2023-2024學(xué)年吉林省吉林市豐滿區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省吉林市豐滿區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

L久滿足什么條件時分式義有意義（）

A.%。0B.%W+5C.%。—5D.%。5

2.如所示圖形中具有穩(wěn)定性的是（）

A戶B.6

3.在下列計算中，正確的是（）

A.a3-a3=3a6B.(—3a27=127a6

C.a3+a4-a7D.a6a2=a3

4.等腰三角形的一個角是70。，則它的底角是（）

A.55°B.70°C.40°或70°D.55°或70°

5.若16/+mx+1是完全平方式，則TH的值是（）

A.±8B.±4C.8D.-8

6.如圖所示，在3x3的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知圖中4、B為兩格點，請匚

在圖中再尋找另一格點C,使A/IBC成為等腰三角形.則滿足條件的C點的個數(shù)為（）

A.10個B.8個C.6個D.4個

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

7.在平面直角坐標(biāo)系中，點4（2,6）關(guān)于y軸對稱的點B的坐標(biāo)是.

8.分解因式：m3n—mn=.

9.若等腰三角形有兩條邊長分別為1和3,則其周長為.

10.若一個正多邊形的每一個外角都是30。，則這個正多邊形的邊數(shù)為.

11.如圖，AABC與AdB'C'關(guān)于直線/對稱，貝吐B的度數(shù)為

12.如圖，在△ABC中，分別以點4和點B為圓心，大于^48的長為半徑作弧，兩弧

相交于M,N兩點，作直線MN,交BC于點、D,連接4。，若△4DC的周長為5cm,

AB=3cm,則44BC的周長為cm.

13.如圖，在AABC中，M為邊BC的中點，ME_L4B于點E,MF12C于點F,且

BE=CF.^Z.BME=25。，貝吐4=

14.如圖，△ABC是等邊三角形，4。是8c邊上的高，E是4C的中點，P是4。上的

一個動點，當(dāng)PC與PE的和最小時，aPE的度數(shù)是.

三、解答題：本題共12小題，共84分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題5分）

運用完全平方公式計算：（4m-3n）2.

16.（本小題5分）

a-3a2-42

a2+4a+4a—3a+2

17.（本小題5分）

解方程：|15

3x-l6x-2

18.（本小題5分）

先化簡,再求值：（昌+北）+目,其中x=-L

19.（本小題7分）

如圖，AC=EB,乙ACB=LEBD,BC=DB,求證△ABC三△ED8.

20.（本小題7分）

如圖，在△力BC中，ZC=90°,4D平分ABAC,AB=17,DC=5,求

21.（本小題7分）

在3x3的方格紙中，每個小正方形的頂點為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形.圖中△ABC是一

個格點三角形.請在圖①和圖②中各畫出一個與AABC成軸對稱的格點三角形，并畫出對稱軸.

22.（本小題7分）

如圖，在△力BC中，AC=2n,ZS=^ACB=15°,ND=90。，求CD的長.（用含n的式子表示）

23.（本小題8分）

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的：，這時增加了乙隊，兩隊又共同工

作了半個月，總工程全部完成.

（1）設(shè)乙隊單獨施工1個月能完成總工程的;，兩隊半個月完成總工程的（用含x的式子表示）.

（2）哪個隊的施工速度快？

24.（本小題8分）

如圖，在△力BC中，AB=AC,D是BC邊的中點，連接4平分N4BC,交AC于點M,過點用作“可/

/BC,交力B于點N.

(1)若NC=72°,求NB4D的度數(shù).

(2)求證：NB=NM.

25.（本小題10分）

如圖，在三角形ABC中，=BC=4C=8,點M從點4出發(fā)，沿折線2-B-C->2以每秒4個單位長度

的速度向終點4運動.點N從點B出發(fā)，沿折線B-C-4以每秒2個單位長度的速度運動.M,N兩點同時出

發(fā)，點M停止時，點N也隨之停止,設(shè)點M運動的時間為t秒.

（1）當(dāng)M,N兩點重合時，求t的值.

(2)當(dāng)ABMN是以MN為底邊的等腰三角形時，求t的值.

(3)直接寫出NBMN=90。時t的值.

26.(本小題10分)

用圖①中的1張邊長為小的正方形M圖紙、1張邊長為n的正方形N圖紙和2張邊長分別為小，九的長方形。圖

紙拼成圖②的一張大正方形圖片，觀察圖形，并解答下列問題.

⑴由圖②和圖①可以得到關(guān)于面積的等式為

(2)小麗同學(xué)用圖①中這三張圖紙拼出一張面積為(26+3m(3m+2切的大長方形圖片，求需要M,N,D

三種紙片各多少張.

(3)如圖③，已知點P為線段4尸上的動點，分另!J以PF,4P為邊在的兩側(cè)作正方形PMEF和正方形4PCD

若2尸=5,且兩個正方形的面積之和為￡+52=13,利用(1)中得到的結(jié)論求圖③中陰影部分面積

S^PCF■

答案和解析

1.【答案】D

解：令5—久K0,

解得％W5,

當(dāng)％W5時，分式『一有意義，

故選：D.

當(dāng)分式的分母不為零時分式有意義，由此即可解答.

本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分母不為零的條件是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】B

解：所有圖形里，只有三角形具有穩(wěn)定性.

故選：B.

所有圖形里，具有穩(wěn)定性的是三角形.據(jù)此作答即可.

本題考查三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單.

3.【答案】B

解：2、a3-a3=a6,本選項不正確，故不符合題意；

B、(-3a2)3--27a6,本選項正確，故符合題意；

C、a3與a，不屬于同類項，不能合并，本選項不正確，故不符合題意；

D、a6^a2=a4,本選項不正確，故不符合題意，

故選：B.

利用同底數(shù)塞的除法，積的乘方，同底數(shù)幕的乘法，合并同類項，分析每一個選項，只有B符合題意，由

此選出答案.

本題考查了同底數(shù)幕的除法，積的乘方，同底數(shù)幕的乘法，合并同類項，熟練掌握相關(guān)運算法則是解答本

題的關(guān)鍵.

4.【答案】D

【解析】【分析】

此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用.

題中未指明已知的角是頂角還是底角，故應(yīng)該分當(dāng)70。的角是頂角時和當(dāng)70。的角是底角時兩種情況進行分

析，從而求解.

【解答】

解：①當(dāng)70。的角是頂角時，底角=(180。—70。)+2=55。；

②當(dāng)70。的角是底角時，另一個底角為70。，頂角為180。一70。一70。=40。；

故選：D.

5.【答案】A

解:原式可化為(4x)2+機芯+1.2,

可見當(dāng)m=8或m=—8時，

原式可化為(4尤+I/或(4x-I)2,

故選：A.

將原式化為(4x)2+znx+再根據(jù)完全平方公式解答.

本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式.

6.【答案】B

解：如圖，48是腰長時，邊上有4個點可以作為點C,

4B是底邊時，對角線上的4個點都可以作為點C,

所以，滿足條件的點C的個數(shù)是4+4=8.

故選：B.

分4B是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與4、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形，

AB是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，力B垂直平分線上的格點都可以作為

點C,然后相加即可得解.

本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點是解題的關(guān)鍵，要注意分是腰長與底邊兩種情

況討論求解.

7.【答案】(-2,6)

解：點力(2,6)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是(-2,6),

故答案為：(-2,6).

關(guān)于x軸的對稱點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成相反數(shù).關(guān)于y軸的對稱點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成相反

數(shù).根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成相反數(shù)求解即可.

本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點是本題的解題關(guān)鍵.

8.【答案】mn(m-l)(m+1)

解：m3n—mn=mn(m2—1)=mn(m—l)(m+1),

故答案為：mn(m-l)(m+1).

先提出公因式nm,再利用平方差公式即可解答.

本題考查了提公因式法和公式法進行分解因式，解決本題的關(guān)鍵是熟記提公因式法和公式法.

9.【答案】7

解：①1是腰長時，三角形的三邊分別為1、1、3,

：1+1=2<3,

???不能組成三角形；

②1是底邊時，三角形的三邊分別為1、3、3,

能組成三角形，

周長=1+3+3=7,

綜上所述，三角形的周長為7.

故答案為：7.

根據(jù)等腰三角形的定義，分1是腰長與底邊兩種情況討論求解.

本題考查了等腰三角形的定義，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形.

10.【答案】12

解：這個正多邊形的邊數(shù)：360。+30。=12,

故答案為：12.

根據(jù)正多邊形的每一個外角都相等，多邊形的邊數(shù)=360。+30。，計算即可求解.

本題考查了多邊形外角和.

n.【答案】iooo

解：AABC與△a'8'c'關(guān)于直線/對稱，

.-.AABC^AA'B'C,

NA=NA=50°,zC=/-C=30°,

NB=180°-50°-30°=100°.

故答案為：100。.

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可△ABC=LA'B'C,再根據(jù)41和的度數(shù)即可求出NB的度數(shù).

本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)以及全等的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和全等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

12.【答案】8

解：由尺規(guī)作圖可知，MN是4B線段的垂直平分線，

???AD=BD,

???△ADC的周長為AC+CD+4。=5cm,△ABC的周長為ZB++ZC,AB=3cm,

AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=AB+AD+CD+AC=3+5=8cm>

.?.△ABC的周長為8cm,

故答案為：8.

根據(jù)尺規(guī)作圖得到MN是線段4B的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD,根據(jù)三角形的

周長公式計算即可.

本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握“線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等”是

解題的關(guān)鍵.

13.【答案】50

解：:M為邊BC的中點，于點E,MFLAC^^F,

：.BM=CM,4MEB=LMFC=90°,

又BE=CF,

：.RtABME=RtACMF(HL),

：.乙BME=Z.CMF=25°,

Z_B=zC=65°,

???ZX=180°—乙B—乙C=50°,

故答案為：50.

證明RtABME三RtACMF(HL),可得NB=NC=65。，利用三角形內(nèi)角和計算即可得答案.

此題考查了直角三角形全等的證明方法和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明RtABME三RtACMF(HL)是解

題的關(guān)鍵.

14.【答案】60°

解：如圖，連接BE,與2D交于點P,此時PE+PC最小,

???△HBC是等邊三角形，AD1BC,

：.PC=PB,

PE+PC=PB+PE=BE,

即BE就是PE+PC的最小值.

,■,A4BC是等邊二角形,

.-?乙BCE=60°,

BA=BC,AE=EC,

BE1AC,

.-.乙BEC=90°,

???乙EBC=30°,

???PB=PC,

???乙PCB=(PBC=30°,

???乙CPE=乙PBC+(PCB=60°.

故答案為60。.

連接BE,貝IjBE的長度即為尸E與PC和的最小值.再利用等邊三角形的性質(zhì)可得SBC="CB=30。,

即可解決問題；

本題考查的是最短路線問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵.

15.【答案】解：(4m-3n)2

=(4m)2—2?(4m)?(3n)+(3n)2

=16m2—24mn+9n2.

【解析】根據(jù)完全平方公式計算即可.

本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式.

a—3a2—42

16.【答案】解:

。2+4。+4a-3a+2

a—3(a+2)(a—2)+2

(a+2)2a-3a+2

a-22

--------t-------

a+2a+2

一a

—a+2,

【解析】先將分式分解因式，再化簡，然后計算加法即可.

本題考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：設(shè)3x—l=y,則原方程可化為：3y—2=5,

解得y=

3%-1=|,解得X=y,

將X=9代入最簡公分母進行檢驗，6萬—2力0,

x=與是原分式方程的解.

【解析】此題應(yīng)先設(shè)3*-1為y,然后將原方程化為3y-2=5解得y=7r求出比的值，最后對得到的x進

行檢驗.

本題主要考查用換元法解分式方程，求出結(jié)果一定要注意必須檢驗.

2x(x+2)+x(x-2)(x+2)(x—2)

.【答案】解:原式=

18(x+2)(x—2)x

=3%+2,

當(dāng)％=—1時，原式=-1.

【解析】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

根據(jù)分式的運算法則即可求出答案.

19.【答案】證明：在AABC和AEDB中，

AC=EB

^ACB=乙EBD,

、BC=DB

.??△ABC三△EDB(SAS).

【解析】由SAS證明△48C三△EDB即可.

本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：作DE148于點E,如圖，

-I[ot

???ShABD-xABxDE=-x17x5

【解析】作DE148,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式即可求解.

本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解角平分線上的點到兩條邊的垂線段相等.

21.【答案】解：如下圖，△4/16、A4B2c2即為所求，其對稱軸分別為"、l2.

【解析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對稱軸，然后作出成軸對稱的三角形即可得解.

本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵，本題難點在

于確定出不同的對稱軸.

22.【答案】解：:Z-B=乙ACB=15°,

ADAC=+^ACB=15°+15°=30°,

Z-D=90°,AC=2n,

1i

???CD=-AC=-x2n=n.

【解析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出4口4c=30。，再根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)得出答案.

本題考查了三角形外角的性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì).

23.【答案】知上

62%

解：(1)設(shè)乙隊單獨施工1個月能完成總工程的3

乙半個月完成總工程的，

???甲隊單獨施工1個月完成總工程的,

???甲半個月完成總工程的3

兩隊半個月完成總工程的J+

62x

故答案為：/+；；

62%

(2)由(1)得"+2=1—5

解得x=1，

經(jīng)檢驗x=1是原方程的解，

???乙隊單獨施工1個月能完成總工程，

乙隊的施工速度快.

(1)設(shè)乙隊單獨施工1個月能完成總工程的;，根據(jù)工作總量=工作效率X工作時間分別求出兩隊半個月的工

作量，然后求和即可得到答案；

(2)根據(jù)(1)所求，結(jié)合題意可建立方程2+W=1-全解方程即可得到答案.

本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，列代數(shù)式，正確理解題意列出對應(yīng)的代數(shù)式和方程是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】(1)解：???△ABC中，AB=AC,。是BC邊上的中點,

ADLBC,乙BAD=LCAD,

???/.ADC=90°.

???"=72°,

??.Z.CAD=180°-Z,ADC-ZC

=180°-90°-72°

=18°,

???乙BAD=18°；

(2)證明：???MN〃8C,

???乙NMB=乙CBM.

???BM平分乙ABC,

???乙NBM=乙CBM.

???乙NBM=ANMB.

??.NB=NM.

【解析】(1)先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得ADIBC,^BAD=ACAD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求

出乙乙4。的度數(shù)，即可知NB4D的度數(shù).

(2)根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可證明NB=NM.

本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義和平行線的性質(zhì).

25.【答案】解：(1)???M比N快2個單位長度，M落后N有8個單位長度，

???追上的時間為t=8+(4-2)=4；

(2)如圖1,當(dāng)點M在邊上，點N在邊上時，BM=BN,

如圖2,當(dāng)點M、N都在邊AC上時，BM=BN,

過B作BD1AC于。，則4。=CD,MD=ND,

圖2

AM=CN,

即24-4t=2C-8,

16

t=

綜上，t的值為冢坐

(3)如圖3,當(dāng)點M在邊48上，點N在邊上時，Z.BMN=90°,

圖3

???乙BNM=90°-60°=30°,

??.BN=2BM,

???2t=2(8—4t),

解得：”也

如圖4,當(dāng)點M、N都在邊力C上時，Z.BMN=90°