數(shù)學(xué)課件（第二冊下）課件 第十八章　多元函數(shù)微積分簡介

第十八章多元函數(shù)微積分簡介§18-1

空間直角坐標(biāo)系§18-2

向量的坐標(biāo)表示§18-3

向量的數(shù)量積和向量積§18-4

曲面和曲線§18-7

多元函數(shù)的極值§18-5

多元函數(shù)的極限與連續(xù)§18-6

偏導(dǎo)數(shù)§18-8

二重積分§18-1

空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系的概念

在空間取三條相互垂直且相交于O點的數(shù)軸構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系.這三條數(shù)軸按右手系依次稱為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸),三條軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸,點O稱為坐標(biāo)原點.

任意兩條坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)面.空間直角坐標(biāo)系共有xOy、yOz、zOx三個坐標(biāo)面,這三個坐標(biāo)面相互垂直且相交于原點O.它們把空間分成八個部分,每一部分稱為一個卦限.

空間中的點M與三元有序數(shù)組(x,y,z)之間具有一一對應(yīng)關(guān)系.(x,y,z)稱為點M的坐標(biāo),記作M(x,y,z).x,y,z分別稱為點M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)(或稱為x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)).

八個卦限里以及原點、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面上點的坐標(biāo)的特征列表如下。卦限坐標(biāo)符號特殊點坐標(biāo)一(+,+,+)原點(0,0,0)或x=y=z=0二(-,+,+)x軸上的點(x,0,0)或y=z=0三(-,-,+)y軸上的點(0,y,0)或x=z=0四(+,-,+)z軸上的點(0,0,z)或x=y=0五(+,+,-)xOy面上的點(x,y,0)或z=0六(-,+,-)yOz面上的點(0,y,z)或x=0七(-,-,-)zOx面上的點(x,0,z)或y=0八(+,-,-)

例1指出下列各點所在的卦限:(2,-1,-4),(-1,-3,1),(2,1,-1).解點(2,-1,-4)在第八卦限,點(-1,-3,1)在第三卦限,點(2,1,-1)在第五卦限.例2在空間直角坐標(biāo)系中作出點(2,-1,3)、(-1,2,-1)、(2,0,2).

§18-1

空間直角坐標(biāo)系二、空間兩點間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)是空間兩點,

稱為空間兩點間的距離公式.例3求點M(x,y,z)到三條坐標(biāo)軸的距離.

例5在y軸上求與點A(1,-3,7)和B(5,7,-5)等距離的點.§18-2

向量的坐標(biāo)表示一、向量的坐標(biāo)表示

以原點為起點的向量與三元有序數(shù)組(x,y,z)是一一對應(yīng)的.因此,把x,y,z稱為向量a的坐標(biāo),并記作{x,y,z},即a={x,y,z}.稱為向量a的坐標(biāo)表示式.

特別地,0,i,j,k的坐標(biāo)表示式分別為

0={0,0,0},i={1,0,0},j={0,1,0},k={0,0,1}.

§18-2

向量的坐標(biāo)表示二、向量的加、減及數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則

a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k={ax+bx,ay+by,az+bz},

a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k={ax-bx,ay-by,az-bz},

λa=λaxi+λayj+λazk={λax,λay,λaz}

(λ為實數(shù)).例1設(shè)向量a=3i-j+2k,b=-2i-2j+k,用基本單位向量的分解式表示a+b,a-b,-3a.解a+b=(3i-j+2k)+(-2i-2j+k)=(3-2)i+(-1-2)j+(2+1)k=i-3j+3k.a-b=(3i-j+2k)-(-2i-2j+k)=[3-(-2)]i+[-1-(-2)]j+(2-1)k=5i+j+k.

-3a=-3(3i-j+2k)=-9i+3j-6k.§18-2

向量的坐標(biāo)表示三、向量的模和方向余弦的坐標(biāo)表示

§18-3

向量的數(shù)量積和向量積一、兩向量的數(shù)量積

定理兩向量a、b垂直的充要條件是a·b=0.

設(shè)向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)得

a·b=(axi+ayj+azk)·(bxi+byj+bzk)=axbx(i·i)+axby(i·j)+axbz(i·k)+

aybx(j·i)+ayby(j·j)+aybz(j·k)+

azbx(k·i)+azby(k·j)+azbz(k·k),所以a·b=axbx+ayby+azbz.稱為向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示式.

例1已知向量a={11,10,2},b={4,0,3},求:(1)a·b;(2)a與b的夾角.解(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示式得a·b=axbx+ayby+azbz=11×4+10×0+2×3=50.§18-3

向量的數(shù)量積和向量積二、兩向量的向量積

兩向量的向量積有以下運算性質(zhì):(1)a×a=0;(2)a×0=0;(3)b×a=-a×b;(4)結(jié)合律(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

(λ為實數(shù));(5)分配律(a+b)×c=a×c+b×c.定理兩向量a、b平行的充要條件是a×b=0.

設(shè)向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,由向量積的運算性質(zhì)得

a×b=(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)=axbx(i×i)+axby(i×j)+axbz(i×k)+

aybx(j×i)+ayby(j×j)+aybz(j×k)+

azbx(k×i)+azby(k×j)+azbz(k×k)=(aybz-azby)i-(axbz-azbx)j+(axby-aybx)k.

例2已知向量a={2,1,-1},b={1,-1,2},求a×b以及以a、b為邊的平行四邊形的面積.

例3設(shè)向量a=i+j,b=k,求同時垂直于a、b的單位向量.§18-4

曲面和曲線一、曲面與方程

在空間解析幾何中,可將曲面視為動點的運動軌跡.如果曲面Σ與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系:(1)曲面Σ上任意一點的坐標(biāo)(x,y,z)都滿足方程F(x,y,z)=0;(2)不在曲線Σ上的點的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)=0,則稱方程F(x,y,z)=0是曲面Σ的方程,而稱曲面Σ是方程F(x,y,z)=0的圖形.關(guān)于曲面與方程,討論如下兩類問題.(1)已知曲面,建立該曲面的方程

大致有以下幾個步驟:首先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;其次設(shè)曲面上的動點為P(x,y,z),根據(jù)已知條件建立含有x,y,z的等式;最后把此等式化簡,即得所求的曲面方程.例1一動點P(x,y,z)與兩定點A(1,1,0)、B(2,0,1)等距離,求動點P的軌跡方程.解動點為P(x,y,z),依題意有|AP|=|BP|,利用兩點間的距離公式得將上式兩端平方后化簡得2x-2y+2z-3=0,此方程即為所求動點P的軌跡方程.

動點P的軌跡是線段AB的垂直平分面,因此所求方程也是線段AB的垂直平分面方程.

§18-4

曲面和曲線二、幾種常用的曲面1.平面(1)平面的點法式方程

過空間一點作與已知直線垂直的平面是唯一的.因此,如果已知平面上一個點及垂直于該平面的一個非零向量,那么這個平面的位置由這個已知點和這個非零向量完全確定.垂直于平面的任一非零向量稱為這個平面的法向量.

這個方程稱為平面的點法式方程.(2)平面的一般式方程

將平面的點法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0展開,得Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0,記-(Ax0+By0+Cz0)=D,得Ax+By+Cz+D=0

(A,B,C不全為零).這個方程稱為平面的一般式方程.

平面的方程為一個三元一次方程;反之,任何一個三元一次方程均表示一個平面.

特別地,當(dāng)一般式方程中某些系數(shù)或常數(shù)項為零時,平面對于坐標(biāo)系具有特殊的位置關(guān)系.（1）通過原點的平面方程為Ax+By+Cz=0

(D=0).（2）坐標(biāo)面的方程為（3）平行于坐標(biāo)面的平面的方程為x=a

(平行于yOz面),y=b

(平行于zOx面),z=c

(平行于xOy面).x=0

(yOz面),y=0

(zOx面),z=0

(xOy面).（4）平行于坐標(biāo)軸的平面的方程為Ax+By+D=0

(不含z,平行于z軸),Ax+Cz+D=0

(不含y,平行于y軸),By+Cz+D=0

(不含x,平行于x軸).例3設(shè)一平面經(jīng)過點(3,-4,5),且與向量n={6,-4,7}垂直,求此平面的方程.解由平面的點法式方程得所求平面的方程為6(x-3)-4(y+4)+7(z-5)=0,即6x-4y+7z-69=0.例4求過三點M1(1,1,1)、M2(2,0,1)、M3(-1,-1,0)的平面方程.

(3)平面的截距式方程

這個方程稱為平面的截距式方程.其中a,b,c分別稱為平面在x軸、y軸、z軸上的截距.(4)點到平面的距離

這個公式稱為點到平面的距離公式.例5求兩個平行平面19x-4y+8z+21=0與19x-4y+8z+42=0之間的距離.解因為這兩個平面平行,所以只需求出一個平面上的任意一點到另一平面的距離即可.設(shè)點M0(x0,y0,z0)為平面19x-4y+8z+21=0上的一點,則有19x0-4y0+8z0=-21.

2.二次曲面

由一個三元二次方程表示的曲面稱為二次曲面.(1)球面

與一定點的距離為定長的空間點的軌跡叫做球面.這個定點叫做這個球面的球心,定長叫做這個球面的半徑.

特別地,球心在原點O(0,0,0)、半徑為R的球面方程為x2+y2+z2=R2.

一般地,方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0稱為球面的一般方程.(2)柱面

一動直線L沿已知曲線C移動,且始終與某一條定直線平行,這樣形成的曲面稱為柱面.其中L稱為柱面的母線,C稱為柱面的準(zhǔn)線.

設(shè)準(zhǔn)線是xOy面內(nèi)的曲線,即C:F(x,y)=0,則準(zhǔn)線為曲線C、母線為L平行于z軸的柱面方程為F(x,y)=0

(不含z).

準(zhǔn)線是二次曲線的柱面稱為二次柱面.常見的二次柱面有以下幾種.

③拋物柱面:y2=2px

(p>0).

柱面方程也可以是F(y,z)=0(不含x,母線平行于x軸)或F(x,z)=0(不含y,母線平行于y軸).(3)旋轉(zhuǎn)曲面

一條平面曲線C繞其平面上的一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線,定直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸.球面、圓柱面都是旋轉(zhuǎn)曲面.

以坐標(biāo)面上的曲線為母線,以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程的一般求法:已知某坐標(biāo)面上的曲線C繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn),為了求此旋轉(zhuǎn)曲面的方程,只要使曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)變量保持不變,而以其他兩個坐標(biāo)變量平方和的平方根來代替方程中的另一個坐標(biāo)變量.例6求yOz面上的拋物線z=ay2繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.

例7求yOz面內(nèi)的拋物線z=6-y2繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.

§18-4

曲面和曲線三、空間曲線1.空間曲線的一般方程

解方程x2+y2+z2=16表示以原點為球心、以4為半徑的球面;y=3表示平行于zOx面的平面,方程組

2.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

以空間曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面,稱為空間曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面.投影柱面與xOy面的交線C'稱為C在xOy面上的投影曲線,簡稱投影.

這個方程稱為空間曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程.

從曲線C的方程中分別消去x和y,可分別求得曲線C關(guān)于yOz面和zOx面的投影柱面方程R(y,z)=0和T(z,x)=0.

§18-5

多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、多元函數(shù)的概念定義設(shè)在某個變化過程中有三個變量x、y、z,如果對于變量x、y在其允許的實數(shù)范圍內(nèi)所取的每一組值(x,y),按照某種對應(yīng)法則,變量z總有確定的實數(shù)與之對應(yīng),則稱z是x、y的二元函數(shù),記作z=f(x,y).其中x、y稱為自變量,z稱為因變量.自變量x、y所允許的取值范圍稱為函數(shù)的定義域.

二元函數(shù)在點P0(x0,y0)所取得的函數(shù)值記作f(x0,y0)或f(P0)

類似地可以定義三元函數(shù)u=f(x,y,z)以及三元以上的函數(shù).一般地,可以定義n個自變量的函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn).n個自變量的函數(shù)稱為n元函數(shù).自變量的個數(shù)大于或等于2的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).

在討論二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域時,如果函數(shù)是由實際問題得到的,其定義域根據(jù)它的實際意義來確定;對于用解析式表示的二元函數(shù),其定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍.二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域一般是xOy面上的平面區(qū)域.如果區(qū)域延伸到無限遠(yuǎn)處,就稱這樣的區(qū)域是無界的;否則,它總可以被包圍在一個以原點O為中心而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi),這樣的區(qū)域稱為有界的.圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界.包含邊界的區(qū)域為閉區(qū)域,不包括邊界的區(qū)域為開區(qū)域.

解(1)要使函數(shù)有意義,x,y必須滿足R2-x2-y2≥0,所以函數(shù)的定義域是x2+y2≤R2.滿足x2+y2≤R2的全體(x,y)構(gòu)成xOy面上的有界閉區(qū)域:{(x,y)|x2+y2≤R2}.

(3)函數(shù)的定義域是-1≤x+y≤1.這是xOy面上介于兩條直線x+y=-1、x+y=1之間(包含這兩條直線)的一個無界閉區(qū)域:{(x,y)|-1≤x+y≤1}.§18-5

多元函數(shù)的極限與連續(xù)二、二元函數(shù)的幾何表示

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域是xOy面上的區(qū)域D.對于D內(nèi)的每一點P(x,y),把它所對應(yīng)的函數(shù)值z=f(x,y)作為豎坐標(biāo),就有空間中的一點M(x,y,z)相對應(yīng).當(dāng)P(x,y)在D內(nèi)變動時,點M(x,y,z)就在空間變動,點M的軌跡就是二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形.一般說來,它是一個曲面,該曲面在xOy面上的投影即為函數(shù)的定義域D.

§18-5

多元函數(shù)的極限與連續(xù)三、二元函數(shù)的極限

說明1.定義中要求存在某個鄰域,使函數(shù)在該鄰域內(nèi)除點P0外的所有點上都有定義,但事實上,只要在點P0的任意鄰域內(nèi)都有函數(shù)定義域中的點即可.

§18-5

多元函數(shù)的極限與連續(xù)四、二元函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點處都連續(xù),則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)及其邊界上有定義,當(dāng)點P(x,y)從D內(nèi)趨近于邊界點P0(x0,y0)時,如果f(x,y)的極限存在且等于f(x0,y0),則稱函數(shù)z=f(x,y)在邊界點P0(x0,y0)處連續(xù).如果在區(qū)域D的邊界上每一點處都具有上述意義的連續(xù),則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D的邊界上連續(xù).

如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點都連續(xù),且在D的邊界上每一點也連續(xù),則稱函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù).

二元連續(xù)函數(shù)的圖形是一個沒有任何空隙和裂縫的曲面

使二元函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的間斷點.例如:

一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.

在有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)具有類似于閉區(qū)間上的一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):性質(zhì)1(最大值和最小值定理)如果二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),那么f(x,y)在D上必能取得最大值和最小值.性質(zhì)2(介值定理)若二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則函數(shù)f(x,y)在D上必能取到介于它的最小值與最大值之間的任何數(shù)值.§18-6

偏導(dǎo)數(shù)一、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)二元函數(shù)

z

f

(

x,

y)在點(

x0

,

y0

)

處及其附近有定義,當(dāng)自變量

y保持

y0

不變,而

x

在x0

處有改變量

x時

,

函數(shù)有相應(yīng)增量f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

).如果極限

lim f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)

存在,

x

0

x則稱此極限值為函數(shù)z

f

(

x,

y)在點(

x0

,

y0

)處關(guān)于

x

的偏導(dǎo)數(shù),記作fx

(

x0

,

y0

)或

x或

f

(

x0

,

y0

)

z

x0y

y0x

x或z0y

y0xx

x

即fx

(

x0

,

y0

)

limf

(

x0

x

,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)

x

0

x.類似地,函數(shù)

z

f

(

x,

y)

在點

(

x0

,

y0

)

處關(guān)于

y的偏導(dǎo)數(shù)為

lim f

(

x0

,

y0

y)

f

(

x0

,

y0

)

,記作

y

0

y

fy

(

x0

,

y0

)或

y或0y

y0x

x

z

y或z

y

,0y

y0x

x

f

(

x0

,

y0

)即fy

(

x0

,

y0

)

limf

(

x0

,

y0

y)

f

(

x0

,

y0

)

y

0

y.如果函數(shù)

z

f

(

x,

y)

在區(qū)域

D

內(nèi)的每一點(

x,

y)

處關(guān)于

x

的偏導(dǎo)數(shù)都存在,這個偏導(dǎo)數(shù)仍是

x,

y

的二元函數(shù),稱其為函數(shù)

z

f

(

x,

y)

關(guān)于

x

的偏導(dǎo)函數(shù),簡稱偏導(dǎo)數(shù),記作fx

(

x

,

y)或

z

f

x

x或 或z

x

.類似地,可以定義函數(shù)

z

f

(

x,

y)

關(guān)于

y

的偏導(dǎo)函數(shù),記作fy

(

x

,

y)或

z

f

y

y或 或z

y

.fy

(

x0

,

y0

)=

fy

(

x

,

y)

x

x

0y

y0說明：推廣[n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)]例如：三元函數(shù)u

f(x,y,z)，有三個偏導(dǎo)數(shù)，分別記為u

x,u

y和uz

.偏導(dǎo)數(shù)的求法：fx

(

x0

,

y0

)

fx

(

x,

y)

(

x

,

y

)0 0求多元函數(shù)對某個變量的偏導(dǎo)數(shù)時,將其余變量視為常量.

將

y視為常量對

x

求偏導(dǎo)數(shù),得解：

將

x

視為常量對

y求偏導(dǎo)數(shù),得

例

2

設(shè)z

yx

,試證

y

z

1

z

2z.x

y ln

y

x證：

將

y視為常量對

x

求偏導(dǎo)數(shù),

z

yx

ln

y,

x將

x

視為常量對

y求偏導(dǎo)數(shù),

z

xyx

1,

y于是

z

y

xyx

1

y

z

11yx

ln

y

x

y ln

y

x xln

y

2

yx

2z例3

設(shè)u

x2

y2

z2,試證根據(jù)函數(shù)u

x2

y2

z2的自對稱性,有(

u

)2

(

u

)2

(

u

)2

1.

x

y

z證

:所以2 22(

u

)2

(

u

)2

(

u

)2

xx2

y2

z2

1.y

z

x

y

z§18-6

偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)

z

f

(

x,

y)在區(qū)域

D

內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

z

x和

z

,如果它們關(guān)于

x

,

y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則

y稱這兩個偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為z

f

(

x,

y)的二階偏導(dǎo)數(shù).

z

2

z2

fx

x

(

x,

y)

z

x

x

(

x,

y),

x

x

x

z

2

z

f (

x,

y)

z

(

x,

y),yxyx

x

y

y

x

z

2

z2

fy

y

(

x,

y)

z

y

y

(

x,

y).

y

y

y

z

2

z

f (

x,

y)

z

(

x,

y),xyxy

y

x

x

y

這樣的二階偏導(dǎo)數(shù)共有四個,分別記作其中偏導(dǎo)數(shù) , 稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).

2

z

2

z

x

y

y

x同樣還可以定義三階、四階乃至n階偏導(dǎo)數(shù),例如:二階以及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).

z

y2exy,

z

exy

xyexy

exy(1

xy),

x

y

z2

yexy

(1

xy)

e

xy

y

y

x2

xexy

(1

xy)

exy

x

y2

z23 xy

z

y

e ,

x2

x

y

2yexy

xy2exy,

z2解:例1

求z

yexy的二階偏導(dǎo)數(shù).

2

yexy

xy2exy

,

2xe

x2

yexy

.xy

§18-7

多元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義.如果對于該鄰域內(nèi)所有異于點P0的點P(x,y)都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),則稱函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)處有極大值(或極小值)f(x0,y0).極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.相應(yīng)地,稱點P0為極大值點(或極小值點).極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.例1函數(shù)f(x,y)=x2+y2+1在點(0,0)處有極小值1.

例3函數(shù)z=xy在點(0,0)處沒有極值,因為在點(0,0)的任何鄰域內(nèi)函數(shù)值不可能都是正值或都是負(fù)值.定理1(極值存在的必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處有極值,且在點P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)必為零,即fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.

定理1說明,只要函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在,那么它的極值點一定是駐點.但是,函數(shù)的駐點不一定是極值點.定理2(極值存在的充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù),又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.記fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,Δ=B2-AC,(1)當(dāng)Δ<0時,函數(shù)z=f(x,y)在P0(x0,y0)處有極值,并且若A>0,則f(x0,y0)為極小值;若A<0,則f(x0,y0)為極大值.(2)當(dāng)Δ>0時,函數(shù)z=f(x,y)在P0(x0,y0)處沒有極值.(3)當(dāng)Δ=0時,函數(shù)z=f(x,y)在P0(x0,y0)處可能有極值,也可能沒有極值.求函數(shù)z=f(x,y)極值的主要步驟歸納如下:

例4求函數(shù)f(x,y)=3xy-x3-y3的極值.

像一元函數(shù)一樣,可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.一般地說,如果函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得它的最大值和最小值.例5欲做一個容量一定的長方體箱子,問應(yīng)選擇怎樣的尺寸,才能使做此箱子的材料最省?

在實際問題中,如果函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)一定能取得最大值(或最小值),而f(x,y)在D內(nèi)只有唯一駐點,那么可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的最大值(或最小值).§18-7

多元函數(shù)的極值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法

前面所討論的極值問題,自變量的變化是在函數(shù)的定義域范圍內(nèi),除此之外沒有其他附加條件的限制,因此這種極值有時又稱為無條件極值.但在許多實際問題中,函數(shù)的自變量還要滿足某些附加條件,這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.條件極值有以下兩種求法.1.轉(zhuǎn)化為無條件極值

對一些簡單的條件極值問題,利用附加條件,消去函數(shù)中的某些自變量,將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值.

2.拉格朗日乘數(shù)法

求函數(shù)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的可能極值點的方法——拉格朗日乘數(shù)法,步驟如下:(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ是某個常數(shù);

例6利用拉格朗日乘數(shù)法求解

欲做一個容量一定的長方體箱子,問應(yīng)選擇怎樣的尺寸,才能使做此箱子的材料最省?解設(shè)箱子的長、寬、高分別為x、y、z,容量為V(常數(shù)),表面積為S,則所要解決的問題就是求函數(shù)S=2(xy+yz+xz