中考數(shù)學復習重難點專項突破訓練專題20 新定義型二次函數(shù)問題（重點突圍）(學生版)

專題20新定義型二次函數(shù)問題【中考考向導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一新定義型二次函數(shù)問題】 1【直擊中考】【考向一新定義型二次函數(shù)問題】例題：（2023秋·江西南昌·九年級南昌市第十七中學?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時，經(jīng)歷了如下過程：求解體驗：(1)已知拋物線經(jīng)過點，則b＝，頂點坐標為，該拋物線關于點成中心對稱的拋物線表達式是．抽象感悟：我們定義：對于拋物線，以y軸上的點為中心，作該拋物線關于點M對稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關于點的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點，求m的取值范圍．問題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求a，b的值及衍生中心的坐標；②若拋物線y關于點的衍生拋物線為，其頂點為；關于點的衍生拋物線為，其頂點為；…；關于點的衍生拋物線為，其頂點為，…（為正整數(shù)）．求的長（用含n的式子表示）．【變式訓練】1．（2022秋·浙江紹興·九年級?？茧A段練習）定義：同時經(jīng)過x軸上兩點的兩條拋物線稱為同弦拋物線．如拋物線與拋物線是都經(jīng)過的同弦拋物線．(1)引進一個字母，表達出拋物線的所有同弦拋物線；(2)判斷拋物線與拋物線是否為同弦拋物線，并說明理由；(3)已知拋物線是的同弦拋物線，且過點，求拋物線對應函數(shù)的最大值或最小值．2．（2022·九年級單元測試）小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)，，，是常數(shù)）與，，，是常數(shù)）滿足，，，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”．求函數(shù)的“旋轉函數(shù)”．小明是這樣思考的：由函數(shù)可知，，，根據(jù)，，求出，，，就能確定這個函數(shù)的“旋轉函數(shù)”．請參考小明的方法解決下面的問題：(1)寫出函數(shù)的“旋轉函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，點、、關于原點的對稱點分別是、、，試證明經(jīng)過點、、的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”．3．（2021秋·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）定義：關于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：的“同軸對稱拋物線”為．(1)請寫出拋物線的頂點坐標；及其“同軸對稱拋物線”的頂點坐標；寫出拋物線的“同軸對稱拋物線”為．(2)如圖，在平面直角坐標系中，點B是拋物線L：上一點，點B的橫坐標為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關于拋物線對稱軸對稱的點、，連接、、、，設四邊形的面積為．①當四邊形為正方形時，求a的值．②當拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，請求出a的取值范圍．4．（2023·全國·九年級專題練習）【閱讀理解】定義：在平面直角坐標系中，對于一個動點，若x，y都可以用同一個字母表示，那么點P的運動路徑是確定的．若根據(jù)點P坐標求出點P運動路徑所對應的關系式是函數(shù)，則稱由點坐標求函數(shù)表達式的過程叫做將點“去隱”．例如，將點（m為任意實數(shù)）“去隱”的方法如下：設，，由①得將③代入②得，整理得，則直線是點M的運動路徑．【遷移應用】在平面直角坐標系中，已知動點（a為任意實數(shù)）的運動路徑是拋物線．(1)請將點Q“去隱”，得到該拋物線表達式；(2)記（1）中拋物線為W（如圖），W與x軸交于點A，B（A在B的左側），其頂點為點C，現(xiàn)將W進行平移，平移后的拋物線始終過點A，點C的對應點為．?。┰嚧_定點運動路徑所對應的函數(shù)表達式；ⅱ）在直線的左側，是否存在點，使為等腰三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．5．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？茧A段練習）定義若拋物線（）與直線有兩個交點，則稱拋物線為直線的“雙幸運曲線”，其交點為該直線的“幸運點”．(1)已知直線解析式為，下列拋物線為該直線的“雙幸運曲線”的是________；（填序號）①；②；③；(2)如圖，已知直線l：，拋物線為直線l的“雙幸運曲線”，“幸運點”分別為、，在直線l上方拋物線部分是否存在點使△面積最大，若存在，請求出面積的最大值和點坐標，若不存在，請說明理由；(3)已知x軸的“雙幸運曲線”（）經(jīng)過點（1，3），（0，），在x軸的“幸運點”分別為、，試求的取值范圍．6．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標．(2)點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．(3)如圖②，點E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2022秋·安徽淮北·九年級淮北市第二中學校聯(lián)考階段練習）在數(shù)學活動課上，小明興趣小組對二次函數(shù)的圖象進行了深入的探究，如果將二次函數(shù)圖象上的點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)辄c的橫、縱坐標之和，就會得到的一個新的點，他們把這個點定義為點的“簡樸”點．他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)所有簡樸點構成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為的“簡樸曲線”．例如，二次函數(shù)的“簡樸曲線”就是，請按照定義完成：(1)點的“簡樸”點是________；(2)如果拋物線經(jīng)過點，求該拋物線的“簡樸曲線”；(3)已知拋物線圖象上的點的“簡樸點”是，若該拋物線的“簡樸曲線”的頂點坐標為，當時，求的取值范圍．8．（2022春·九年級課時練習）定義：若二次函數(shù)的圖象記為，其頂點為，二次函數(shù)的圖象記為，其頂點為，我們稱這樣的兩個二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．分類一：若二次函數(shù)經(jīng)過的頂點B，且經(jīng)過的頂點A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．(1)所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）(2)試求出的“反頂伴侶二次函數(shù)”．(3)若二次函數(shù)與互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究與的關系，并說明理由．(4)分類二：若二次函數(shù)可以繞點M旋轉180°得到二次函數(shù)；，我們就稱它們互為“反頂旋轉二次函數(shù)”．①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）②互為“反頂旋轉二次函數(shù)”的對稱中心點M有什么特點？③如圖，，互為“反頂旋轉二次函數(shù)”，點E，F(xiàn)的對稱點分別是點Q，G，且軸，當四邊形EFQG為矩形時，試探究二次函數(shù)，的頂點有什么關系．并說明理由．9．（2022·全國·九年級專題練習）定義：將二次函數(shù)l的圖象沿x軸向右平移t，再沿x軸翻折，得到新函數(shù)l′的圖象，則稱函數(shù)l′是函數(shù)l的“t值衍生拋物線”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．(1)當t＝﹣2時，①求衍生拋物線l′的函數(shù)解析式；②如圖1，函數(shù)l與l'的圖象交于M（，n），N（m，﹣2）兩點，連接MN．點P為拋物線l′上一點，且位于線段MN上方，過點P作PQ∥y軸，交MN于點Q，交拋物線l于點G，求S△QNG與S△PNG存在的數(shù)量關系．(2)當t＝2時，如圖2，函數(shù)l與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC．函數(shù)l′與x軸交于D，E兩點，與y軸交于點F．點K在拋物線l′上，且∠EFK＝∠OCA．請直接寫出點K的橫坐標．10．（2022秋·浙江·九年級專題練習）定義：關于軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“鏡像拋物線”．例如：的“鏡像拋物線”為．(1)請寫出拋物線的頂點坐標______，及