2022-2023學年吉林省長春高一年級下冊期中考試數(shù)學模擬試題（含解析）

2022-2023學年吉林省長春高一下冊期中考試數(shù)學模擬試題

（含解析）

一、單選

1.若復數(shù)2，則z的共輾復數(shù)z在復平面上對應的點為

A.g,l)B.（；,"）C.（；,T）D.

【正確答案】D

【分析】

由共職復數(shù)的定義得共輔復數(shù)，進而可得解.

1-11

【詳解】；z=5+i,；.z=5—i,；.z在復平面上對應的點為（5，—1）.

故選D

本題主要考查了共朝復數(shù)的概念，考查了復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

2.已知川□為48C的中線，則而等于（）

A.AB+ACB.AB-ACC.D.

-AB+-AC

22

【正確答案】D

【分析】根據(jù)平面向量線性運算可直接求得結果.

___11

【詳解】???ZO為A/48c中線，二刀+正=2而，即/。=—Z6+—NC.

22

故選.D

本題考查平面向量線性運算問題，屬于基礎題.

4

3.已知在Z8C中，AB=5,6C=4,cosB=-,則cosZ=（）

【正確答案】A

【分析】直接利用余弦定理可解得ZC=3,由此可知Z8C為直角三角形，所以

AC_3

cosA~AB~5

【詳解】由余弦定理可得力=4B?+BC?-2ABBC-cosB，

解得ZC=3,^\^AB2=AC2+BC2，

所以NBC為直角三角形,

AQ3

則在RtA/45C中，cosJ=——=

AB5

故選：A.

4.已知巨為單位向量，同=8,向量的夾角為一兀，則方在3上的投影向量是()

4

A.3缶B.—4岳C.—3岳D._2岳

【正確答案】B

【分析】利用投影向量定義即可求得。在。上的投影向量.

_13兀

【詳解】2在0上的投影向量是叱.己=_________生2=-4缶

同2I2_

故選：B

5.某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭力出發(fā)航行到北岸，假設游船在靜水中的航

行速度的大小為M=8km/h,水流的速度的大小為=4左加辦，設*和*的夾角為

火0°＜。＜180°),北岸的點8在4的正北方向，游船正好到達8處時，cos6=()

至C._1_D.

222

【正確答案】D

—?—?—?—?,—??

【分析】設船的實際速度為V，則丫=匕+匕，由題意可得uJ■匕，即V?匕=0,代入計算

即可求出答案.

【詳解】解：設船的實際速度為。，則^=i+E，

北岸的點B在A的正北方向，游船正好到達8處，則:，E，

所以v?匕=0，

即（匕+匕）.匕=1[H畛l'cose+Ml=32cos6+16=0,解得coseu-,,

故選：D.

B

V2

IT

6.為了得到函數(shù)V=sm2x的圖像，只需將函數(shù)八x)=sin(2x+—)的圖像()

6

7T

A.向左平移一個單位B.向左平移四個單位

126

JTTT

C.向右平移一個單位D.向右平移"個單位

126

【正確答案】C

【分析】由/(x)=sin2(x+q),再根據(jù)平移規(guī)則，得到答案.

7FTT

【詳解】由f(x)=sin(2x+—)=sin2(x+—),

612

TTIT

所以為了得到函數(shù)y=sin2x的圖像，函數(shù)/*(x)=sin(2x+—)需要向右平移一個單位,

612

即/(X-3)=sin2(x--^-4--^-)=sin2x,

故選：C.

7.已知/(x)=cos“sin(xj),則下列描述中正確的是()

A.函數(shù)/(x)周期是2兀

B.當函數(shù)/(x)最大值是:

C.直線X=］不是該函數(shù)的一條對稱軸

D.當函數(shù)/(x)沒有最小值

【正確答案】B

【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù)關系式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調性、周期性、對稱性判定

選項即可.

【詳解】

444

顯然周期7=兀，故A錯誤；

當時，2x-,:./（x）max=；（x=g時取得），故B正確:

由B知，x=W時函數(shù)取得最值，則》=巴是該函數(shù)的一條對稱軸，故C錯誤；

33

當xw（色，兀］時，2X--G|—函數(shù)有最小值，在》=史時取得，故D錯誤.

U）6^66J6

故選：B.

8.在Z8C中，角48,C所對的邊分別為a,b,c,且qsin5==3.若

BD=2DC，則AD的最大值是（）

A.3B.72+1C.V3+1D.也

【正確答案】C

【分析】由正弦定理和已知求出A,再利用正弦定理求得c=2jJsinC，在△48。中，運

用余弦定理和C的范圍可得答案.

【詳解】由正弦定理、asiiifi=J7bcosN可得sirk4sin5=Gsin5cosZ，

因為0<8（兀，所以sin5〉0,

所以辿=taM=G，

cosA

TT

???力為三角形的內角，.?.0<力<兀,.,?力=一，

3

由正弦定理可得一L=—"=’一=2&,其中R為力8C的外接圓半徑，

sirvisin5sinC

a=-i-=2>/3,z.c=2百sinC

sinJV3，

~T

v(7=3,BD—2DC,BD—2,

在△力中，運用余弦定理，^l^AD2=AB2+BD1-2ABBD-cosB

=（2瓜inC『+4-2-2忘inC2cos（g-C],

化簡，可得4）2=2瓜苗2。+4，

7T

???當2C=—[1寸，取得最大值，

2

ADmm=7273x1+4=1+73.

故選：C.

二、多選

9.下列說法錯誤的有（）

A.三點確定一個平面

B.。平面外兩點/、8可確定一個平面￡與平面。平行

C.三個平交，交線平行

D.棱臺的側棱延長后必交與一?點

【正確答案】ABC

【分析】利用平面的基本性質判斷選項A；舉反例判斷選項BC；利用棱臺的定義判斷選項

D即得解.

【詳解】A.不在同一條直線上的三點才能確定一個平面，所以該選項錯誤：

B.a平面外兩點/、8在平面a的垂線上，則經(jīng)過/、8不能確定一個平面?與平面。平

行，所以該選項錯誤；

C.三個平交，交線不一定平行，如三棱錐的三個側面，所以該選項錯誤；

D.棱臺的側棱延長后必交與一點，所以該選項正確.

故選：ABC

10.下列命題為真命題的是（）

A.若復數(shù)Z]>Z2,則z/wR

B.若i為虛數(shù)單位，〃為正整數(shù)，則j4"+3=i

C.若z：+z；=0,則Z|=z2=0

D.若（1+2i）a+b=2i,其中訪6為實數(shù)，a=l,b=-l

【正確答案】AD

【分析】利用復數(shù)的性質判斷選項A：通過計算判斷選項BD；舉反例判斷選項C即得解.

【詳解】A.若復數(shù)4>22,則4/2eR,所以該選項正確；

B.若i為虛數(shù)單位，〃為正整數(shù)，則i4"+3=T，所以該選項錯誤；

C.若Z；+Z；=O,則ZI=Z2=0不一定成立，如Z[=i,Z2=l,所以該選項錯誤；

,.[a+b=0

D.若（l+2i”+b=2i,其中為實數(shù)，則a+b+2ai=2i,;.{,

2a=2

所以該選項正確.

故選：AD

11.在Z8C中，角4民。所對的邊分別為8c,則下列結論正確的是（）

A.若Y+c?—/>0,則Z8C為銳角三角形

B.若N8C為銳角三角形，則siM>cos8

C.若sin2R=sin23,則Z8C為等腰三角形

D.若c=2acos8,貝ij48c是等腰三角形

【正確答案】BD

【分析】對于A,用余弦定理可以判定；對于B,利用正弦函數(shù)單調性及誘導公式即可判定;

對于C,由正弦函數(shù)的性質結合三角形內角即可判定；對于D,利用正弦定理及兩角和的正

弦公式即可判定.

【詳解】對于A,由余弦定理可得cosB=《■+二方>0,即6J。,：],但無法判定Z、

2acI2j

C的范圍，故A錯誤；

TTTTJ1

對于B,若Z8C為銳角三角形，則有4+8〉一=一>4>一一B>0,由正弦函數(shù)的單

222

調性可得sin/>sin（5-6）=cos8,故B正確；

對于C,若sin24=sin2B,由正弦函數(shù)的性質可得2Z=28+2版或24+28=兀+2而，

又45e（0,71）,故4=8或Z+8=W，所以C錯誤；

對于D,若c=2acosB,由正弦定理可得sinC=2sin4cos8,結合兩角和的正弦公式得

=sin（4+6）=sinAcosB+sinBcosA=2sinAcosB=>sinAcosB=sinBcosA

又4、Be（0,7i）,所以cosAcosBw0,故tan力=tanB=>4=8,所以D正確

故選：BD

12.已知函數(shù)/(x)=Gsin?x+e)-cos?x+e)(①>0,0<e<兀)，且/(x)圖象的相

TT

鄰兩對稱軸間的距離為一，則以下說法正確的是()

2

A.(0=1

B.若/(x)為偶函數(shù)，則9=3-

C.若/(x)在區(qū)間［。，弓)上單調遞增，則"的最大值為1

兀

D.若/(')的一個對稱中心為,則9=

6

【正確答案】BC

【分析】求得。的值判斷選項A；求得夕的值判斷選項B：求得*的最大值判斷選項C：求

得夕的值判斷選項D.

［詳解］/(x)=Visin((yx+Q)-cos((yx+Q)=2sin^a)x-，

由/(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為］,可得周期7=2=兀，

則°=生=2.則f(x)=2sin(2x一2+"}

選項A：由①=2可得選項A判斷錯誤；

選項B：若/(x)為偶函數(shù)，則/(0)=2sin(—￡+。)=±2,

T1JIJI

則——+0=2析+一，4￡2或----卜(p=2kn——,kGZ,

6262

2兀

又0＜。＜兀，則9=——.判斷正確；

3

71)71f7T71］

(0,—I,可得2x——+(jPEI--+—4-^＞l,

又0＜9＜兀，且/(x)在區(qū)間上單調遞增，

TTTTTTJT

則—卜(P&—,解之得94一，則9的最大值為一.判斷正確；

6233

選項D：由/（X）的一個對稱中心為卜五,0卜

7171

可得/=2sinl+1=0,則一?|?+0=E,左￡Z,

123

7T

又0<8<兀，則8=§.判斷錯誤.

故選：BC

三、填空題

13.復數(shù)二-=__.

i-2

【正確答案】-2-i##-i-2

【分析】利用復數(shù)除法即可求得上的化簡結果.

i-2

【詳解】忑=二）（」）二-2

故—2—i

14.如圖，已知N8C的斜二測畫法的直觀圖是腰長為2的等腰直角HB'C',則力3c的

面積為________

【正確答案】

【分析】根據(jù)直觀圖畫出原圖ABC,求出|/8|,|NC|即得解.

【詳解】根據(jù)直觀圖畫出原圖ABC,如圖所示，|/C|=21A'C'\=4,\AB|="TI=2J5,

所以Z/8C=X2V2X4=4V2.

故4正

15.已知正三棱錐S-Z8C的側棱長為46，底面邊長為6,則該正三棱錐外接球的表面

積是.

【正確答案】64兀

【分析】

正棱錐的外接球的球心在頂點向底面做投影所在的直線上，先求底面外接圓的半徑，再由勾

股定理求錐的高，由勾股定理求出外接球的半徑，由球的表面積公式求出表面積.

【詳解】解析：過點S作平面43c于點E，記球心為。.

?.?在正三棱錐S—/8C中，底面邊長為6,側棱長為46，

BE=-x—x6=2y/3，

32

:?SE7sB2-BE?=6.

?.?球心。到四個頂點的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長R,

?**OB=R，OE—6—R.

在Rt80E中，OB2=BE2+OE2,

即火2=i2+（6—R）2,解得&=4,

，外接球的表面積為S=4兀R2=64%.

故答案為.64%

本題主要考查正三棱錐的外接球的表面積以及計算能力，屬于中檔題.

16.己知函數(shù)/(x)=ZcosOx+e)(其中">0,。>0,[同<])的部分圖象如圖所示，則

函數(shù)的單調遞減區(qū)間為

【分析】根據(jù)函數(shù)/(X)的圖象，結合三角函數(shù)的性質，求得/(x)=2cos(2x-C),進而

求得函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間.

^rr^rr

【詳解】由函數(shù)/(x)的圖象，可得/=2,-T=一一(一一)=一,即7=兀，

4884

27r/

所以。=亍~=2,即/(x)=2cos(2x+9),

又由/(方)=2,可得cos(2x：+e)=1,解得：+0=E，左EZ,即0=

因為|同<5，所以/=一；，即/(x)=2cos(2x-：),

TTS

令2hr<2x——<2kji+it,keZ,解得

/|o8

jrSjr

即函數(shù)/(X)的遞減區(qū)間為kK+—,kit+—,keZ.

88

TT5冗

故答案為.[E+±,E+H],左eZ

88

四、解答題

17.己知復數(shù)z=(??+2加一8)+(m2+2加-3)i(〃ze&)在復平面內所對應的點為A.

(1)若復數(shù)z—加+2為純虛數(shù)，求能的值；

(2)若點A在第三象限，求〃?的取值范圍.

【正確答案】(1)m=2

(2)(-3,1)

【分析】（1）先化簡z-m+2,再利用z-〃z+2為純虛數(shù)列方程組即可求解（2）依題意

的實部和虛部均小于0,解此不等式組即可求解

【小問1詳解】

由題意得Z—/W+2=（a?+加一6）+（加2+2加—3）i,

因為Z-M+2為純虛數(shù)，

m2+m-6-0

所以《,,解得加=2.

m2+2加一3Ho

【小問2詳解】

復數(shù)Z在平面內所對應的點為/（根2+2加-8,〃/+2加-3）,

nr+2m-8<0

因為點A在第三象限，所以《2，解得一3<〃?<1,

m~+2m-3<0

所以實數(shù)〃?的取值范圍為（-3,1）.

TT7T

18.如圖，在梯形力88中，E為。C的中點，AD〃BC,NBAD=—,NBDA=—,

23

BC=BD.

（i）求N云.麗的值;

（2）求衣與麗夾角的余弦值.

【正確答案】（1）0（2）-也

14

【分析】（1）首先由已知條件得出△88為等邊三角形，2AD=BD=BC=CD,把］萬

和反作為一組基向量，分別表示出詬和麗,直接計算方.而即可.

AC-BD

⑵把瓦和DC作為一組基向量，表示出就，結合（1）,由cos<AC,BD>=

M-R

代入計算即可.

【小問1詳解】

兀

因為=—,AD//BC,

3

7T

所以NBD4=NDBC=—,

3

又因為8C=8D,

所以△BCD為等邊三角形，

兀

所以BD=CD=BC,NBDC=一,

3

TTTT

在RtZX/BO中，由N8D4=—得NZBZ>=一,

36

所以BD=24D,

所以CD=8C=2Z￡>,

由於=赤+詼=而+；反，BD=BC+CD=2AD-DC>

則萬.麗=（力+g函.（2而一況）=21珂一;函2=2西=2］河=0.

【小問2詳解】

由（1）得，前=2茄—覺，|。4=2%4，

2兀

又就=75+灰，NADC==,

3

則撫?麗=（而+反）―（2而一就）

=2|赤卜茄.嵐灰『

=2|^|2+|jD|-|DC|.cos^-4|^|2

=2府］+阿『―4府『

----------~AC-~BD~ADJ7

所以cos<AC,BD>=二能i=7j-.

卜q.陷。7卜外2田14

7T

19.在力8c中，已知力3=2，AC=4,NBAC=—.

3

(1)求Z8C面積；

(2)求Z8C內切圓半徑.

【正確答案】(1)2百

⑵石—1

【分析】(1)直接由三角形面積計算公式SHc=；/82C-sinN8/C,代入計算即可;

(2)首先由余弦定理求出6C,再由等面積法即可求出Z8C內切圓半徑.

【小問1詳解】

兀

因為/B=2,AC—4,Z.BAC——，

3

所以％"c=；Z8-/C,sinNBAC=；x2x4乂今=2日

【小問2詳解】

AB2+AC2-BC222+42-5C21

由cosABAC

2ABAC2x2x42

解得BC=2V3，

設力8c內切圓半徑為「，

則S」48"+,4。r+乜。〃=25

ABC222

____空_______一咨―g

所以;

故力8c內切圓半徑為百一1.

20.如圖，棱長為6的正方體，截去八個一樣的四面體，得到一個新的多面體,

(1)求新多面體的體積；

(2)新多面體的表面積是多少？

【正確答案】(1)180

(2)108+366

【分析】(1)利用正方體的體積減去八個四面體的體積即可求解：

(2)分別求出新多面體每個側面的面積，相加即可.

【小問1詳解】

由題意正方體的體積匕=6x6*6=216,

119

截去的每個四面體的體積匕=§X/X3X3X3=2，

所以新多面體的體積P=9-8X%=180.

【小問2詳解】

由圖可知新多面體的側面由6個正方形和8個正三角形組成，

正方形的邊長和正三角形的棱長均為，32+32=3近，正三角形的高為浮，

所以正方形面積§=3后、3亞=18,三角形面積S,=-x3-V2x^=-，

2222

所以新多面體的表面積S=6$+8s2=108+366.

21.已知函數(shù)/(x)=^sin(ft)x+^)+5(X>0,69>0,|^|<的部分圖象如圖所示.

y

(1)求/(X)的解析式及對稱中心坐標:

(2)先把/(x)的圖象向左平移二個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象,

6

-TTJT

若當XW時，關于X的方程g(x)+2a—1=0有實數(shù)根，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)/(x)=2sin2x+|

-L條力加Z)

(2)

252

7兀271

【分析】G)由最大值和最小值求得A,B的值，由T二=二一±Tt以及7可得⑦的值,

21212CD

再由最高點可求得夕的值，即可得/(X)的解析式，由正弦函數(shù)的對稱中心可得/(X)對稱

中心;

(2)由圖象的平移變換求得g(x)的解析式，由正弦函數(shù)的性質可得g(x)的值域，令1-2。

的取值為g(x)的值域，解不