D.兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行

【答案】B

【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系、點到直線的距離的定義逐一判斷即可.

【詳解】A.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種，故本選項錯誤；

B.同一平面內(nèi)，兩條互相垂直的線段不一定相交，故本選項正確；

C.直線外一點到已知直線的垂線段的長度叫點到直線的距離，故本選項錯誤；

D.同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行，故本選項錯誤.

故選：B.

【點睛】此題考查的是兩條直線的位置關(guān)系、點到直線的距離的定義，掌握兩條直線的位置

關(guān)系、點到直線的距離的定義是解決此題的關(guān)鍵.

2.如圖，點E在CB的延長線上，則下列條件中.不能判定AD/8C的是（）

【答案】A

【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結(jié)果.

【詳解】解：Z2=Z3,

:.AB//CD,選項A符合題意；

Zl+Z2+Z6=180°,gpZZMB+ZABC=180°,

.AD//BC,選項B不合題意；

Z1=Z4,

..AD//BC,選項C不合題意；

Z5=Z1+Z2,BPZDAB=ZABE,

.AD//BC,選項D不合題意，

故選：A.

【點睛】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖，過直線外一點作已知直線的平行線，其依據(jù)是（）

A.兩直線平行，同位角相等B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.同位角相等，兩直線平行D.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

【答案】C

【分析】根據(jù)三角板在移動過程中，角度不變，故依據(jù)是同位角相等，兩直線平行，即可求

解.

【詳解】解：如圖，三角板在移動過程中，角度不變，其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵.

4.經(jīng)過直線外一點，有且只有條直線與己知直線平行.

【答案】一##1

【分析】利用平行公理進行分析即可.

【詳解】解：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；

故答案為：一.

【點睛】本題考查了平行公理，能熟記知識點的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

5.如圖，01=30°,ABSAC,要使需再添加的一個條件是.（要求：

添加這個條件后，其它條件也必不可少，才能推出結(jié)論）

【答案】&8=60°（答案不唯一）

【分析】由題意可求出團54。=120。，再根據(jù)"同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”即可知需添加的條

件為：138=60°.

【詳解】可添加條件:0B=6O".

031=30°,AB0AC,

甌&4。=30°+90°=120°.

038=60°,

00B+0BA￡)=18O°,

SAD^BC.

故答案為：回8=60。.(答案不唯一)

【點睛】本題考查垂線的定義，平行線的判定.掌握同旁內(nèi)角互補，兩直線平行是解題關(guān)鍵.

6.填寫下列推理中的空格：

己知：如圖，^BAD^DCB,01=03.求證：AD/7BC.

證明：00BAD=0DCB,01=03(),

00BAZ)-01=0￡>CB-0(),

即回=回.

0AQ/BC().

【答案】已知；3；等式的性質(zhì)；/2=/4；內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【分析】先利用ZfiW=ZDCB,/1=/3得出/2=/4,再利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行"

證明

【詳解】證明：ZBAD=ZDCB,Z1=Z3(已知)，

:./BAD-Nl=NDCB-N3(等式的性質(zhì))，

即Z2=/4.

(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)

【點睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2.課堂檢測

設(shè)計意圖：例題變式練.

【變式1】直線。、b、c在同一平面內(nèi)，下面的四個結(jié)論:

①如果a〃6,a//c,那么6〃c；

②如果a_L6,Z?±c,那么?！╟；

③如果a〃b,bLc,那么。_Lc；

④如果“與b相交，6與。相交，那么。與。相交.

正確的結(jié)論為（）

A.①②③B,①@④C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)定理一一判斷即可.

【詳解】解：①若。b,a\\c,則6c,說法正確，

②若a_L6,bLc,則ac,說法正確，

③若ab,bLc,則a_Lc,說法正確，

④若。與b相交，b與c相交，則。與c相交也可能是平行，故說法錯誤，

正確的有①②③，

故選:A.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于同一直線的兩條直線平行,

平行于同一直線的兩條直線平行.

【變式2】如圖，點。，E,尸分別在工ABC的邊BC,AB,AC上，連接￡>E,DF,在

下列給出的條件中，不能判定AB〃。尸的是（）

A.ZA+Z2=180°B.Z1=Z4C.Z1=ZAD.zS4=Z3

【答案】C

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線

平行.依據(jù)平行線的判定方法進行判斷即可.

【詳解】解：A.若ZA+N2=180。，則AB〃。不（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）；

B.若N1=N4,則尸（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

C.若Z1=N4,則即〃AC（同位角相等，兩直線平行）；

D.ZA=Z3,則口〃。尸（同位角相等，兩直線平行）；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，掌握：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩

直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行是解決問題的關(guān)鍵.

【變式3】如圖，在下列給出的條件中，可以判定AB〃CD的有.

?Z1=Z2；@Z1=Z3；（3）^2^^4；?ZZMB+ZABC=180°：?ZJ^W+ZADC=180°.

【答案】②③⑤

【分析】根據(jù)平行線的判定條件進行逐一判斷即可.

【詳解】解；由N1=N2,不可以證明A8〃CD,故①錯誤；

由/1=/3,可以證明AB〃C￡>（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故②正確；

由12=/4,可以證明（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故③正確；

由NZMB+/ABC=180。，不可以證明AB〃CD,故④錯誤；

由N54￡>+NADC=180。，可以證明AB〃CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），故⑤正確；

故答案為；②③⑤.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟知內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同位角相等，兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行是解題的關(guān)鍵.

【變式4】閱讀下面的解答過程，并填空.

如圖，ZABC=ZACB,30平分/ABC,CE平分NACB,ZDBF=NF.求證：CE//DF.

證明：團3。平分/ABC,CE平分NACB,（已知）

0Z￡）BC=1z,NECB=g/.（角平分線的定義）

又回NABC=NACB,（已知）

03=0.（等量代換）

又=N尸，（已知）

000.（等量代換）

S1CE//DF.（）

【答案】ABC；ACB-DBC-,ECB-ECB-F-同位角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)角平分線的定義，等量代換，同位角相等兩直線平行，聯(lián)系證明過程，可推理

出答案.

【詳解】證明：回3。平分/ABC,CE平分/ACB,（已知）

11

0ZPBC--ZABC,NECB=—NACB.（角平分線的定義）

22

又I2/ABC=/ACB,（己知）

^\ZDBC=ZECB.（等量代換）

又回NDBF=NF,（已知）

B1ZECB=ZF.（等量代換）

S1CE//DF.（同位角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查了平行線的判定，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟悉相關(guān)的幾何定

理，聯(lián)系證明過程進行推導(dǎo).

3.課后作業(yè)

設(shè)計意圖：鞏固提升.

1.如圖，四邊形ABCD中，下列條件可以判定鉆CD的是（）

B./3=/4

C.ZB=ZDD.Z1+Z3=Z2+Z4

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A.0Z1=Z2,ElASCD,符合題意；

B.EIN3=/4,SAD^BC,不符合題意；

C.ZB=/D不能判定ABCD,不符合題意；

D.N1+N3=N2+N4不能判定ASCD,不符合題意.

故選:A.

【點睛】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

2.如圖是兩條直線平行的證明過程，證明步驟被打亂，則下列排序正確的是（）

如圖，已知N1=N3,N2+/3=180。，求證：AB與DE平行.證明：

①：AB//DE-,

②：Z2+Z4