統(tǒng)計華科衛(wèi)統(tǒng)課件方差分析

方差分析概念方差分析

Analysisofvariance,ANOVA又稱變異數(shù)分析或F檢驗，適用于對多個平均值進行總體的假設檢驗，以檢驗實驗所得的多個平均值是否來自相同總體。方差分析的基本思想方差分析的基本思想：是將出現(xiàn)在所有測量值上的總變異按照其變異的來源分解為多個部份，然后進行比較，評價由某種因素所引起的變異是否具有統(tǒng)計學意義。單向方差分析單向方差分析(onewayanalysisofvariance)是指處理因素只有一個。這個處理因素包含有多個離散的水平，分析在不同處理水平上應變量的平均值是否來自相同總體。舉例例8-1有3種解毒藥：A、Ｂ及Ｃ，同時設一個空白對照D，共有４個組。即解毒藥這個處理因素包含有４個水平，或4個處理組，用i表示處理組號，i=1,2,3,4分別代表A、B、C、D4個組。受試大白鼠共24只，故動物總數(shù)或樣本含量Ｎ＝24。按完全隨機化方法將它們分成等數(shù)的４個組，每組有６只動物。用ni表示第i組受試動物數(shù)(當每組受試動物數(shù)相等時用n代替ni)。用j(j=1,2,…,6)表示每組受試動物號。應變量用Yij表示第組第號大白鼠的血中膽鹼脂酶含量(μ/ml)。實驗結果見表８-1。表8-1組號膽鹼脂酶含量(Yij)123121816281422831232428343142417191622481221191415合計737979788685單向方差分析中變異來源在單向方差分析中，變異來源于兩個方面：一方面是受試對象個體間的變異(稱組內(nèi)變異)

另一方面是實驗因素各水平間的變異(稱組間變異)因此，總變異可按其變異來源進行分解。離均差平方和的分解個體測定值與總平均值之差離均差平方和總離均差平方和分解公式用文字表達為：總離均差平方和＝組內(nèi)離均差平方和＋組間離均差平方和F值與F分布每種來源的離均差平方和用相應的自由度去除，可得到平均的離均差平方和，簡稱均方(meansquare，MS)。各種均方表示為：組間均方：

組內(nèi)均方：F值的計算組內(nèi)均方表示各組內(nèi)均方的平均值，它是隨機誤差項方差的綜合估計值。由于組間均方包含由隨機誤差及處理因素引起的誤差，故其值比組內(nèi)均方大。F值的計算公式為：F分布F分布有兩個自由度，組間自由度和組內(nèi)自由度；F分布是一種偏態(tài)分布。方差分析的步驟整理和描述資料提出檢驗假設及規(guī)定Ⅰ類錯誤概率水準α的大小計算各種離均差平方和、自由度及均方計算F值確定P值并作出統(tǒng)計學推斷舉例（例8-1）整理和描述資料計算出每組的測定值之和、組平均值，測定值平方和以及總平均值等。組號膽鹼脂酶含量(Yij)含量合計均數(shù)平方和1231218162814611118.52233.02283123242834616828.04790.03142417191622611218.72162.048122119141568914.81431.0合計7379797886852448020.010616.0舉例（例8-1）提出檢驗假設及規(guī)定Ⅰ類錯誤概率水準α的大小各組所代表的總體平均值相等；至少有一個不等式成立。

α＝0.05。舉例（例8-1）計算各種離均差平方和、自由度及均方總離均差平方和總的自由度舉例（例8-1）組間離均差平方和組間自由度組間均方舉例（例8-1）組內(nèi)離均差平方和組內(nèi)自由度組內(nèi)均方舉例（例8-1）

計算F值

方差分析表變異來源SSνMSFP組間568.333189.448.46<0.05組內(nèi)447.672022.38總1016.0023舉例（例8-1）確定P值并作出統(tǒng)計學推斷查附表5:F界值表，得F0.05(3,20)=3.10。由于F＞F0.05(3,20)，故有概率P＜0.05，根據(jù)式(8-5)的推斷規(guī)則拒絕無效假設，接受備擇假設。處理因素的4個水平中至少有一個組的總體平均值不同于其他組。平均值之間的多重比較方差分析是對各觀察組的平均值是否來自相同總體進行總的檢驗，不能對各組間的差別作深入分析。這一點卻往往是研究者最關心的。對于一個實驗，如果經(jīng)方差分析后不拒絕無效假設，則表示各組平均值所代表的總體是相等的。分析工作即可終止。但若結果拒絕了無效假設，則需進行平均值之間的多重比較以進一步確定哪些組的平均值之間的差別具有統(tǒng)計學意義．這時就涉及到累積Ⅰ類錯誤概率的問題。累積Ⅰ類錯誤的概率對同一實驗資料進行多次檢驗時，在樣本彼此獨立的條件下，根據(jù)概率乘法原理，其累積Ⅰ類錯誤概率：SNK法SNK(student-Newman-Keuls)法又稱q檢驗，是根據(jù)q值的抽樣分布作出統(tǒng)計推論。仍以例8-1為例介紹其檢驗過程。SNK法將各組的平均值按由小到大的順序排列排列順序(1)(2)(3)(4)平均值28.018.718.514.8原組號BCADSNK法兩對比組之差的標準誤Se及統(tǒng)計量q值計算：SNK法計算兩個平均值之間的差值及組間跨度k-對比組兩平均值之差組間跨度統(tǒng)計量Qα(20,k)臨界值概率(i):(h)kqα=0.05α=0.01P(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(1):(4)13.246.833.965.02<0.01(1):(3)9.534.923.584.64<0.01(1):(2)9.324.822.954.02<0.01(2):(4)12.832.023.584.64>0.05(2):(3)0.220.102.954.02>0.05(3):(4)3.721.922.954.02>0.05SNK法計算P值并作出統(tǒng)計推斷根據(jù)不同組間跨度k查附表6：q界值表結論為解毒藥Ｂ的效果顯著優(yōu)于其他各組。方差分析的假定條件和數(shù)據(jù)變換

方差分析的假定條件觀察值Yij獨立來自正態(tài)分布的總體如果樣本含量較大，雖然總體分布偏離正態(tài)，由于有中心極限定理的保證，方差分析也是適用的。但是如果總體極度地偏離正態(tài)時，則須作數(shù)據(jù)轉換，以改善其正態(tài)性。方差齊性(homogeneity)只有當各組內(nèi)方差在總體上相等時，才能有效地分析各對比組平均值之間的差異。如果各對比組的觀察例數(shù)不相等，則其影響程度會更大。方差齊性檢驗（1）計算步驟檢驗假設計算各組內(nèi)個體觀察值與中位觀察值之差的絕對值dij用dij作單向方差分析方差齊性檢驗（2）當最大方差與最小方差之比值超過３時，由于增大了Ⅰ類錯誤的概率，就可能影響對方差分析結果的判斷。用原始測定值Yij計算的各組內(nèi)方差比較最大方差與最小方差比值不超過３時，表明方差基本齊性。數(shù)據(jù)變換對于一些明顯偏離正態(tài)性和方差齊性條件的資料，可以通過數(shù)據(jù)變換的方法以改善其假定條件，使方差分析的結果趨于穩(wěn)健。常用的數(shù)據(jù)變換方法有：平方根反正弦變換(arcsinesquareroottransformation)

平方根變換(squareroottransformation)對數(shù)變換(logarithmtransformation)

雙向方差分析雙向方差分析是從縱橫兩個方向分析，不僅分析處理因素的效應，還可根據(jù)不同設計分析區(qū)組效應、交互作用等，從而得到更多的信息。隨機區(qū)組設計析因設計裂區(qū)設計隨機區(qū)組設計的方差分析隨機區(qū)組設計(randomizedblockdesign)是事先將全部受試對象按某種可能與實驗因素有關的特征分為若干個區(qū)組(block)，使每一區(qū)組內(nèi)的受試對象例數(shù)與處理因素的分組數(shù)相等，使每個實驗組從每一區(qū)組得到一例受試對象。設共有n個區(qū)組，處理因素有a個水平(a個實驗組)，受試對象總數(shù)為N=n×a隨機區(qū)組設計方差分析的

基本思想隨機區(qū)組設計的方差分析模型為:各種離均差平方和總離均差平方和

處理組間離均差平方和區(qū)組間離均差平方和隨機誤差離均差平方和各種自由度總自由度

處理組間自由度區(qū)組間自由度隨機誤差自由度方差分析步驟整理和描述資料提出檢驗假設及給定I類錯誤概率水準α計算各種離均差平方和與自由度計算相應的均方計算F值示例以窩作為區(qū)組標志，給斷奶后的小鼠喂以三種不同的營養(yǎng)素A、B和C。四周后檢查各種營養(yǎng)素組的小鼠所增體重(g)。三種營養(yǎng)素喂養(yǎng)四周后各小鼠所增體重(g)

資料的方差分析表變異來源離均差平方和自由度均方FP處理283.832141.922.88>0.05區(qū)組3990.317570.0411.56<0.01誤差690.071449.29總和4964.2123處理因素在α=0.05水準上不拒絕無效假設，不同營養(yǎng)素對小鼠所增體重的差別無統(tǒng)計學意義。區(qū)組因素在α=0.05水準上拒絕無效假設，故窩別對小鼠所增體重的差別具有統(tǒng)計學意義。有時研究者只注重處理因素的效應而不大關心區(qū)組因素的效應。這時只要把區(qū)組效應從隨機誤差項中分離開來就達到了設計者的目的。兩因素析因設計的方差分析凡同時配置兩個或兩個以上處理因素，這些因素的各水平又具有完全組合的實驗，統(tǒng)稱為析因設計(factorialdesign)實驗。析因設計實驗的方差分析可以同時分析這些處理因素的效應，以及因素間的交互作用(interaction)。它可節(jié)省受試對象、能夠提供較多的信息以及縮小隨機誤差。兩因素析因實驗的方差分析模型

處理因素A及B分別有a及b個水平，總共有a×b種組合。在每一種組合下即每一個格子中配有n個受試對象。全部實驗受試對象總數(shù)N=a×b

×n。用i(i=1,2…,a)表示因素A的水平號，j(j=1,2,…,b)表示因素B的水平號，k(k=1,2,…,n)表示在每一水平組合的受試對象號,yijk表示應變量的觀察值。示例了解護士對患不同疾病的病人實行家庭訪視時所花費的時間(分鐘)。共有60名護士，按年齡分為3組，病人所患疾病種類分為4種。資料見表。研究者希望對下列問題取得答案：(1)不同年齡組護士進行家庭訪視所花的時間是否不同？(2)病人所患疾病的病種是否對護士的家庭訪視時間有顯著影響？(3)護士的年齡與病人所患疾病的病種之間是否存在交互作用？方差分析的步驟

整理及描述資料提出檢驗假設計算離均差平方和及自由度計算各種均方及F值并列出方差分析表確定P值并作出統(tǒng)計推斷方差分析表交互作用

經(jīng)方差分析表明，護士年齡與病人所患疾病的病種之間存在有顯著的交互作用，必須進一步探明這種交互作用的形式及其存在于哪些組合水平上。首先計算出每種組合水平的平均訪視時間。分析從圖9-1可見，在因素A的4個水平上，B的第1、3兩組平均值的趨勢比較一致，呈山峰型，對病種2和3所花的訪視時間增加。但B的第2水平比較平坦，表明因素B的1、3、水平與因素A的2、3水平間存在較強的交互作用，這種交互作用使訪視時間增加。青年護士及高年護士對腫瘤病人及腦血管意外病人訪視的時間較長。兩因素析因設計方差分析中的多重比較

當雙向方差分析拒絕無效假設時，需要進一步確定哪些水平間的效應存在顯著差異。當交互作用不顯著時，可直接對處理因素各水平的平均值進行比較。當交互作用顯著時，必須用兩因素各水平組合下的平均值進行比較。在交互作用顯著時兩兩比較的方法

交互作用不顯著時的對比方法

裂區(qū)設計資料的方差分析裂區(qū)設計(split-plotdesign)又稱嵌套設計(nesteddesign)，也是一種兩因素設計。這種設計最早應用于農(nóng)業(yè)。在某些田間試驗中，首先將選擇好的田塊分為幾個大區(qū)。然后再將每一大區(qū)分為若干個小區(qū)。在大區(qū)水平上施加處理因素A，在小區(qū)水平上施加處理因素B。假如A有2個水平：a1、a2，B有3個水平：b1、b2、b3，就可將試驗田塊分為2個大區(qū)，分別配置a1、a2。將每個大區(qū)劃分為三個小區(qū)，配置b1、b2、b3。從變異的角度分析，在這種設計中，因素B的變異性要小于因素A的變異性，因為因素A只是在大區(qū)上實施的，沒有重復。故在配置因素時，應將主要因素作為B，配置在小區(qū)水平上，而重要性相對小一點的因素作為A，配置在大區(qū)水平上。設計框架裂區(qū)設計的方差分析模型

示例一項關于上呼吸道感染的流行病學調(diào)查。調(diào)查目的是想了解家庭居住情況和不同家庭成員肺炎雙球菌陽性數(shù)目的差異。應變量Y是咽拭培養(yǎng)的肺炎雙球菌陽性數(shù)目。因素A是家庭居住情況，分為過度擁擠、擁擠和不擁擠3類。在每一類中抽查了6戶家庭，共18戶。因素B是家庭成員，包含父親、母親和3個子女共5個水平?！优椣碌?、2、3是子女的出生序號，最小的子女必須是學前兒童。在本例中因素A是擁擠程度，分為3個水平，相當于3個大區(qū)。每個家庭的5名成員相當于5個小區(qū)。在每個大區(qū)內(nèi)包含6個家庭，就是重復的次數(shù)，相當于6個區(qū)組。在這個調(diào)查中有兩類變異。一類是家庭間的變異，另一類是家庭內(nèi)各成員間的變異。擁擠度之間的比較是在家庭間的變異范圍內(nèi)進行。而家庭成員間的比較是在家庭內(nèi)變異范圍內(nèi)進行。計算所需數(shù)據(jù)列于該表的邊際部分。在每一種擁擠程度中按家庭成員的合計項列于每一大區(qū)的下部。方差分析的步驟

方差分析表第四節(jié)拉丁方設計資料的方差分析問題的提出設計方法研究目的非處理因素的控制完全隨機分組處理因素隨機化分組平衡隨機區(qū)組處理因素區(qū)組（行方向）可控制一個主要的非處理因素拉丁方處理因素可控制二個主要的非處理因素

一、拉丁方設計

（Latin-squaredesign）

拉丁方是用拉丁字母排列安排為K×K（K=處理因素的水平數(shù)）方陣的實驗設計。例：

列

1231ABC

行2BCA3CAB

處理水平數(shù)=3是隨機區(qū)組設計的擴展，通過行和列兩個方向的區(qū)組，控制兩個已知影響實驗結果變異的因素，縮小實驗誤差，提高統(tǒng)計檢驗效率。優(yōu)點：

實驗設計方法拉丁字母的個數(shù)代表處理因素的水平數(shù)行和列安排兩個需控制的非處理因素特點：行數(shù)=列數(shù)=處理的水平數(shù)，處理的每個水平在行或列中只出現(xiàn)一次。使用時：在基本拉丁方基礎上隨機化重新分配處理（方法見講義），也可使用基本拉丁方。列

1231ABC

行2BCA3CAB

處理水平數(shù)=3的基本拉丁方表拉丁方設計實例題目：比較不同劑量的重組人腫瘤壞死因子對傷口愈合的研究研究因素：腫瘤壞死因子因素的水平：5個劑量（0，25，50，100，200）單位實驗對象：家兔5只實驗效應指標：傷口愈合張力強度控制因素1：不同傷口的部位控制因素2：不同試驗的對象（家兔）方法：取家兔5只，每只在5個不同部位做切口。采用5×5的拉丁方表，隨機分配處理的劑量。5×5基本拉丁方排列表行區(qū)組

傷口部位（列區(qū)組）家兔編號123451ABCDE2BCDEA3CDEAB4DEABC5EABCD隨機分配處理方法見講義處理因素：用A，B，…E表示例：家兔傷口用不同劑量的rh-TNF后的張力強度

傷口編號家兔編號12345小計

1A9.83B6.34C7.03D4.40E9.1843.482B3.75C7.52D7.64E5.51A7.6036.953C6.27D8.34E8.80A9.91B2.5542.504D5.54E3.86A5.55B7.88C5.9439.185E5.73A3.22B3.63C7.12D8.9028.60列小計38.4638.1839.8139.2736.65隨機化過程1.隨機化方法調(diào)換行字母2.隨機化方法調(diào)換列字母3.拉丁字母的隨機分配處理水平方法：讀6個隨機數(shù)隨機數(shù)355627092486序號453126字母DECABF處理藥甲乙丙丁戊已（規(guī)定：按序號大小排列字母順序，按字母前后出現(xiàn)順序分配不同水平）二、拉丁方設計的方差分析數(shù)據(jù)變異分解：處理因素（不同劑量+誤差)總變異行區(qū)組變異(單位組或家兔間+誤差）列區(qū)組變異（不同部位+誤差）誤差變異（隨機因素+未知因素）

如F處理>F0.05,再對處理組做均數(shù)的多重比較。

注射部位編號（列區(qū)組）

行區(qū)組合計

行區(qū)組）

1234561424271.73424471.75424671.7列區(qū)組合計

428417440431469467藥物合計TkD428E467C439A459B420F439表4-11拉丁方與試驗結果（皮膚皰疹大小）處理因素不同水平的結果例：表4-11D=77+60+64+71+69+87=428E=73+75+99+61+85+74=467同理：C=439A=459B=420F=439表4-13例4-5的方差分析表

變異來源SSMSFP總變異3036.0035

藥物間268.67553.730.98>0.05家兔間383.33576.671.39>0.05部位間1283.335256.674.66<0.01誤差1100.672055.03

表4-13例4-5的方差分析表

變異來源FP總變異

35

藥物間0.985>0.05家兔間1.395>0.05部位間4.665<0.01誤差20拉丁方設計的統(tǒng)計檢驗假設例4-4統(tǒng)計檢驗結果處理因素：按α=0.05水準，還不能認為處理（6種藥物）不同水平的實驗效應（皮膚皰疹）的結果不等（p＞0.05）。非處理因素：藥物對不同家兔的結果差別無統(tǒng)計意義（p＞0.05）。對不同部位結果差別有統(tǒng)計意義（p＜0.01）。結論：還不能認為皮膚皰疹的大小與6種藥物有關，但注射在不同部位有差別。拉丁方設計的缺點（局限性）1.要求行數(shù)（水平數(shù)）=列數(shù)（水平數(shù)）=處理（水平數(shù)），條件不易滿足。2.在處理數(shù)的水平數(shù)較少時，試驗的重復數(shù)（n）較少（如3×3拉丁方設計，重復例數(shù)為3），檢驗效率較低。一、兩階段交叉設計問題的提出

完全隨機分組試驗（RCT）設計

例：比較兩種藥物（如：試驗藥、對照藥）

甲組（n1）試驗藥N個對象隨機分組乙組（n2）對照藥特點：每個患者接受一種處理，然后結果在兩組受試對象間做比較。

完全隨機分組設計的缺點：1.完全隨機分組設計組間非處理因素差別不可能完全一致（特別是例數(shù)較少時）。2.處理試驗效應在患者間得到的，試驗效應受到個體差異的影響。3.當影響因素作用大，處理的實驗作用小，所需樣本例數(shù)較多。消除（減少）個體變異的設計方法

1.試驗前后設計特點：每個研究對象只接受一種處理。2.配對（配伍）設計特點：每個研究對象只接受一種處理。3.交叉設計特點：每個研究對象可接受兩種或多種處理。

兩階段交叉設計（cross-overdesign）模式

隨機試驗階段分組ⅠⅡ

甲組（n1）甲藥乙藥n.

乙組（n2）乙藥甲藥兩階段交叉設計交叉設計的優(yōu)、缺點優(yōu)點：1.每個試驗對象先后接受兩種處理，因此成倍使用實驗對象，例數(shù)少于隨機分組設計。2.患者的試驗結果采用自身對照，減少個體變異對結果的影響，效果觀察較準確，統(tǒng)計檢驗效率高于完全隨機分組設計。缺點：1.兩階段間常安排洗脫階段，比隨機分組設計試驗的時間長2兩階段間不能有延滯效應（carry-over）.3.適用于反復發(fā)作的慢性病藥物療效比較（止痛、安眠、降血壓等）延滯（carry-over）效應：是指前一時期處理的效應延續(xù)到后一時期的處理結果上。二、兩階段交叉試驗設計方法設計的方法（見63頁）可采用1.完全隨機分組設計分配處理組的兩階段交叉設計。例4-6，兩種閃爍液測定血漿中H-cGMP2.配對設計分配兩階段的處理兩組比較完全隨機化分組方法研究對象（n=10）編號（按入組順序）：編號12345678910隨機數(shù)22191678039323155857

序號54391106287規(guī)定：序號雙號處理順序AB，單號處理順序BA對象編號處理順序階段1階段21BABA2ABAB3BABA4BABA5BABA表4-13兩種閃爍液測定血漿中H-cGMP交叉試驗結果受試者階段1階段2合計編號處理（GMP）處理（GMP）1A760B77015302B860A85517153A568B60211704A780B8801580

10B800A8031603階段合計S1=7271S2=737014641處理合計A=7289B=7352三、兩階段交叉設計數(shù)據(jù)的

統(tǒng)計方法—方差分析數(shù)據(jù)變異來源和分解：處理間變異（A和B處理變異）受試者間的變異（行變異）階段間變異（列變異）誤差變異總變異兩階段交叉設計是拉丁方設計

處理水平=2的擴展

試驗時間對象121AB2BA受試者（行間變異）階段間（列間變異）處理間誤差

變異分解計算方法與拉丁方設計資料相同表4-14方差分析方差來源DFSSMSFP受試者間9551111612341240＜0.01階段間1490.05490.059.92<0.05處理間1198.45198.454.02>0.05誤差8395.0049.38總19552194.95F界值交叉設計的結論反映三部分作用1.反映處理間的否有作用（主要關心）2.反映試驗對象（行區(qū)組變異）作用3.反映處理順序（列區(qū)組變異）的影響

控制因素本例：實驗誤差中消除了個體和不同階段順序的影響后，兩種閃爍液對測定結果無差別，但個體間和順序有差別。單因素設計資料的方差分析小結設計方法總變異的分解完全隨機分組設計處理間+實驗誤差隨機區(qū)組設計處理+行間（個體）+誤差拉丁方設計處理+行間+列間+誤差交叉設計處理+行間+列間+誤差不同設計的目的主要減少實驗誤差，顯示處理的作用。第六節(jié)、多個均數(shù)差別的多重比較意義：方差分析結果（處理）有統(tǒng)計學意義時，如了解各水平間均數(shù)差別情況，做均數(shù)間的多重比較。研究者的目的常用多重比較方法1.處理組兩兩之間LSD-t檢驗的比較SNK-q檢驗2.各處理組僅與對照組做Dunnett-t檢驗比較注意：多個均數(shù)的組間比較不要采用t檢驗方法，而用多重比較統(tǒng)計方法。注意：多個組間均數(shù)的比較采用兩組

t檢驗計算將增大犯1型誤差的概率。

某次研究對三組數(shù)據(jù)比較，如用t檢驗兩兩比較比較次數(shù)：t檢驗整個實驗犯1型誤差概率A組與B組

=0.05A組與C組=0.05B組與C組=0.05

注：K=實驗中比較的次數(shù)多重比較檢驗：控制增大犯1型誤差的概率均數(shù)多重比較的檢驗方法一.LSD-t檢驗最小顯著性差異的t檢驗（leastsignificantdifference）均數(shù)兩兩比較方法4-144-13兩均數(shù)差值的標準誤LSD-t檢驗和t檢驗的區(qū)別LSD-t檢驗t檢驗誤差自由度方差分析的誤差自由度查t界值表相同例：4-2降血脂新藥2.4g組與安慰劑比較

2.4g組安慰劑組各實驗組與對照組比較比較組均數(shù)LSD-t