2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.1.3分層抽樣練習(xí)含解析新人教A版必修3

PAGE1-2.1.3分層抽樣[A基礎(chǔ)達標(biāo)]1．為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力狀況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、中學(xué)三個學(xué)段學(xué)生的視力狀況有較大差異，而男女生視力狀況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡潔的隨機抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣解析：選C.我們常用的抽樣方法有：簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，而事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、中學(xué)三個學(xué)段學(xué)生的視力狀況有較大差異，而男女生視力狀況差異不大．了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力狀況，按學(xué)段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理，故選C.2．(2024·黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)期末考試)某校共有160名教職工，其中一般老師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的看法，用分層抽樣抽取一個容量為20的樣本，則應(yīng)抽取的后勤人員人數(shù)是()A．3 B．2C．15 D．4解析：選A.因為160人抽取20人，所以抽取的比例為eq\f(20,160)＝eq\f(1,8)，因為后勤人數(shù)為24，所以應(yīng)抽取24×eq\f(1,8)＝3.故選A.3．(2024·河北省棗強中學(xué)期末考試)某中學(xué)高二年級共有學(xué)生2400人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高二年級共有女生()A．1260 B．1230C．1200 D．1140解析：選D.設(shè)女生總?cè)藬?shù)為x人，由分層抽樣的方法，可得抽取女生人數(shù)為80－42＝38(人)，所以eq\f(80,2400)＝eq\f(38,x)，解得x＝1140.故選D.4．(2024·河北省石家莊市期末考試)某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況的某項指標(biāo)，需從他們中取一個容量為36的樣本，則老年人、中年人、青年人依次抽取的人數(shù)是()A．7，11，19 B．7，12，17C．6，13，17 D．6，12，18解析：選D.由題意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例為1∶2∶3，所以抽取人數(shù)：老年人：eq\f(1,6)×36＝6，中年人：eq\f(2,6)×36＝12，青年人：eq\f(3,6)×36＝18.故選D.5．某中學(xué)有中學(xué)生3500人，初中生1500人．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本，已知從中學(xué)生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．250解析：選A.抽樣比為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，該?？?cè)藬?shù)為1500＋3500＝5000，則eq\f(n,5000)＝eq\f(1,50)，故n＝100.6．(2024·四川省遂寧市期末考試)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)如圖所示，用分層抽樣的方法抽取200名學(xué)生進行調(diào)查，則抽取的中學(xué)生人數(shù)為________．解析：某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)如圖所示，用分層抽樣的方法抽取200名學(xué)生進行調(diào)查，則抽取的中學(xué)生人數(shù)為200×eq\f(2000,3500＋2000＋4500)＝40.答案：407．(2024·福建省三明市期末質(zhì)量檢測)某校為了解學(xué)生的身體素養(yǎng)狀況，采納按年級分層抽樣的方法，從高一、高二、高三學(xué)生中抽取一個300人的樣本進行調(diào)查，已知高一、高二、高三學(xué)生人數(shù)之比為k∶5∶4，抽取的樣本中高一學(xué)生為120人，則實數(shù)k的值為________．解析：由題意可得，eq\f(120,300)＝eq\f(k,k＋5＋4)，解得k＝6.答案：68．(2024·湖南省張家界市期末聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一的《九章算術(shù)》中有一“衰分”問題“今有北鄉(xiāng)八千七百五十人，西鄉(xiāng)七千二百五十人，南鄉(xiāng)八千三百五十人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役四百八十七人，則西鄉(xiāng)遣____________人”．解析：今有北鄉(xiāng)八千七百五十人，西鄉(xiāng)七千二百五十人，南鄉(xiāng)八千三百五十人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役四百八十七人，則西鄉(xiāng)遣487×eq\f(7250,8750＋7250＋8350)＝145(人)．答案：1459．某單位200名職工的年齡分布狀況如圖所示，現(xiàn)要從中抽取40名職工作為樣本，用系統(tǒng)抽樣法將全體職工隨機按1～200編號，并按編號依次平均分為40組(1～5號，6～10號，…，196～200號)．(1)若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是多少？(2)若用分層抽樣法，則應(yīng)從40歲以下年齡段的職工中抽取多少名？解：(1)由分組可知，分段的間隔為5.又第5組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為37.(2)由題意知，40歲以下年齡段的職工人數(shù)為200×50%＝100.若用分層抽樣法，則應(yīng)從40歲以下年齡段的職工中抽取eq\f(40,200)×100＝20(名)．10．某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參與其中一組．在參與活動的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山組的職工占參與活動總?cè)藬?shù)的eq\f(1,4)，且該組中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.為了了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的滿足程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參與活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本．試確定：(1)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；(2)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)．解：(1)設(shè)登山組人數(shù)為x，游泳組中，青年人、中年人、老年人所占比例分別為a、b、c，則有eq\f(x×40%＋3xb,4x)＝47.5%，eq\f(x×10%＋3xc,4x)＝10%，解得b＝50%，c＝10%，故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳組中，青年人、中年人、老年人所占比例分別為40%、50%、10%.(2)游泳組中，抽取的青年人人數(shù)為200×eq\f(3,4)×40%＝60(人)；抽取的中年人人數(shù)為200×eq\f(3,4)×50%＝75(人)；抽取的老年人人數(shù)為200×eq\f(3,4)×10%＝15(人)．即游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)為60人，75人，15人．[B實力提升]11．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品平安檢測．若采納分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A．4 B．5C．6 D．7解析：選C.四類食品的種數(shù)比為4∶1∶3∶2，則抽取的植物油類的種數(shù)為20×eq\f(1,10)＝2，抽取的果蔬類的種數(shù)為20×eq\f(2,10)＝4，二者之和為6種，故選C.12．甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采納分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．解析：由分層抽樣中各層的抽樣比相同．樣本中甲設(shè)備生產(chǎn)的有50件，則乙設(shè)備生產(chǎn)的有30件，所以在4800件產(chǎn)品中，甲、乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)比為5∶3，所以乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為4800×eq\f(3,5＋3)＝1800(件)．答案：180013．某單位有工程師6人、技術(shù)員12人、技工18人．要從這些人中抽取一個容量為n的樣本，假如采納系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，那么不用剔除個體；假如樣本容量增加一個，那么在采納系統(tǒng)抽樣時，須要在總體中先剔除1個個體，求樣本容量n.解：依題意，知總體容量為6＋12＋18＝36.當(dāng)樣本容量是n時，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(36,n)，分層抽樣的抽樣比是eq\f(n,36)，抽取工程師的人數(shù)為eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技術(shù)員的人數(shù)為eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工的人數(shù)為eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，所以n應(yīng)是36的約數(shù)且是6的倍數(shù)，即n＝6，12，18.當(dāng)樣本容量為n＋1時，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(35,n＋1).因為eq\f(35,n＋1)必需為整數(shù)，所以n只能取6，即樣本容量n＝6.14．(選做題)為了對某課題進行探討探討，用分層抽樣的方法從三所高校A，B，C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成探討小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位：人)．高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)Ax1B36yC543(1)求x，y；(2)若從高校B相關(guān)人員中選2人作專題發(fā)言，應(yīng)采納什么抽樣法，請寫出合理的抽樣過程．解：(1)分層抽樣是按各層相關(guān)人數(shù)和抽取人數(shù)的比例進行的，所以有eq\f(x,54)＝eq\f(1,3)?x＝18