第1章 事件的概率教材

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)劉立林緒論概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一個(gè)重要工具數(shù)據(jù)分析的工具，我們知道外語(yǔ)是工具，數(shù)學(xué)是工具，統(tǒng)計(jì)也是工具；統(tǒng)計(jì)不是數(shù)學(xué)，它從數(shù)學(xué)中間發(fā)展出來(lái)，現(xiàn)在跟計(jì)算機(jī)的聯(lián)系非常緊密，所以大家不要這門(mén)課看作是可有可無(wú)的。概率論與統(tǒng)計(jì)的關(guān)系學(xué)統(tǒng)計(jì)，就要處理數(shù)據(jù)，拿什么來(lái)處理，基本的工具就是概率論。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門(mén)科學(xué)，最早可追溯到17世紀(jì)，現(xiàn)在公認(rèn)是1654年，一個(gè)叫Pascal和Fermat就賭博中的數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)了討論。什么是統(tǒng)計(jì)學(xué)？人生，是從不充分的證據(jù)開(kāi)示，引出完美結(jié)論的一種藝術(shù)。----如果我們不在同一時(shí)期，把理解了的科學(xué)知識(shí)變?yōu)槲覀內(nèi)粘Ｉ畹囊徊糠?，科學(xué)家將不可能提高他們互相擁有的知識(shí)。與人類有關(guān)的事實(shí)，可以由數(shù)量來(lái)表示，并且經(jīng)過(guò)大量的積累重復(fù)可以導(dǎo)出一般規(guī)律。統(tǒng)計(jì)的英文：Statistic，詞根，State（國(guó)家），人，房子等有多少什么是知識(shí)？不確定的知識(shí)+所含不確定度量的知識(shí)=可用的知識(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)科學(xué)、技術(shù)、邏輯，更是一門(mén)藝術(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)沒(méi)有任何固定的對(duì)象，是一門(mén)獨(dú)特的學(xué)問(wèn)。依賴于解決其它領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題而存在并興旺發(fā)達(dá)的。I.J.Savage說(shuō)：統(tǒng)計(jì)學(xué)基本是寄生的；靠研究其它領(lǐng)域內(nèi)的工作而生存。這不是對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)表示輕視，這是因?yàn)閷?duì)大多數(shù)寄主來(lái)說(shuō)，如果沒(méi)有寄生蟲(chóng)就會(huì)死。對(duì)有的動(dòng)物來(lái)說(shuō)，不能消化它們的食物。因而，人類奮斗的很多領(lǐng)域，如果沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)，雖然不會(huì)死，但一定會(huì)變得弱。Statisticsisart.統(tǒng)計(jì)到底是科學(xué)還是藝術(shù)？它是一門(mén)科學(xué)，更是一門(mén)藝術(shù)，因?yàn)檎驹诓煌牧?chǎng)上，從不同的觀點(diǎn)，從不同的角度去看同一組數(shù)據(jù)，你會(huì)得到不同的結(jié)論。有些不懂統(tǒng)計(jì)的人就講，世界上有三類謊言：一類是非?？蓯?ài)的謊言，一類是一般的謊言，第三類就是統(tǒng)計(jì)學(xué)。因?yàn)檎驹诓煌牧?chǎng)上，從不同的觀點(diǎn)，從不同的角度去看同一組數(shù)據(jù)，你會(huì)得到不同的結(jié)論。科學(xué)、不科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)在語(yǔ)源學(xué)中的定義在某種意義下是“數(shù)據(jù)”（State)----國(guó)家是由某種數(shù)據(jù)組成的。數(shù)據(jù)傳達(dá)什么？如何利用數(shù)據(jù)？（根據(jù)特定目的）象今天有能力的公民能讀會(huì)寫(xiě)一樣，將來(lái)會(huì)有一天要求有能力的公民必須會(huì)計(jì)算，而且能夠考慮利用平均值，最大值和最小值?？梢灶A(yù)期，這樣的時(shí)代已經(jīng)不遠(yuǎn)了。----H.G.Wells現(xiàn)在，對(duì)很多人來(lái)說(shuō)，考慮平均值已經(jīng)不成問(wèn)題了。但是平均值是否是萬(wàn)能的呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)，一門(mén)關(guān)鍵的技術(shù)過(guò)去國(guó)家經(jīng)濟(jì)依賴于如何準(zhǔn)備戰(zhàn)爭(zhēng)，今后最大的問(wèn)題是和平的戰(zhàn)爭(zhēng)。戰(zhàn)場(chǎng)是經(jīng)濟(jì)和社會(huì)福利；未來(lái)的成功依賴于如何在可利用的資源上，收集和處理所得的信息，從而能做出最佳的決策。這必須經(jīng)過(guò)仔細(xì)策劃并保證以下幾點(diǎn)：處理過(guò)程是公平的，持續(xù)的；對(duì)生活圈沒(méi)有不可修復(fù)的損害；沒(méi)有道德的污染（或降低人類的價(jià)值）。要達(dá)到這樣的革命，統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)鍵的技術(shù)。了解統(tǒng)計(jì)學(xué)的幾個(gè)階段：4R：Reading,wRiting,aRithmetic,statisticalReasoning(讀、寫(xiě)、算、統(tǒng)計(jì)推斷）我們必須知道如何計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)；政策制定者在決定政策時(shí)需要尋求技術(shù)上的指導(dǎo)，更重要的是他們自己在了解和解釋信息時(shí)需要掌握某些專業(yè)知識(shí)。原因天數(shù)原因天數(shù)未婚男性3500飲酒130慣用左手3285槍炮事故11未婚女性1600自然放射線830%超重1300醫(yī)療放射線620%超重900咖啡6吸煙（男）2250家有煙霧報(bào)警-10吸煙（女）800有空調(diào)汽車-5抽雪茄330活化冠狀動(dòng)脈-125抽煙絲（煙斗）220長(zhǎng)期壓抑4-8年危險(xiǎn)工作事故300好友肥胖57%一般工作事故74每天3杯茶-46%身心作用對(duì)人體生理機(jī)能的影響DavidPhillips花了25年調(diào)查華裔婦女中秋節(jié)前后死亡率。節(jié)前一周低于通常的35.1%；節(jié)后一周高于通常34.6%。出生月前后以及其中的死亡率出生月前出生月出生月后總數(shù)比率65432112345樣本12331202334162636374126343480.573樣本26669677467709382847387729030.544樣本3021022320132180.611樣本1：《400個(gè)著名的美國(guó)人》中名人樣本2：《whoiswho》1897-1942,1943-1950，1951-1960著名家庭中的家長(zhǎng)樣本3：英國(guó)皇家學(xué)會(huì)中去世的印度人會(huì)員。這兩個(gè)例子都是說(shuō)明，人的心理作用對(duì)人體生理有很大影響。兩天服一片阿司匹林會(huì)減少第二次發(fā)作的機(jī)會(huì)。每天攝取500毫升的維生素C，生命可以延長(zhǎng)6年。學(xué)生們?cè)诼?tīng)了10分鐘莫扎特鋼琴曲后的推理會(huì)比他們聽(tīng)10分鐘娛樂(lè)磁帶或其他曲目做得更好。平均而言，老二沒(méi)有老大聰明，老三沒(méi)有老二聰明，。。。。。樹(shù)葉左旋的椰子樹(shù)的產(chǎn)量比樹(shù)葉右旋的高10%（印度Davis）。相對(duì)于受右腦控制的人的創(chuàng)造能力，受左腦控制的人更具有邏輯推理能力。（諾貝爾獎(jiǎng)獲得者R.Sperry)《統(tǒng)計(jì)與真理》，印度統(tǒng)計(jì)學(xué)家。2002年得到美國(guó)總統(tǒng)獎(jiǎng)。大家可以感受一下周邊，處處有統(tǒng)計(jì)，處處有數(shù)據(jù)。希望大家能夠用心來(lái)學(xué)統(tǒng)計(jì)?！?.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算§1.2概率的定義及其確定方法§1.3概率的性質(zhì)§1.4條件概率§1.5獨(dú)立性

第一章隨機(jī)事件與概率2.

隨機(jī)現(xiàn)象1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象1.

確定性現(xiàn)象

每天早晨太陽(yáng)從東方升起;

水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加溫到100oC沸騰;

擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？

一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù);

某種型號(hào)電視機(jī)的壽命;§1.1

隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.特點(diǎn)：1.結(jié)果不止一個(gè);2.事先不知道哪一個(gè)會(huì)出現(xiàn).隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：隨機(jī)現(xiàn)象的各種結(jié)果會(huì)表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為

統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.1.

隨機(jī)試驗(yàn)

(E)——

對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)與觀察.

它具有兩個(gè)特點(diǎn)：隨機(jī)性、重復(fù)性.2.

樣本點(diǎn)

——隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果.3.

樣本空間(Ω)

——

隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合.

4.

兩類樣本空間：

離散樣本空間

樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或可列個(gè).

連續(xù)樣本空間

樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無(wú)限不可列個(gè).1.1.2樣本空間1.

隨機(jī)事件

——

某些樣本點(diǎn)組成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集.

5.

隨機(jī)變量

表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量.

常用大寫(xiě)字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的單點(diǎn)集.1.1.3隨機(jī)事件表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量.常用大寫(xiě)字母X、Y、Z…表示.1.1.4隨機(jī)變量在試驗(yàn)中，A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)了，就說(shuō)A

出現(xiàn)了、發(fā)生了，記為A.維恩圖

(Venn).事件的三種表示用語(yǔ)言、用集合、用隨機(jī)變量.事件的表示包含關(guān)系：

A

B,

A

發(fā)生必然導(dǎo)致

B

發(fā)生.相等關(guān)系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同時(shí)發(fā)生.1.1.5

事件間的關(guān)系解：1)顯然，B發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，所以B

A;.

2)又因?yàn)锳發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，所以A

B，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a個(gè)白球、b個(gè)黑球，從中一個(gè)一個(gè)不返回地取球。A=“取到最后一個(gè)是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。問(wèn)A

與B

的關(guān)系？并：

A

B

A

與

B

至少有一發(fā)生

交：

A

B=AB

A

與

B

同時(shí)發(fā)生

差：

A

B

A發(fā)生但

B不發(fā)生

對(duì)立：

A

不發(fā)生1.1.6

事件的運(yùn)算事件運(yùn)算的圖示

A

B

A

B

A

B

德莫根公式

記號(hào)

概率論

集合論

Ω

樣本空間,必然事件空間

φ

不可能事件空集

樣本點(diǎn)

元素

A

B

A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生A是B的子集

AB=φ

A與B互不相容A與B無(wú)相同元素

A

B

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時(shí)發(fā)生

A與B的交集

A

B

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對(duì)立事件A的余集

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意點(diǎn)(1)注意點(diǎn)(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1

A2

……

An=Ω

則稱A1，A2，……，An

為Ω的一組分割.樣本空間的分割1.若A是B的子事件，則

A

B=()，AB=()2.設(shè)

A與B同時(shí)出現(xiàn)時(shí)

C也出現(xiàn)，則(

)

①

A

B是

C的子事件；

②

C是

A

B的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.課堂練習(xí)③BA3.

設(shè)事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則A的對(duì)立事件為（）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.4.設(shè)x

表示一個(gè)沿?cái)?shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位置，試說(shuō)明下列各對(duì)事件間的關(guān)系①A={|x

a|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容5.試用A、B、C表示下列事件：①A出現(xiàn)；②僅A出現(xiàn)；③恰有一個(gè)出現(xiàn)；④至少有一個(gè)出現(xiàn)；⑤至多有一個(gè)出現(xiàn)；⑥都不出現(xiàn)；⑦不都出現(xiàn)；⑧至少有兩個(gè)出現(xiàn)；

設(shè)Ω為樣本空間，F(xiàn)

是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點(diǎn),則稱F為事件域1.1.7

事件域1.Ω

F;2.

若A

F

，則

F;3.若An

F

，n=1,2,…,

則

F.直觀定義

——

事件A出現(xiàn)的可能性大小.統(tǒng)計(jì)定義

——

事件A在大量重復(fù)試驗(yàn)下出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法非負(fù)性公理：

P(A)0;正則性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，則1.2.1

概率的公理化定義從n

個(gè)元素中任取r

個(gè)，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復(fù)排列：nr選排列：1.2.2

排列與組合公式組合組合：重復(fù)組合：

求排列、組合時(shí)，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.注意加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個(gè)步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.隨機(jī)試驗(yàn)可大量重復(fù)進(jìn)行.1.2.3

確定概率的頻率方法進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，記n(A)為事件A的頻數(shù)，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會(huì)穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.

古典概型若一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)(Ω,F,P)具有以下兩個(gè)特征：

(1)有限性。樣本空間的元素(基本事件)只有為有限個(gè)，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

(2)等可能性。每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。

則稱這類隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型為古典概型。則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)/樣本點(diǎn)總數(shù)1.2.4

確定概率的古典方法拋一枚硬幣三次

拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此樣本空間中的樣本點(diǎn)等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此樣本空間中的樣本點(diǎn)不等可能.注意例1.2.1

六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接。求成環(huán)的概率.解：用乘法原則直接計(jì)算所求概率為n個(gè)人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個(gè)位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n個(gè)人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請(qǐng)與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)：甲先坐、乙后坐，則共有n(n

1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n

2)個(gè)位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n

2)種可能。由此得所求概率為：例1.2.31.2.5

確定概率的幾何方法幾何概型若①可度量性。樣本空間充滿某個(gè)區(qū)域，其度量(長(zhǎng)度、面積、體積)為S

；

②等可能性。落在中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，而與子區(qū)域的位置無(wú)關(guān)則事件A的概率為:P(A)=SA

/S

幾何概型的例子

例1.2.3

蒲豐投針問(wèn)題平面上畫(huà)有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l的針，求針與平行線相交的概率.蒲豐投針問(wèn)題(續(xù)1)解：以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離，又以

表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間

滿足：0

x

d/2;0

.

形成x-

平面上的一個(gè)矩形，其面積為：S

=d(

/2).

蒲豐投針問(wèn)題(續(xù)2)

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

l

sin(

/2).

針是任意投擲的，所以這個(gè)問(wèn)題可用幾何方法求解得由蒲豐投針問(wèn)題知：長(zhǎng)為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實(shí)際去做N次試驗(yàn)，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：

2lN/(dn).歷史上有一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

的隨機(jī)模擬蒲豐投針問(wèn)題的推廣平面上畫(huà)有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一個(gè)邊長(zhǎng)為a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形與平行線相交的概率．分析：三角形與平行線相交有以下三種情況：

1)

一個(gè)頂點(diǎn)在平行線上;

2)

一條邊與平行線重合;

3)

兩條邊與平行線相交.前兩種情況出現(xiàn)的概率為零.所以只要去確定兩條邊與平行線相交的概率.解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab,ac,bc,

a,b,c與平行線相交的概率，則所求概率為

p=P(三角形與平行線相交)=Pab+Pac+Pbc.

由蒲豐投針問(wèn)題知Pa=2a/(d

),Pb=2b/(d

),Pc=2c/(d).

因?yàn)镻a=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc

所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),

由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d

).

性質(zhì)1.3.1

P(φ)=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性質(zhì)性質(zhì)1.3.2(有限可加性)

若AB=φ，則P(A

B)=P(A)+P(B).

可推廣到n個(gè)互不相容事件.性質(zhì)1.3.3(對(duì)立事件公式)

P()=1

P(A).1.3.1

概率的可加性性質(zhì)1.3.4

若A

B，則P(A

B)=P(A)

P(B)；若A

B，則P(A)

P(B).性質(zhì)1.3.5

P(A

B)=P(A)

P(AB).1.3.2

概率的單調(diào)性(6)P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)

P(A

B

C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)1.3.3

概率的加法公式

AB=φ，P(A)=0.6，P(A

B)=0.8，求B

的對(duì)立事件的概率。解：由P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(A

B)

P(A)=0.8

0.6=0.2，

所以P()=1

0.2=0.8.例1.3.2解：因?yàn)镻(A

B)=P(A)

P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)

P(A

B)=0.4+0.3

0.6=0.1

所以P(A

B)=P(A)

P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A

B)=0.6，求

P(A

B).

例1.3.3解：因?yàn)锳、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1

P(A)

P(B)

P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)

P(ABC)=1

1/4

1/4

1/4+0+1/6+1/6

0=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.口袋中有n

1個(gè)黑球、1個(gè)白球，每次從口袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用對(duì)立事件解：記A為“第k次取到黑球”，則A的對(duì)立事件為“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味著：“第1次……第k

1次取到黑球，而第k次取到白球”思考題

口袋中有2個(gè)白球，每次從口袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.例1.3.4解：用對(duì)立事件進(jìn)行計(jì)算,記A=“至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)”，則所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)的概率.例1.3.5解：記B=“至少出現(xiàn)一次雙6點(diǎn)”，則所求概率為

兩顆骰子擲24次，求至少出現(xiàn)一次雙6點(diǎn)的概率.從1,2,……,9中返回取n次，求取出的n個(gè)數(shù)的乘積能被10整除的概率.利用對(duì)立事件和加法公式解：因?yàn)椤俺朔e能被10整除”意味著：

“取到過(guò)5”(記為A)且“取到過(guò)偶數(shù)”(記為B)。因此所求概率為P(AB).利用對(duì)立事件公式、德莫根公式和加法公式甲擲硬幣n+1次，乙擲n次.(習(xí)題1.3第10題)求甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率.

利用對(duì)稱性解：記甲正=甲擲出的正面數(shù)，乙正=乙擲出的正面數(shù).

甲反=甲擲出的反面數(shù)，乙反=乙擲出的反面數(shù).因?yàn)?/p>

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反

乙反)=1

P(甲正>乙正)(對(duì)稱性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2N個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)不合格品、N

M個(gè)合格品.(口袋中有M個(gè)白球，N

M個(gè)黑球)常見(jiàn)模型(1)

——

不返回抽樣從中不返回任取n個(gè),則此n個(gè)中有m個(gè)不合格品的概率為：此模型又稱超幾何模型.

n

N,mM,

n

m

N

M.口袋中有5

個(gè)白球、7個(gè)黑球、4個(gè)紅球.從中不返回任取3

個(gè).求取出的3

個(gè)球?yàn)椴煌伾那虻母怕?思考題購(gòu)買：從01，……，35中選7個(gè)號(hào)碼.開(kāi)獎(jiǎng)：7個(gè)基本號(hào)碼，1個(gè)特殊號(hào)碼.

彩票問(wèn)題——幸運(yùn)35選7中獎(jiǎng)規(guī)則

1)7個(gè)基本號(hào)碼

2)6個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼

3)6個(gè)基本號(hào)碼

4)5個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼

5)5個(gè)基本號(hào)碼

6)4個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼

7)4個(gè)基本號(hào)碼，或3個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼

中獎(jiǎng)概率

中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：將35個(gè)號(hào)分成三類：

7個(gè)基本號(hào)碼、1個(gè)特殊號(hào)碼、27個(gè)無(wú)用號(hào)碼記pi

為中i等獎(jiǎng)的概率。利用抽樣模型得：

中獎(jiǎng)概率如下：不中獎(jiǎng)的概率為：

p0=1

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7

N個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)不合格品、N

M個(gè)合格品.

從中有返回地任取n個(gè).則此n個(gè)中有m個(gè)不合格品的概率為：常見(jiàn)模型(2)——返回抽樣條件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.n個(gè)不同球放入N個(gè)不同的盒子中.每個(gè)盒子中所放球數(shù)不限.求恰有n個(gè)盒子中各有一球的概率(n

N)

常見(jiàn)模型(3)

——

盒子模型求n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個(gè)球放入N=365個(gè)盒子中.P(至少兩人生日相同)=1

P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問(wèn)題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

n個(gè)人、n頂帽子，任意取，至少一個(gè)人拿對(duì)自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個(gè)人拿對(duì)自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1

A2

……

An)，不可用對(duì)立事件公式.用加法公式：常見(jiàn)模型(4)——

配對(duì)模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n

1),P(AiAjAk)=1/n(n

1)(n

2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1

A2

……

An)=

配對(duì)模型(續(xù))因?yàn)楦怕适鞘录?集合)的函數(shù)，所以先討論事件(集合)的“極限”

.本節(jié)給出可列可加性的充要條件.1.3.4

概率的連續(xù)性若事件序列{Fn}滿足：F1

F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調(diào)不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限若事件序列{Fn}滿足：F1

F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調(diào)不增事件序列，其極限事件為

設(shè)P(·)是一個(gè)集合函數(shù)，

(1)

若任對(duì)單調(diào)不減集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是下連續(xù)的.集合函數(shù)的連續(xù)性

(2)若任對(duì)單調(diào)不增集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是上連續(xù)的.

性質(zhì)1.3.7

若P(·)是事件域F上的一個(gè)概率函數(shù)，

則P(·)既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性性質(zhì)1.3.8若P(·)是事件域F上滿足：非負(fù)、正則的集合函數(shù)，則P(·)有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件問(wèn)題的提出：

1)10個(gè)人摸彩，有3張中彩.

問(wèn)：第1個(gè)人中彩的概率為多少？第2個(gè)人中彩的概率為多少？

2)10個(gè)人摸彩，有3張中彩.

問(wèn)：已知第l個(gè)人沒(méi)摸中，第2個(gè)人中彩的概率為多少？§1.4

條件概率

定義1.4.1

對(duì)于事件A、B，若P(B)>0，則稱P(A|B)=P(AB)/P(B)

為在B

出現(xiàn)的條件下，A

出現(xiàn)的條件概率.1.4.1

條件概率的定義

1)

縮減樣本空間：將

縮減為

B=B.

2)

用定義：

P(A|B)=P(AB)/P(B).條件概率P(A|B)的計(jì)算10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品、3個(gè)次品，從中不放回地抽取兩個(gè)，已知第一個(gè)取到次品，求第二個(gè)又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設(shè)A={第一個(gè)取到次品}，

B={第二個(gè)取到次品}，例1.4.1條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：

P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)

P(AB|C)；

若A與B互不相容，則P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).條件概率是概率P(

|B)=1;P(B|

)

1;P(A|

)=P(A);P(A|A)=1.注意點(diǎn)(1)

設(shè)P(B)＞0，且A

B，則下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(A

B)=0.84,P(

B|A)=0.4,

則P(B)=().課堂練習(xí)乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.條件概率的三大公式性質(zhì)1.4.2

(1)若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，則

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式乘法公式主要用于求幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率.一批零件共有100個(gè)，其中10個(gè)不合格品。從中一個(gè)一個(gè)不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的應(yīng)用性質(zhì)1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(Bi)>0，則1.4.3

全概率公式全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率.使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件來(lái)“分割”樣本空間.全概率公式最簡(jiǎn)單的形式：注意點(diǎn)(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意點(diǎn)(2)

則由可得

設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中不放回地取兩次，每次一件，求取出的第二件為不合格品的概率。解：設(shè)A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2n張彩票中有一張中獎(jiǎng)，從中不返回地摸取，記Ai為“第i次摸到中獎(jiǎng)券”，則

(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式計(jì)算得P(A2)=1/n.

(3)可用歸納法計(jì)算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n張彩票中有k張中獎(jiǎng)，從中不返回地摸取，記Ai

為“第i次摸到獎(jiǎng)券”，則

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n結(jié)論：不論先后，中彩機(jī)會(huì)是一樣的.摸彩模型(續(xù))

口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情況下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)從中一只一只返回取球；

(2)從中一只一只不返回取球；

(3)從中一只一只返回取球，且返回的同時(shí)再加入一只同色球.思考題

罐中有b

個(gè)黑球、r

個(gè)紅球，每次從中任取一個(gè)，取出后將球放回，再加入c

個(gè)同色球和d

個(gè)異色球.(1)當(dāng)c=

1,d=0時(shí)，為不返回抽樣.(2)當(dāng)c=0,d=0時(shí)，為返回抽樣.(3)當(dāng)c>0,d=0時(shí)，為傳染病模型.(4)當(dāng)c=

0,d>0時(shí)，為安全模型.波利亞罐子模型

記

pk(b,r)為“口袋中有b個(gè)黑球、r個(gè)紅球時(shí)，第k

次取出黑球”的概率，k=1,2,……(1)當(dāng)c=

1,d=0時(shí)為不返回抽樣，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)當(dāng)c=0,d=0時(shí)為返回抽樣，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(3)當(dāng)c>0,d=0時(shí)，為傳染病模型。此時(shí)pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……波利亞罐子模型(續(xù))甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.從甲口袋任取一球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.概率為：全概率公式的例題甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.從甲口袋任取兩球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙兩口袋的球數(shù)不同，如果兩口袋裝的黑、白球個(gè)數(shù)都相同，則情況又如何？思考題要調(diào)查“敏感性”問(wèn)題中某種比例p；兩個(gè)問(wèn)題：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考試作弊？拋硬幣回答A或B.答題紙上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”問(wèn)題.敏感性問(wèn)題的調(diào)查乘法公式是求“幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.1.4.4

貝葉斯公式

某人從甲地到乙地，乘飛機(jī)、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。若已知他最后遲到了，求他分別是乘飛機(jī)、火車、汽車的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“結(jié)果”

，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

1)B1,B2,...,Bn可以看作是導(dǎo)致A發(fā)生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下,

某個(gè)原因Bj

發(fā)生的概率,

稱為“后驗(yàn)概率”;

3)Bayes公式又稱為“后驗(yàn)概率公式”或“逆概公式”;4)稱P(Bj)為“先驗(yàn)概率”.注意點(diǎn)例1.4.3某商品由三個(gè)廠家供應(yīng)，其供應(yīng)量為：甲廠家是乙廠家的2倍；乙、丙兩廠相等。各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%.若從市場(chǎng)上隨機(jī)抽取一件此種商品，發(fā)現(xiàn)是次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率?

解：用1、2、3分別記甲、乙、丙廠，設(shè)

Ai

=“取到第i

個(gè)工廠的產(chǎn)品”，B=“取到次品”，由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:

口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的。現(xiàn)再往口袋中放入一只白球，然后從口袋中任意取出一只，發(fā)現(xiàn)是白球。試問(wèn)口袋中原來(lái)的那只球是白球的可能性多大？課堂練習(xí)2/3

事件的獨(dú)立性

直觀說(shuō)法：對(duì)于兩事件，若其中任何一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生，

則這兩事件是獨(dú)立的.

P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)

P(AB)

=P(A)P(B)§1.5

獨(dú)立性定義1.5.1

若事件A

與B

滿足：P(AB)=P(A)P(B),

則稱A與B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A與B獨(dú)立.結(jié)論

A、B為兩個(gè)事件，若P(A)>0,則

A與B

獨(dú)立等價(jià)于

P(B|A)=P(B).性質(zhì)1.5.1

若事件A與B獨(dú)立，則

A與獨(dú)立、與B獨(dú)立、與獨(dú)立.1.5.1

兩個(gè)事件的獨(dú)立性

實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷兩個(gè)事件的獨(dú)立性：例如

返回抽樣、甲乙兩人分別工作、重復(fù)試驗(yàn)等.事件獨(dú)立性的判斷1.5.2

多個(gè)事件的相互獨(dú)立性對(duì)于A、B、C三個(gè)事件，稱滿足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=