北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練專題全等三角形模型-截長(zhǎng)補(bǔ)短與倍長(zhǎng)中線(原卷版+解析)

全等三角形模型——截長(zhǎng)補(bǔ)短與倍長(zhǎng)中線截長(zhǎng)補(bǔ)短截長(zhǎng)補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法，通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，常見做輔助線方法有：截長(zhǎng)法：截長(zhǎng)補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法，通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，常見做輔助線方法有：截長(zhǎng)法：⑴過某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線；⑵在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法：⑴延長(zhǎng)短邊。⑵通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起，證與長(zhǎng)邊相等。在線段上截取補(bǔ)短：即在較短的線段上補(bǔ)一段線段使其和較長(zhǎng)的線段相等延長(zhǎng)，使得中，是的平分線，且．若，則的大小為A． B． C． D．閱讀：探究線段的和．差．倍．分關(guān)系是幾何中常見的問題，解決此類問題通常會(huì)用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．（1）請(qǐng)完成下題的證明過程：如圖1，在中，，平分．求證：．證明：在上截取，連接（2）如圖2，，，分別平分，，過點(diǎn)，求證：．如圖，在中，平分交于，在上截取．（1）求證：；（2）若，，，求的周長(zhǎng)．（2020秋?武昌區(qū)期中）如圖，中，，、分別平分、，、相交于點(diǎn)（1）求的度數(shù)；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．如圖，在中，，是的平分線，且，求的度數(shù)．如圖，五邊形中，，，，，連接．求證：平分．已知：如圖，在中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的平分線，是上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，．通過觀察，測(cè)量，猜想與之間的大小關(guān)系，并加以證明．已知中，，平分交邊于．（1）如圖（1），當(dāng)時(shí)，證明：；（2）如圖（2），當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，是否有其他兩條線段之和等于，若有請(qǐng)寫出結(jié)論并完成證明．（2020秋?建華區(qū)期末）閱讀下面文字并填空：數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在中，平分，．求證：．”李老師給出了如下簡(jiǎn)要分析：要證，就是要證線段的和差問題，所以有兩個(gè)方法：方法一：“截長(zhǎng)法”．如圖2，在上截取，連接，只要證即可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出△△，得出及，再證出，進(jìn)而得出，則結(jié)論成立．此種證法的基礎(chǔ)是“已知平分，將沿直線對(duì)折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處”成為可能．方法二：“補(bǔ)短法”．如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．只要證即可，此時(shí)先證，再證出△△，則結(jié)論成立．“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法．倍長(zhǎng)中線倍長(zhǎng)中線：即延長(zhǎng)三角形的中線，使得延長(zhǎng)后的線段是原中線的兩倍．其目的是構(gòu)造一對(duì)對(duì)頂?shù)娜热切?；其本質(zhì)是轉(zhuǎn)移邊和角．倍長(zhǎng)中線常見題型：倍長(zhǎng)中線常見題型：已知角平分線+中線證等腰三角形，已知角平分線+高證等腰三角形，已知中線+高證等腰三角形．其中，延長(zhǎng)使得，則．三角形中，是中線，且，，求的取值范圍是．（2021春?碑林區(qū)校級(jí)期中）問題背景：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，則得到，小明證明用到的判定定理是：（用字母表示）；問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．請(qǐng)寫出小明解決問題的完整過程；拓展應(yīng)用：以的邊，為邊向外作和，，，，是中點(diǎn)，連接，．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．如圖，中，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點(diǎn)，、分別為軸負(fù)半軸，軸正半軸上的點(diǎn)，，，，連．如圖，為的中點(diǎn)，求證：．如圖，是的邊上的中線，，是的邊上的中線．求證：．如圖，在中，，是邊上的兩點(diǎn)，，是邊上的中線，則求證．如圖1，中，為的中線，點(diǎn)在上，且．（1）求證：．（2）如圖2，連接，若，，則的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果），如圖，中，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，連接．（1）若要使，應(yīng)添上條件：；（2）證明上題：（3）在中，若．，可以求得邊上的中線的取值范圍．請(qǐng)看解題過程：由得：，，因此，即，而，則請(qǐng)參考上述解題方法，可求得，則的值為．（4）證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（提示：畫出圖形，寫出已知，求證，并加以證明）全等三角形模型——截長(zhǎng)補(bǔ)短與倍長(zhǎng)中線截長(zhǎng)補(bǔ)短截長(zhǎng)補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法，通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，常見做輔助線方法有：截長(zhǎng)法：截長(zhǎng)補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法，通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，常見做輔助線方法有：截長(zhǎng)法：⑴過某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線；⑵在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法：⑴延長(zhǎng)短邊。⑵通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起，證與長(zhǎng)邊相等。在線段上截取補(bǔ)短：即在較短的線段上補(bǔ)一段線段使其和較長(zhǎng)的線段相等延長(zhǎng)，使得中，是的平分線，且．若，則的大小為A． B． C． D．【分析】可在上取，則由題中條件可得，即，再由三角形的外角性質(zhì)即可求得的大?。窘獯稹拷猓喝鐖D，在上取，是角平分線，，△，，又，，，，．故選：．閱讀：探究線段的和．差．倍．分關(guān)系是幾何中常見的問題，解決此類問題通常會(huì)用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．（1）請(qǐng)完成下題的證明過程：如圖1，在中，，平分．求證：．證明：在上截取，連接（2）如圖2，，，分別平分，，過點(diǎn)，求證：．【分析】（1）在上截取，連接，證明，得到，再證明即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)知，再證明即可解決本題．【解答】證明：在上截取，連接，如圖平分，，在和中，，，，，又，，而，，，；（2）延長(zhǎng)、交于，，平分，，在和中，，，，．如圖，在中，平分交于，在上截?。?）求證：；（2）若，，，求的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【解答】證明：（1）平分，，在與中，，，（2），，的周長(zhǎng)（2020秋?武昌區(qū)期中）如圖，中，，、分別平分、，、相交于點(diǎn)（1）求的度數(shù)；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．【分析】（1）利用，、分別平分，，即可得出答案；（2）由題中條件可得，進(jìn)而得出，通過角之間的轉(zhuǎn)化可得出，進(jìn)而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1），、分別平分，，，，，．（2）如圖，在上截取，連接．平分，，在和中，，，，，，在和中，，，．如圖，在中，，是的平分線，且，求的度數(shù)．【分析】在上截取，根據(jù)角平分線的定義可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再求出，從而得到，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程求出，即可得解．【解答】解：如圖，在上截取，平分，，在和中，，，，，，，，，，即，在中，，，解得，．如圖，五邊形中，，，，，連接．求證：平分．【分析】連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到，由，，得到與重合，并且，又由，得到，即，，在一條直線上，而，得，則易證，于是．【解答】證明：如圖，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到，，，與重合，并且，又，而，，，，在一條直線上，而，，，又，，，即平分．已知：如圖，在中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的平分線，是上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，．通過觀察，測(cè)量，猜想與之間的大小關(guān)系，并加以證明．【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，可得答案．【解答】解：，理由如下：在的延長(zhǎng)線上截取，連接，在和中，，，．在中，，即．已知中，，平分交邊于．（1）如圖（1），當(dāng)時(shí)，證明：；（2）如圖（2），當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，是否有其他兩條線段之和等于，若有請(qǐng)寫出結(jié)論并完成證明．【分析】（1）如圖1中，在上截取．只要證明，即可解決問題；（2）結(jié)論：．如圖2中，在、上分別截取，．則，再證明即可解決問題；【解答】解：（1）如圖1中，在上截取．，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，在、上分別截取，．則，，，，，，，，，，，．（2020秋?建華區(qū)期末）閱讀下面文字并填空：數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在中，平分，．求證：．”李老師給出了如下簡(jiǎn)要分析：要證，就是要證線段的和差問題，所以有兩個(gè)方法：方法一：“截長(zhǎng)法”．如圖2，在上截取，連接，只要證即可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出△△，得出及，再證出，進(jìn)而得出，則結(jié)論成立．此種證法的基礎(chǔ)是“已知平分，將沿直線對(duì)折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處”成為可能．方法二：“補(bǔ)短法”．如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．只要證即可，此時(shí)先證，再證出△△，則結(jié)論成立．“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法．【分析】方法一、如圖2，在上截取，由“”可證，可得，，由角的數(shù)量關(guān)系可求，即可求解；方法二、如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，由“”可證，可得，可得結(jié)論．【解答】解：方法一、在上截取，連接，如圖平分，，在和中，，，，，又，，而，，，，故答案為：，轉(zhuǎn)化，，，，，；方法二、如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，，，，，在和中，，，，，故答案為，，．倍長(zhǎng)中線倍長(zhǎng)中線：即延長(zhǎng)三角形的中線，使得延長(zhǎng)后的線段是原中線的兩倍．其目的是構(gòu)造一對(duì)對(duì)頂?shù)娜热切?；其本質(zhì)是轉(zhuǎn)移邊和角．倍長(zhǎng)中線常見題型：倍長(zhǎng)中線常見題型：已知角平分線+中線證等腰三角形，已知角平分線+高證等腰三角形，已知中線+高證等腰三角形．其中，延長(zhǎng)使得，則．三角形中，是中線，且，，求的取值范圍是．【分析】延長(zhǎng)到，使，連接，證，推出，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出，代入求出即可．【解答】解：延長(zhǎng)到，使，連接，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，，，，故答案為：．（2021春?碑林區(qū)校級(jí)期中）問題背景：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，則得到，小明證明用到的判定定理是：（用字母表示）；問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．請(qǐng)寫出小明解決問題的完整過程；拓展應(yīng)用：以的邊，為邊向外作和，，，，是中點(diǎn)，連接，．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【分析】問題背景：先判斷出，由對(duì)頂角相等，進(jìn)而得出；問題解決：先證明，得出，最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；拓展應(yīng)用：如圖2，延長(zhǎng)到，使得，連接，同（1）的方法得出，則，進(jìn)而判斷出，進(jìn)而判斷出，得出，即可求解．【解答】解：?jiǎn)栴}背景：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，是的中線，，在和中，，，故答案為：；問題解決：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，是的中線，，在中，，，，在中，，，，，即，，，；拓展應(yīng)用：如圖2，延長(zhǎng)到，使得，連接，由問題背景知，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，．如圖，中，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．【分析】（1）再延長(zhǎng)至，使，構(gòu)造，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得；（2）直接利用三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再計(jì)算即可．【解答】（1）證明：由，再延長(zhǎng)至，使，為的中點(diǎn)，，在和中，，，在中，，；（2），，，．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點(diǎn)，、分別為軸負(fù)半軸，軸正半軸上的點(diǎn)，，，，連．如圖，為的中點(diǎn)，求證：．【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；【解答】證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，在和中，，，，，，，在和中，，，，．如圖，是的邊上的中線，，是的邊上的中線．求證：．【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，由證得，得出，，易證，得出，證明，由證得，即可得出結(jié)論．【解答】證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示：是的邊上的中線，，在與中，，，，，是的邊上的中線，，，，，在與中，，，．如圖，在中，，是邊上的兩點(diǎn)，，是邊上的中線，則求證．【分析】如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，通過證明，，可得，，利用三角形的三邊關(guān)系可求解．【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是邊上的中線，，且，，，，且，，在中，，在中，，，，．如圖1，中，為的中線，點(diǎn)在上，且．（1）求證：．（2）如圖2，連接，若，，則的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果），【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)到，使，連接，由“”可證，可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得，，即可求解．【解答】證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)到，使，連接，為的中線，，且，且，，，，，，，；（2），為的中線，，，，，，，，故答案為：．如圖，中，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，連接．（1）若要使，應(yīng)添上條件：；（2）證明上題：（3）在中，若．，可以求得邊上的中線的取值范圍．請(qǐng)看解題過程：由得：，，因此，即，而，則請(qǐng)參考上述解題方法，可求得，則的值為．（4）證明：直角