人教版九年級數(shù)學上冊同步練習 第09課 一元二次方程單元檢測（二）（原卷版+解析）

第09課一元二次方程單元檢測(二)一、單選題1．若方程是關于的一元二次方程，則的值是()A．2 B．-2 C． D．32．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列變形結果，正確的是()A．(x﹣4)2＝8 B．(x﹣4)2＝40 C．(x﹣8)2＝8 D．(x﹣8)2＝403．已知關于x的一元二次方程有一個根為，則a的值為()A．0 B． C．1 D．4．國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人．設2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為，根據(jù)題意列方程得()A． B． C． D．5．若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則關于的方程的根的情況是()A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定6．一元二次方程的兩個根為，則的值是()A．10 B．9 C．8 D．77．等腰三角形一邊長為2，它的另外兩條邊的長度是關于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的兩個實數(shù)根，則k的值是()A．8 B．9 C．8或9 D．128．方程的根的情況是()A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有一個根為 D．沒有實數(shù)根9．向陽村2016年的人均收入為12000元，2018年的人均收入為14520元，則人均收入的年平均增長為()A．10%或－210% B．12.1% C．11% D．10%10．設m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，則m2+4m+n＝()A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．511．目前，支付寶平臺入駐了不少的理財公司，推出了一些理財產(chǎn)品.李阿姨用10000元本金購買了一款理財產(chǎn)品，到期后自動續(xù)期，兩期結束后共收回本息10926元設此款理財產(chǎn)品每期的平均收益率為x，則根據(jù)題意可得方程()A． B．C． D．12．《代數(shù)學》中記載，形如的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構造一個面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．”小聰按此方法解關于的方程時，構造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為36，則該方程的正數(shù)解為()A．6 B． C． D．二、填空題13．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的最大整數(shù)值是__________．14．對于實數(shù)，定義運算“◎”如下：◎．若◎，則_____．15．已知關于的方程，，均為常數(shù)，且的兩個解是和，則方程的解是____．16．設方程的兩根為，則______．17．如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于“倍根方程”的說法，正確的有_____(填序號)．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，則；③若滿足，則關于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，則必有．三、解答題18．解方程：(1)；(2)．19．已知關于的方程有實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)設方程的兩根分別是、，且，試求k的值．20．安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量(千克)與每千克降價(元)之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示：(1)求與之間的函數(shù)關系式；(2)商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元？21．已知關于x的一元二次方程，(1)求證：該一元二次方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程只有一個小于4的根，求m的取值范圍；(3)若x1，x2為方程的兩個根，且n＝x12+x22﹣4，判斷動點所形成的數(shù)圖象是否經(jīng)過點，并說22．某企業(yè)為響應國家教育扶貧的號召，決定對某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全體貧困初、高中學生進行資助，初中學生每月資助200元，高中學生每月資助300元．已知該鄉(xiāng)受資助的初中學生人數(shù)是受資助的高中學生人數(shù)的2倍，且該企業(yè)在2018年下半年7﹣12月這6個月資助學生共支出10.5萬元．(1)問該鄉(xiāng)鎮(zhèn)分別有多少名初中學生和高中學生獲得了資助？(2)2018年7﹣12月期間，受資助的初、高中學生中，分別有30%和40%的學生被評為優(yōu)秀學生，從而獲得了該鄉(xiāng)鎮(zhèn)政府的公開表揚．同時，提供資助的企業(yè)為了激發(fā)更多受資助學生的進取心和學習熱情，決定對2019年上半年1﹣6月被評為優(yōu)秀學生的初中學生每人每月增加a%的資助，對被評為優(yōu)秀學生的高中學生每人每月增加2a%的資助．在此獎勵政策的鼓勵下，2019年1﹣6月被評為優(yōu)秀學生的初、高中學生分別比2018年7﹣12月的人數(shù)增加了3a%、a%．這樣，2019年上半年評為優(yōu)秀學生的初、高中學生所獲得的資助總金額一個月就達到了10800元，求a的值．23．如圖，在長方形中，，，動點、分別從點、同時出發(fā)，點以2厘米/秒的速度向終點移動，點以1厘米/秒的速度向移動，當有一點到達終點時，另一點也停止運動.設運動的時間為，問：(1)當秒時，四邊形面積是多少？(2)當為何值時，點和點距離是？(3)當_________時，以點、、為頂點的三角形是等腰三角形.(直接寫出答案)第09課一元二次方程單元檢測(二)一、單選題1．若方程是關于的一元二次方程，則的值是()A．2 B．-2 C． D．3【答案】B【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可．【詳解】由是關于x的一元二次方程，得

，且．

解得：，

故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義．要特別注意二次項系數(shù)這一條件．2．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列變形結果，正確的是()A．(x﹣4)2＝8 B．(x﹣4)2＝40 C．(x﹣8)2＝8 D．(x﹣8)2＝40【答案】D【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可求解．【詳解】x2﹣16x+24=0x2﹣16x+64=﹣24+64(x﹣8)2=40故選D．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解決本題的關鍵是方程兩邊同時加上一次項系數(shù)絕對值的一半的平方．3．已知關于x的一元二次方程有一個根為，則a的值為()A．0 B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，再將代入原式，即可得到答案.【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有一個根為，∴，，則a的值為：．故選D．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的定義.4．國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人．設2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為，根據(jù)題意列方程得()A． B． C． D．【答案】B【分析】等量關系為：2016年貧困人口年貧困人口，把相關數(shù)值代入計算即可．【詳解】解：設這兩年全省貧困人口的年平均下降率為，根據(jù)題意得：，故選B．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，得到2年內(nèi)變化情況的等量關系是解決本題的關鍵．5．若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則關于的方程的根的情況是()A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】利用一次函數(shù)性質(zhì)得出k＞0，b≤0，再判斷出△=k2-4b＞0，即可求解.【詳解】解：一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和一元二次方程根的判別式是解題的關鍵.6．一元二次方程的兩個根為，則的值是()A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【分析】利用方程根的定義可求得，再利用根與系數(shù)的關系即可求解．【詳解】為一元二次方程的根，，．根據(jù)題意得，，．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系以及求代數(shù)式的值，熟練掌握根與系數(shù)的關系，是解題的關鍵．7．等腰三角形一邊長為2，它的另外兩條邊的長度是關于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的兩個實數(shù)根，則k的值是()A．8 B．9 C．8或9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的解法以及等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：①當?shù)妊切蔚牡走厼?時，此時關于x的一元二次方程x2?6x＋k＝0的有兩個相等實數(shù)根，∴△＝36?4k＝0，∴k＝9，此時兩腰長為3，∵2＋3＞3，∴k＝9滿足題意，②當?shù)妊切蔚难L為2時，此時x＝2是方程x2?6x＋k＝0的其中一根，代入得4?12＋k＝0，∴k＝8，∴x2?6x＋8＝0求出另外一根為：x＝4，∵2＋2＝4，∴不能組成三角形，綜上所述，k＝9，故選B．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性質(zhì)．8．方程的根的情況是()A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有一個根為 D．沒有實數(shù)根【答案】B【分析】利用根的判別式可求得答案．【詳解】∵，，，∴，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：B．【點睛】本題主要考查了根的判別式，掌握方程根的情況與根的判別式的關系是解題的關鍵．9．向陽村2016年的人均收入為12000元，2018年的人均收入為14520元，則人均收入的年平均增長為()A．10%或－210% B．12.1% C．11% D．10%【答案】D【分析】設人均收入的年平均增長率為x，根據(jù)向陽村2016年、2018年的人均收入，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】設人均收入的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：12000(1+x)2=14520，解得：x=0.1=10%或x=－2.1(不合題意，舍去).∴人均收入的年平均增長率為10%.故選D.【點睛】本題考查一元二次方程的應用—增長率問題，掌握解決增長率問題的做題方法.10．設m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，則m2+4m+n＝()A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案．【詳解】解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，∴原式＝m2+3m+m+n＝7﹣3＝4，故選B．【點睛】本題考查根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系，屬于基礎題型．11．目前，支付寶平臺入駐了不少的理財公司，推出了一些理財產(chǎn)品.李阿姨用10000元本金購買了一款理財產(chǎn)品，到期后自動續(xù)期，兩期結束后共收回本息10926元設此款理財產(chǎn)品每期的平均收益率為x，則根據(jù)題意可得方程()A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，找出等量關系列出方程，即可得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意，設此款理財產(chǎn)品每期的平均收益率為x，則；故選擇：B.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用——增長率問題，解題的關鍵是找到等量關系，列出方程.12．《代數(shù)學》中記載，形如的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構造一個面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．”小聰按此方法解關于的方程時，構造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為36，則該方程的正數(shù)解為()A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知的數(shù)學模型，同理可得空白小正方形的邊長為，先計算出大正方形的面積=陰影部分的面積+4個小正方形的面積，可得大正方形的邊長，從而得結論．【詳解】x2+6x+m=0，x2+6x=-m，∵陰影部分的面積為36，∴x2+6x=36，4x=6，x=，同理：先構造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為x的矩形，得到大正方形的面積為36+()2×4=36+9=45，則該方程的正數(shù)解為．故選：B．【點睛】此題考查了解一元二次方程的幾何解法，用到的知識點是長方形、正方形的面積公式，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程．二、填空題13．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的最大整數(shù)值是__________．【答案】0【分析】根據(jù)題意可知，代入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根∴解得：∴的最大整數(shù)值是0故答案為：0．【點睛】本題考查的知識點是根的判別式以及一元二次方程的定義，需注意二次項系數(shù)不為0．14．對于實數(shù)，定義運算“◎”如下：◎．若◎，則_____．【答案】-3或4【分析】利用新定義得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．【詳解】根據(jù)題意得，，，，或，所以．故答案為或．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．已知關于的方程，，均為常數(shù)，且的兩個解是和，則方程的解是____．【答案】，【分析】先根據(jù)題意得出或，再將變形為：，進而根據(jù)或計算即得．【詳解】∵關于的方程，，均為常數(shù)，且的兩個解是和∴或∵∴∴或∴或故答案為：，【點睛】本題是求解含參一元二次方程，主要考查換元法，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)已知方程和未知方程的共同特點．16．設方程的兩根為，則______．【答案】【分析】把原方程整理成一般式，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求得，的值，代入即可求解．【詳解】，，．∵，，，，．．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系以及求代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系，是解題的關鍵．17．如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于“倍根方程”的說法，正確的有_____(填序號)．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，則；③若滿足，則關于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，則必有．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”；②根據(jù)“倍根方程”和其中一個根，可求出另一個根，進而得到m，n之間的關系；③當滿足時，有，求出兩個根，再根據(jù)代入可得兩個根之間的關系，講而判斷是否為“倍根方程”；④用求根公式求出兩個根，當或時，進一步化簡，得出關系式，進行判斷即可．【詳解】①解方程，得，，方程不是“倍根方程”．故①不正確；②是“倍根方程”，且，因此或．當時，，當時，，，故②正確；③，，，，因此是“倍根方程”，故③正確；④方程的根為，若，則，即，，，，，，若，則，，，，，．故④正確，故答案為：②③④．【點睛】本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關鍵．三、解答題18．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】(1)移項后開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)求出的值，再代入公式求出即可．【詳解】(1)移項，得，化簡，得，開平方，得，，;(2)，，．，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，主要考查學生的計算能力．19．已知關于的方程有實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)設方程的兩根分別是、，且，試求k的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根得到，求出的取值范圍即可；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系得出方程解答即可．【詳解】(1)解：∵原方程有實數(shù)根，∴，∴，∴.(2)∵，是方程的兩根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得：，，又∵，∴，∴，∴，解之，得：，．經(jīng)檢驗，都符合原分式方程的根，∵，∴．【點睛】本題主要考查了根的判別式以及根與系數(shù)關系的知識，解答本題的關鍵是根據(jù)根的判別式的意義求出k的取值范圍，此題難度不大．20．安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量(千克)與每千克降價(元)之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示：(1)求與之間的函數(shù)關系式；(2)商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元？【答案】(1)；(2)商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價9元．【分析】(1)根據(jù)圖象可得：當，，當，；再用待定系數(shù)法求解即可；(2)根據(jù)這種干果每千克的利潤×銷售量=2090列出方程，解方程即可．【詳解】解：(1)設一次函數(shù)解析式為：，根據(jù)圖象可知：當，；當，；∴，解得：，∴與之間的函數(shù)關系式為；(2)由題意得：，整理得：，解得：．，∵讓顧客得到更大的實惠，∴.答：商貿(mào)公司要想獲利2090元，這種干果每千克應降價9元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用和一次函數(shù)的應用，讀懂圖象信息、熟練掌握待定系數(shù)法、正確列出一元二次方程是解題的關鍵．21．已知關于x的一元二次方程，(1)求證：該一元二次方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程只有一個小于4的根，求m的取值范圍；(3)若x1，x2為方程的兩個根，且n＝x12+x22﹣4，判斷動點所形成的數(shù)圖象是否經(jīng)過點，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)m≥2；(3)經(jīng)過，理由見解析.【分析】(1)由△=[-(m+4)]2-4(2m+4)=m2≥0知方程有兩個實數(shù)根；(2)由一元二次方程的求根公式得出方程的兩個根，由于其中一個等于2，已經(jīng)小于4，故令另外一個含有m的根大于等于4，即可求出m的值；(3)先由一元二次方程根與系數(shù)的關系得出x1+x2=m+4，x1x2=2m+4，代入n=x12+x22-4，從而將動點P(m，n)僅用含m的代數(shù)式表示，再將點A(-5，9)代入驗證即可．【詳解】(1)證明：∵b2﹣4ac＝[﹣(m+4)]2﹣4(2m+4)＝m2≥0，∴該一元二次方程總有兩個實數(shù)根；(2)解：∵關于x的一元二次方程x2﹣(m+4)x+2m+4＝0∴a＝1，b＝﹣(m+4)，c＝2m+4∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝∴x1＝m+2，x2＝2∵該方程只有一個小于4的根∴m+2≥4∴m≥2；(3)∵x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4∴n＝x12+x22﹣4＝﹣2x1x2﹣4＝(m+4)2﹣2(2m+4)﹣4＝m2+4m+4∴動點P(m，n)可表示為(m，m2+4m+4)∴當m＝﹣5時，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9∴動點P(m，n)所形成的數(shù)圖象經(jīng)過點A(﹣5，9)．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根；同時本題還考查了公式法求解方程及根與系數(shù)的關系的應用，以及點的坐標與函數(shù)的對應關系．22．某企業(yè)為響應國家教育扶貧的號召，決定對某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全體貧困初、高中學生進行資助，初中學生每月資助200元，高中學生每月資助300元．已知該鄉(xiāng)受資助的初中學生人數(shù)是受資助的高中學生人數(shù)的2倍，且該企業(yè)在2018年下半年7﹣12月這6個月資助學生共支出10.5萬元．(1)問該鄉(xiāng)鎮(zhèn)分別有多少名初中學生和高中學生獲得了資助？(2)2018年7﹣12月期間，受資助的初、高中學生中，分別有30%和40%的學生被評為優(yōu)秀學生，從而獲得了該鄉(xiāng)鎮(zhèn)政府的公開表揚．同時，提供資助的企業(yè)為了激發(fā)更多受資助學生的進取心和學習熱情，決定對2019年上半年1﹣6月被評為優(yōu)秀學生的初中學生每人每月增加a%的資助，對被評為優(yōu)秀學生的高中學生每人每月增加2a%的資助．在此獎勵政策的鼓勵下，2019年1﹣6月被評為優(yōu)秀學生的初、高中學生分別比2018年7﹣12月的人數(shù)增加了3a%、a%．這樣，2019年上半年評