2021年高等數(shù)學(xué)下冊試題題庫及參考答案

高等數(shù)學(xué)下冊試題庫一、選取題（每題4分，共20分）1.已知A(1,0,2)，B(1,2,1)是空間兩點，向量模是：（A）A）B）C）6D）9解={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=.2.設(shè)a={1,-1,3}，b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（B）A）{-1,1,5}.B）{-1,-1,5}.C）{1,-1,5}.D）{-1,-1,6}.解(1)c=3a-2b=3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3.設(shè)a={1,-1,3}，b={2，1，-2}，求用原則基i，j，k表達向量c=a-b；（A）A）-i-2j+5kB）-i-j+3kC）-i-j+5kD）-2i-j+5k解c={-1,-2,5}=-i-2j+5k.4.求兩平面和夾角是：（C）A）B）C）D）解由公式（6-21）有，因而，所求夾角．5.求平行于軸，且過點和平面方程．是：（D）A）2x+3y=5=0B）x-y+1=0C）x+y+1=0D）．解由于平面平行于軸，因而可設(shè)這平面方程為由于平面過、兩點，因此有解得，以此代入所設(shè)方程并約去，便得到所求平面方程6．微分方程階數(shù)是(D)。A．3B．4C．5D．27．微分方程通解中應(yīng)含獨立常數(shù)個數(shù)為(A)。A．3B．5C．4D．28．下列函數(shù)中，哪個是微分方程解(B)。A．B．C．D．9．微分方程一種特解是(B)。A．B．C．D．10．函數(shù)是下列哪個微分方程解(C)。A．B．C．D．11．是方程(A)，其中，為任意常數(shù)。A．通解B．特解C．是方程所有解D．上述都不對12．滿足特解是(B)。A．B．C．D．13．微分方程一種特解具備形式(C)。A．B．C．D．14．下列微分方程中，(A)是二階常系數(shù)齊次線性微分方程。A．B．C．D．15．微分方程滿足初始條件特解為(A)。A．B．C．D．16．在下列函數(shù)中，可以是微分方程解函數(shù)是(C)。A．B．C．D．17．過點且切線斜率為曲線方程應(yīng)滿足關(guān)系是(C)。A．B．C．，D．，18．下列微分方程中，可分離變量是(B)。A．B．(,,是常數(shù))C．D．19．方程通解是(C)。A．B．C．D．20．微分方程滿足特解是(A)。A．B．C．D．21．微分方程通解是(B)。A．B．C．D．22．微分方程解為(B)。A．B．C．D．23．下列函數(shù)中，為微分方程通解是(B)。A．B．C．D．24．微分方程通解為(A)。A．B．C．D．25．微分方程通解是(D)。A．B．C．D．26．通解為(C)。A．B．C．D．27．按照微分方程通解定義，通解是(A)。A．B．C．D．一、單項選取題2．設(shè)函數(shù)在點處持續(xù)是函數(shù)在該點可偏導(dǎo)（D)(A)充分而不必要條件；(B)必要而不充分條件;(C)必要并且充分條件；(D)既不必要也不充分條件.3．函數(shù)在點處偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)在該點可微分(B).(A)充分而不必要條件；(B)必要而不充分條件;(C)必要并且充分條件；(D)既不必要也不充分條件.4．對于二元函數(shù)，下列結(jié)論對的是().C若，則必有且有;若在處和都存在，則在點處可微;若在處和存在且持續(xù)，則在點處可微;若和都存在，則..6.向量，則（A）(A)3(B)(C)(D)25．已知三點M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），則=（C）(A)-1；(B)1；(C)0；(D)2；6．已知三點M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3），則=（B）(A) (B);(C)；(D)-2;7．設(shè)為園域，化積分為二次積分對的辦法是_________.DA.B.C.D.8．設(shè)，變化積分順序，則BA.B.C.D.二次積分可以寫成___________.DA.B.C.D.10．設(shè)是由曲面及所圍成空間區(qū)域，在柱面坐標(biāo)系下將三重積分表達為三次積分，CA．B.C．D．11．設(shè)為面內(nèi)直線段，其方程為，則（C）（A）（B）（C）0（D）12．設(shè)為面內(nèi)直線段，其方程為，則（C）（A）（B）（C）0（D）13．設(shè)有級數(shù),則是級數(shù)收斂（D）(A)充分條件；(B)充分必要條件；(C)既不充分也不必要條件；(D)必要條件;14．冪級數(shù)收徑半徑R=（D）(A)3(B)0(C)2(D)115．冪級數(shù)收斂半徑（A）(A)1(B)0(C)2(D)316．若冪級數(shù)收斂半徑為，則收斂半徑為（A）(A)(B)(C)(D)無法求得17.若，則級數(shù)()DA.收斂且和為
B.收斂但和不一定為
C.發(fā)散D.也許收斂也也許發(fā)散18.若為正項級數(shù)，則()A.若，則收斂B.若收斂，則收斂BC.若，則也收斂D.若發(fā)散，則19.設(shè)冪級數(shù)在點處收斂，則該級數(shù)在點處()AA.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不定 20.級數(shù)，則該級數(shù)()BA.是發(fā)散級數(shù)B.是絕對收斂級數(shù)C.是條件收斂級數(shù)D.也許收斂也也許發(fā)散二、填空題（每題4分，共20分）1.a?b=（公式）答案∣a∣?∣b∣cos()2.a=(ax，ay，az)，b=(bx，by，zbz)則a·b=（計算）答案axbx+ayby+azbz3.答案4.答案5.平面點法式方程是答案6.設(shè)，其定義域為()7.設(shè)，則()8.在點處可微分是在該點持續(xù)條件，在點處持續(xù)是在該點可微分條件.(充分，必要)9.在點偏導(dǎo)數(shù)及存在是在該點可微分條件.(必要)10.在橫線上填上方程名稱①方程名稱是答案可分離變量微分方程；②方程名稱是答案可分離變量微分方程；③方程名稱是答案齊次方程；④方程名稱是答案一階線性微分方程；⑤方程名稱是答案二階常系數(shù)齊次線性微分方程.11.在空間直角坐標(biāo)系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a，b，c)關(guān)于(1)坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點各個對稱點坐標(biāo).[解]：M(a，b，c)關(guān)于xOy平面對稱點坐標(biāo)為(a，b，－c)，M(a，b，c)關(guān)于yOz平面對稱點坐標(biāo)為(－a，b，c)，M(a，b，c)關(guān)于xOz平面對稱點坐標(biāo)為(a,－b，c)，M(a，b，c)關(guān)于x軸平面對稱點坐標(biāo)為(a,－b,－c)，M(a，b，c)關(guān)于y軸對稱點坐標(biāo)為(－a，b,－c)，M(a，b，c)關(guān)于z軸對稱點坐標(biāo)為(－a,－b，c).類似考慮P(2,－3，－1)即可.12.要使下列各式成立，矢量應(yīng)滿足什么條件？（1）（2）（3）（4）（5）[解]：（1）所在直線垂直時有；（2）同向時有（3）且反向時有（4）反向時有（5）同向，且時有13.下列情形中矢量終點各構(gòu)成什么圖形？（1）把空間中一切單位矢量歸結(jié)到共同始點；（2）把平行于某一平面一切單位矢量歸結(jié)到共同始點；（3）把平行于某始終線一切矢量歸結(jié)到共同始點；（4）把平行于某始終線一切單位矢量歸結(jié)到共同始點.[解]：（1）單位球面；（2）單位圓（3）直線；（4）相距為2兩點二、填空題1．設(shè)，則___1___.2．設(shè)，則=____0______.3．二重積分變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)公式是4．三重積分變量從直角坐標(biāo)變換為柱面坐標(biāo)公式是5．柱面坐標(biāo)下體積元素6．設(shè)積分區(qū)域，且，則3。7．設(shè)由曲線所圍成，則8．設(shè)積分區(qū)域為，9．設(shè)在[0，1]上持續(xù)，如果，則=_____9________.10．設(shè)為連接(1，0)與(0，1)兩點直線段，則.11．設(shè)為連接(1，0)與(0，1)兩點直線段，則012．等比級數(shù)當(dāng)時，等比級數(shù)收斂.13．當(dāng)____時，級數(shù)是收斂.14．當(dāng)_________時,級數(shù)是絕對收斂.15．若，則，16．若，則17．設(shè)，則18．設(shè)，則19.積分值等于，設(shè)為園域，若，則221.設(shè)，其中，則三、是非題（每題4分，共20分）1.初等函數(shù)定義域是其自然定義域真子集.(ⅹ)2..(ⅹ)3..(ⅹ)4.對于任意實數(shù)，恒有成立.(ⅹ)5.是指數(shù)函數(shù).(ⅹ)6.函數(shù)定義域是.(ⅹ)7..(√)8.如果對于任意實數(shù)，恒有，那么為常函數(shù).(√)9.存在既為等差數(shù)列，又為等比數(shù)列數(shù)列.(√)10.指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù).(√)11..(√)12.函數(shù)為基本初等函數(shù).(√)13..(ⅹ)14.是基本初等函數(shù).(ⅹ)15.與是等價無窮小量.(ⅹ)16.與為等價無窮小量.(ⅹ)17.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么對于任意，恒有.(ⅹ)18.存在既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)函數(shù).(ⅹ)19.當(dāng)奇函數(shù)在原點處有定義時，一定成立.(√)20.若偶函數(shù)持續(xù)，那么函數(shù)為奇函數(shù).(√)21.若奇函數(shù)持續(xù)，那么函數(shù)為偶函數(shù).(√)22.偶函數(shù)與奇函數(shù)乘積為奇函數(shù).(√)23.奇函數(shù)與奇函數(shù)乘積為偶函數(shù).(√)24.若函數(shù)為奇函數(shù)，那么一定成立.(√)25.若函數(shù)為偶函數(shù)，那么一定成立.(ⅹ)26..(ⅹ)27..(ⅹ)28..(ⅹ)29..(ⅹ)30.單調(diào)函數(shù)一定存在最大值與最小值.(ⅹ)31.單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù).(√)32.互為反函數(shù)兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱.(√)33.若定義域為函數(shù)存在反函數(shù)，那么在區(qū)間上單調(diào).(√)34..(√)35.對于任意，恒有.(√)36.函數(shù)三要素為：定義域，相應(yīng)法則與值域.(√)37.若函數(shù)在其定義域內(nèi)處處有切線，那么該函數(shù)在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo).(ⅹ)38.空集是任意初等函數(shù)定義域真子集.(ⅹ)39.為初等函數(shù).(ⅹ)40.對于任意，恒有.(ⅹ)41.左右導(dǎo)數(shù)處處存在函數(shù)，一定處處可導(dǎo).(ⅹ)下列題（1．×；2．×；3．√；4．×；5．√）1．任意微分方程均有通解。(×)2．微分方程通解中包括了它所有解。(×)3．函數(shù)是微分方程解。(√)4．函數(shù)是微分方程解。(×)5．微分方程通解是(為任意常數(shù))。(√)下列是非題（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）1．可分離變量微分方程不都是全微分方程。()2．若，都是特解，且與線性無關(guān)，則通解可表為。()3．函數(shù)是微分方程解。()4．曲線在點處切線斜率等于該點橫坐標(biāo)平方，則曲線所滿足微分方程是(是任意常數(shù))。()5．微分方程，滿足初始條件特解為。()是非題（1．×；2．√；）1．只要給出階線性微分方程個特解，就能寫出其通解。2．已知二階線性齊次方程一種非零解，即可四、計算證明題（每題10分，共40分）1、判斷積數(shù)收斂性解：由比值法，級數(shù)發(fā)散2．解：兩邊同除以，得：即3．解：兩邊同除以，得令則即得到，即此外也是方程解。4．解：得到即此外也是方程解。5．求方程通解.解：所給方程特性方程為所求通解為.6.求.解7．求方程通解.解所給方程特性方程為其根為因此原方程通解為8.證明極限不存在8)由于,因此極限不存在9.證明極限不存在9)設(shè)y2=kx，不等于定值，極限不存在10.計算，其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成閉區(qū)域.解：畫出區(qū)域D.可把D當(dāng)作是X--型區(qū)域：1x2，1yx.于是.注積分還可以寫成11．=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1特解。解：=2xdx兩邊積分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex此外y=0也是原方程解，c=0時，y=0原方程通解為y=cex,x=0y=1時c=1特解為y=e.12.ydx+(x+1)dy=0并求滿足初始條件：x=0,y=1特解。解：ydx=-(x+1)dydy=-dx兩邊積分：-=-ln|x+1|+ln|c|y=此外y=0,x=-1也是原方程解x=0,y=1時c=e特解：y=13.解：，=1.則因此此方程是恰當(dāng)方程。湊微分，得：14．解：，.則.因此此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得15.求.解：.16.求z=x23xyy2在點(1，2)處偏導(dǎo)數(shù).解，.，.17.設(shè)z=x3y23xy3xy1，求、、和解，;，18.驗證函數(shù)滿足方程.證由于，因此，，，.因而.19.計算函數(shù)z=x2y+y2全微分.解由于，，因此dz=2xydx+(x2+2y)dy.20.函數(shù)z=3x2+4y2在點(0，0)處有極小值.當(dāng)(x，y)=(0，0)時，z=0，而當(dāng)(x，y)(0，0)時，z0.因而z=0是函數(shù)極小值.21.函數(shù)在點(0，0)處有極大值.當(dāng)(x，y)=(0，0)時，z=0，而當(dāng)(x，y)(0，0)時，z0.因而z=0是函數(shù)極大值.22.已知三角形ABC頂點分別是A(1,2,3)、B(3,4,5)、C(2,4,7),求三角形ABC面積.解依照向量積定義,可知三角形ABC面積.由于=(2,2,2),=(1,2,4),因而=4i-6j+2k.于是.23.設(shè)有點A(1，2，3)和B(2，-1，4)，求線段AB垂直平分面方程.解由題意懂得，所求平面就是與A和B等距離點幾何軌跡.設(shè)M(x，y，z)為所求平面上任一點，則有|AM|=|BM|，即.等式兩邊平方，然后化簡得2x-6y+2z-7=0.這就是所求平面上點坐標(biāo)所滿足方程，而不在此平面上點坐標(biāo)都不滿足這個方程，因此這個方程就是所求平面方程.24.求過點(2，-3，0)且以n=(1，-2，3)為法線向量平面方程.解依照平面點法式方程，得所求平面方程為(x-2)-2(y+3)+3z=0，即x-2