四川省達(dá)州市普通高中2023屆高三第一次診斷性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（解析版）

達(dá)州市普通高中2023屆第一次診斷性測試

數(shù)學(xué)試題(理科)

注意事項：

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題K答案Il后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的K答案Il標(biāo)號涂黑.

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它K答案』標(biāo)號.回答非選擇題時，將K答案X寫在

答題卡上，寫在本試卷無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合店斗J'"1},則4B=()

A.[0,l)B.(0,1)C.(-∞,1)D.(-∞,1]

R答案HA

K解析H

K祥解Il求出集合A,再求ACB即可.

K詳析H由已知A={x∣4≤l}={x∣0Wx<l},又8={x∣x<l},

θ=[0,l).

故選：A.

2.復(fù)數(shù)Z滿足」=2i,則Z=()

Z

A.B.-?-C.—iD.-i

2222

K答案，C

K解析H

工祥解X根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可得出結(jié)果.

R詳析力由一=2i得，z=-=-^=-=-i,

Z2i2i2-22

故選：C.

3.已知向量a,〃，滿足a_L/?,a=(I,2),則(α-0)?"=()

A.OB.2C.√5D.5

R答案』D

K解析D

K祥解》利用數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.

K詳析F^a-b^?a=a2-ab=?2+22-0=5.

故選：D

4.四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為

首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對部分高一學(xué)生進行了抽樣調(diào)查，制作出如

下兩個等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（）

A.樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)

B.樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)

C.樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多

D.樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)

K答案DC

K解析H

"羊解H根據(jù)等高條形圖的概念結(jié)合條件逐項分析即得.

K詳析D根據(jù)等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多，故C正確；

根據(jù)等高條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，故D錯誤；

樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇歷史意愿的人數(shù)，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女

生比例低，

所以樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)多于選擇歷史意愿的女生人數(shù)，故A錯誤；

樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)不一定多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)，故B錯誤.

故選：C.

5.三棱錐P—ABC的底面ABC為直角三角形，_ABC的外接圓為圓。,PQ，底面ABC,。在圓。上或

內(nèi)部，現(xiàn)將三棱錐的底面ABC放置在水平面上，則三棱錐P-ABC的俯視圖不可能是（）

R答案》D

R解析H

R祥解】根據(jù)題目信息可畫出三棱錐P-ABC的直觀圖，改變。點位置，即可對所有可能的俯視圖做出

判斷，得出K答案』.

K詳析H由三棱錐P-ABC的結(jié)構(gòu)特征，底面ABC為直角三角形，不妨設(shè)NABC=90，貝h?BC的

外接圓圓心。即為AC的中點；

又。在圓。上或內(nèi)部，

當(dāng)。點與C點重合時，三棱錐如下圖所示,

由PQI底面ABC可知，此時三棱錐P-ABC的俯視圖為A選項;

當(dāng)Q點滿足BQ為外接圓直徑時，三棱錐如下圖所示,

由PQI底面ABC可知，此時三棱錐P-ABC的俯視圖為B選項

當(dāng)。點與圓心。重合時，三棱錐如下圖所示,

由PQl底面ABC可知，此時三棱錐P—ABC的俯視圖為C選項;

因此，選項ABC均有可能，俯視圖不可能為選項D.

故選：D

6."a>6>O”是“q>ej”的（）

b

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

K答案XA

K解析』

K祥解』先利用不等式的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證得充分性，再舉反例排除必要性，從而得解.

K詳析工證充分性：

因為a>b>Q,所以￡>1,b-a<O,則e"-"<e°=l,

b

所以f>e"",故a>b>O是f>e""的充分條件；

bb

排除必要性：

令。=-21二-1,則@=2"—。=一3,ej=e一3<e°=l,

b

滿足f>/■〃，但不滿足a>Δ>0,所以a>6>0不是4>斯一”的必要條件；

bb

綜上：^a>b>0”是"f>ej”的充分不必要條件.

b

故選：A.

7.把一個三邊均為有理數(shù)的直角三角形面積的數(shù)值稱為同余數(shù)，如果正整數(shù)”為同余數(shù)，則稱〃為整同余

數(shù).2021年11月3日，2020年度國家科學(xué)獎勵大會在人民大會堂隆重召開，中國科學(xué)院研究員田剛以“同

余數(shù)問題與L—函數(shù)的算術(shù)”項目榮獲2020年度國家自然科學(xué)獎二等獎，在同余數(shù)這個具有千年歷史數(shù)學(xué)

π

中最重要的古老問題上取得突破性進展.在.ABC中，C=一,.ABC繞AC旋轉(zhuǎn)一周，所成幾何體的側(cè)面

2

積和體積的數(shù)值之比為5：41若C的面積〃為整同余數(shù)，則N的值可以為（）

A.5B.6C.8D.12

K答案HB

R解析D

K祥解』用直角三角形的一條直角邊長”和面積〃，表示出另一條直角邊長匕和斜邊長c,以旋轉(zhuǎn)形成的

圓錐的側(cè)面積和體積的數(shù)值之比建立方程，將選項中〃的值代入方程，判斷解出的。，b,C是否為有理數(shù)

即可.

TT

如圖，ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊為“，b,c,且C=-,

2

則.ABC的面積SASC=<=〃，

2a

?*?c=?Ja1÷/?2

一A5C繞4C旋轉(zhuǎn)一周，形成一個底面半徑一=。，高h(yuǎn)=b,母線長∕=c的圓錐,

該圓錐的側(cè)面積S^=πrl=acπ=aAa1+—^-π==?ja4+4H2兀，

該圓錐的體積V=gS底〃=gπr2∕z=?a2hπ—兀=~y-兀

?∣a4+4∕z2π_3Λ∕^4+4τ?2_5

側(cè)面積和體積的數(shù)值之比為一赤=一五—二4，

----Tt

化簡得β?∣a4÷4H2=5an,

對于A，將〃=5代入6，〃4+4〃2=5劭，得6,^+100=25a，。無解，故選項A錯誤;

對于B，將〃=6代入6J+4〃2=5cm，得6?∣a4+144=304，解得。=3或α=4,

當(dāng)α=3時，b=4,c=5均為有理數(shù)，滿足題意，

當(dāng)。=4時，b=3,c=5均為有理數(shù)，滿足題意，故選項B正確;

22008>∕301?-JtrIFH?A?4?7

42,4,O1=——±———，。無有理數(shù)解,

對于C,將〃=8代入(fyJa+4n-5an得6Ja+256=4Oa解得

99

故選項C錯誤;

對于D,將丁=12代入6,/+4/=5a〃，得6，，+576=604，解得/=5θ±2"iT，”無有理數(shù)解,

故選項D錯誤.

故選：B.

1兀、

8.將函數(shù)/(x)=SinI=蛆+(0>0)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，縱坐標(biāo)不變，得到函

23?

兀π

數(shù)g(χ)的圖象，直線/與曲線y=g(χ)僅交于A(Al,%),8(%2，%)，PT，gI三點，W為5，馬的等

6)6

差中項，則0的最小值為()

A.8B.6C.4D.2

K答案』C

K解析W

π

解D由三角函數(shù)圖象的平移變換可得g(x)=Sinωxjt--,由題意推得必為函數(shù)g(*)

K祥I3P

的對稱中心，可得。=6左—2#∈Z,即可求得K答案》.

gox+g卜/>0)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的T倍,

詳析由題意將函數(shù)

KX/(x)=Sin2

π

縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=sin(X)X+-

3

因為直線/與曲線y=g(χ)僅交于A(APy),8(w,%)，P三點，g為對“2的等差中項，

πV在直線/上,故g(w)為y的等差中項，

由于PZg

A(AI,yJ,B(X2，%)，ejj

j、L兀兀

不妨設(shè)％]=---=7十〃，

6~6

兀TTT兀CTπL.Tπl(wèi)TπL

則Sinω(----1)+—+sinG(一+〃)+—=2sin(69-+—),

636363

口rc./兀&兀、/、c?K69兀、

即2sin(----1—)COSyCOT])—2siπ(z-----1—),

6363

若5皿色絲+乙)70,則CoS3〃)=1,即=2,左eZ,此時直線/與曲線y=g(x)不止三個交點,

63

不合題意；

故Sin￡/+；)=0,結(jié)合g(x)=sin(s+9的對稱性，可得有直線/與曲線y=g(x)僅有3個交點,

63\3；

(ππ

必為函數(shù)g(χ)的對稱中心,

即PIZ6g

τrmTT

即g0,故----F—=kπ,k∈Z,/.G)=6k-2,k∈Z,

63

因為。>0,故女=1時，。的最小值為4,

故選：C

9.點F為雙曲線=一與=1(a>Q,?>0)的一個焦點，過F作雙曲線的一條漸近線的平行線交雙曲

crh2

線于點A?。為原點，∣Q4∣=b,則雙曲線的離心率為()

A.√2B.2√3C.2√2D.√3

K答案，D

K解析H

R祥解》通過計算。到所作漸近線平行線的距離為b可知，。4與所作直線和漸近線垂直，再利用雙曲線

a

由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)尸(GO)為雙曲線的右焦點，過F作中〃2,

則g的方程為V=-一(尤-C),即bx+αy-bc=O,

z

則。(0,0)到Ii的距離d=∣∑?-=-=b=?θA?,

1及+a2c

：.OA-Ll39：.OA.Ll2,

在RtΔOAF中，IAb∣=Jl時-IoAF=y∣c2-b2=a，

設(shè)雙曲線左焦點為G,連接贈，由雙曲線的定義知，∣A用=IA月+24=3α,

設(shè)A耳與/2交于點8，：。為線段FIF的中點，OBHAF,

-?OB?=^AF?=^,?AB?=^?AFl?=^,

在RtQW中，|AB「=|QA『+|QB『，即竽=〃+!，化簡得〃=2。2,

10.曲線/(x)=(x+m)hw(mwR)在點(IJ⑴)處的切線平分圓(x—2)2+(y—1)2=5,則()

A.y=∕(x)有兩個零點

B.y=∕(χ)有極大值

C.y=∕(x)在(0,+8)上為增函數(shù)

D.當(dāng)x>l時，/(x)>0

R答案』D

K解析D

K祥解11根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義確定在點(1,7(1))處的切線方程為(1+，〃)》->一1一加=0,由于平分圓，所

以得利=(),于是得函數(shù)/(x)=Mnx,結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的零點，單調(diào)性，極值即可判斷.

1

K詳析D解：因為/(x)=(x+m)lnx("2∈R),所以/'(x)=hu+(x+m)-=lnx+l+—，

曲線在點(1,7(1))處的切線斜率左=∕'(l)=lnl+l+m=l+"2,又/(l)=(l+m)lnl=0,

則切線方程為：γ=(l+m)(x-l),即(l+m)x-y-l-m=0,

若該切線平分圓(X—2)2+(y—1)2=5,則切線過圓心(2,1),則2(1+〃?)—1—1一m=0,解得m=0,

所以/(x)=JdnX,x∈(0,+∞),

對于A,/(x)=xlnx=0,即InX=0,所以x=l,則y=∕(x)有一個零點，故A不正確;

(,所以當(dāng)XGO1s時，r(H<o,/(%)單調(diào)遞減，當(dāng)Xeg1

對于B,/'(X)=Inx+1=0,解得X=,+8

ee

時，附χ)>0,“X)單調(diào)遞增，所以y=∕(x)有極小值/(j,故B不正確；

對于C,由B可知，C不正確；

對于D,由B可知/(x)在x∈g,+oo)上單調(diào)遞增，且/(I)=Ixlnl=O,所以當(dāng)χ>l時，/(x)>0,

故D正確.

故選：D

11.在棱長為2的正方體ABC?！狝BcQl中，EF分別為AB,BC的中點，則()

A.異面直線。。「與BlF所成角的余弦值為好

5

B.點尸為正方形AqGA內(nèi)一點，當(dāng)OP//平面用跖時，OP的最小值為逆

2

C.過點DvE,F的平面截正方體ABCD-A∣BCD∣所得的截面周長為3√2+2√5

D.當(dāng)三棱錐耳-BEF的所有頂點都在球。的表面上時，球。的表面積為127

K答案，B

K解析H

R祥解》A項通過平行線求異面直線所成角；B項先求點P的軌跡再求。尸的最小值；C項先由面面平行

的性質(zhì)作出截面再求截面的周長；D項先找外接球的球心再求球的表面積.

K詳析X對于A項，

?.?DDJ∕BB?

.?.在RtZ?BB尸中/BB產(chǎn)即為異面直線ODl與B尸所成的角,

BB?2√5

cos/.BBF

xByF5

.?.異面直線。G與所成的角的余弦值為2叵.故A項錯誤;

5

對于B項

AEB

取AQi的中點M,QCI的中點N,連接MN,DM,DN,

則ZW〃B∣F,DN//BiE,

又YDMZ面8∣E凡BIFU面BiEF,DN0而BiEF,B】Eu面BiEF,

,OM〃面BiEF,ON〃面BiEF,

又，：DMDN=D,DM、DNU面DMN,

面。MN〃面B∣EF,

又YOP〃面BIE凡Pe面AscQl

,P軌跡為線段MM

在ADWN中，過。作。P_LMN,此時。P取得最小值，

在RtADDlM中，DlM=l,DlD=2,/.DM=√5，

在RtZ?f>D∣N中，DIN=T,DιD=2,：.DN=也，

在RtZXMQN中，DIN=T,D∣M=1,：.MN=6,

，如圖

P

Mr-------T-------7N

D

在Rt△￡>2％中，DP=JDN2_(等)2=,5_；=手

.故B項正確;

對于C項,

過點。I、E、尸的平面截正方體ABC￡>—4BlCIOl所得的截面圖形為五邊形。IMEFN

則￡>iM〃NF,DiN//ME,

如圖，以。為原點，分別以D4、OC、￡>Z)I為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系￡>一肛z,設(shè)AM=∕n,CN=n,

則M(2,0,根)，N(0,2,"),￡(2,1,0),F(l,2,0),A(0,0,2),

?*?ME—(0,1,—∕π),D[N=(0,2,2),DIM=Q,0,m—2),NF=(1,0,—n),

,：D\M〃NF,DiN∕/MEf

2

m=-

-2m=n-2

=<3

-2n=m-22

ιt=-

3

22

.?,AM=-,CN=-

33

44

.?.?M=-,CxN=-

4??/n，同理：DiN==^-

???在RtZSOIAIM中，DιAi=2,AM=-,Λ∏M=±X1±

313

2∕7TFN=叵

在RtZ?MAE中，AM=—，AE=I,/.ME=?-，同理:

333

在RtZ?EBF中，BE=BF=?,：.EF=√2>

D∣M+RN+ME+FN+EF=2上?+2X號+6=2岳+O，

即：過點。I、E、F的平面截正方體ABCD-A山Qd所得的截面周長為2Ji5+√L

故C項錯誤：

對于D項，

如圖所示，取EF的中點Oi,則OiE=OIF=OIB,過。∣作。01〃8田，且使得Oa=38耳=1,則。為三

棱錐5—8EF的外接球的球心，所以O(shè)E為外接球的半徑，

?；在RtAEBF中，EF=丘,

22

:.R=OE=Oq2+(空)2=］2+(與2=3

1222

/.S球o=4TΓR2=6幾.故D項錯誤.

故選：B.

12.函數(shù)/(x)滿足/(2-x)+"x)=2,令g(x)=∕(x+l)T,對任意的x<(),都有

g(m=Xg(X),若g(擊卜言則/(0)=(〉

1

A.—1B.3C.1D.----

99!

K答案，A

K解析H

R祥解》根據(jù)“2-x)+∕(x)=2變形得到了(1一x)-l=l-/(x+l),即g(—x)=—g(x),再根據(jù)

g(T?)=Xg(X)，g［七］=總，計算得到g(T)=-2,g(l)=2,從而得到/(2)=3,由

V?kJ?IUUJyy?

/(2-X)+y(x)=2求出K答案』.

K詳析H因為〃2-x)+∕(x)=2,所以〃2—力—1=1—/(x),

即/(2r7)7=l二f(x+l),/(lr)7=J∕(x+l),

故g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函數(shù),

Y]]

令」一=人,解得：x^--<0,

x-l9998

依次可得:

g(g)=-g(-l)=［，解得：g(-l)=-2,則g(l)=2,

則/(2)-l=g(l)=2,故/(2)=3,

/(2-x)+∕(x)=2中，令x=2得：/(0)+∕(2)=2,

所以/(0)=2T⑵=2-3=T,

故選：A

H點石成金D方法【點石成金J：抽象函數(shù)對稱性與周期性的判斷如下：

若/(x+α)=/(-x+8)，則函數(shù)y=∕(x)關(guān)于x=對稱；

/1\

若/(x+α)+∕(-x+8)=0,則函數(shù)y=∕(x)關(guān)于I?Λθ中心對稱;

I，7

若y(%+α)=f(x+b),則卜一耳是j=/(X)的一個周期

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.[χ+L)展開式中的常數(shù)項為(用數(shù)字作答).

K答案D70

K解析H

K祥解R由二項展開式通項公式確定常數(shù)項的項數(shù)，從而得結(jié)論.

K詳析U7；M=C=8T(J√=C=82,

X

令8—2r=0,解得r=4,

常數(shù)項為n=C；=70.

故R答案H為：70.

14.定義人d=αd-權(quán)＞，現(xiàn)從集合{xeNIx＜10}中隨機取兩個不同的元素，〃,"，則滿足§〃=0的

概率為.

R答案D—

24

K解析H

R祥解D根據(jù)新定義得到2〃=3根，再根據(jù)(〃?,〃)的所有取值可能，利用古典概型的概率計算公式即可求

解.

K詳析H因為{xeN-I尤＜10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},從集合中隨機取兩個不同的元素機〃，所組成的

點(加,〃)共有Aj=72個，

c2m

又因為定義，-ad—be,所以由=0可得：2n~3m,

ba3n

在所有的點(也〃)中，滿足2〃=3加的有(2,3),(4,6),(6,9)共3個,

31

由古典概型的概率計算公式可得：P=——=——,

7224

2m1

所以滿足C=0的概率為一，

3n24

故K答案X為：—.

24

15.已知正方形ABCO邊長為2,M,N兩點分別為邊BC,CO上動點，ZMAN=45，則,CMN的周長為

K答案，4

R解析D

K樣解D設(shè)BM=r,∕MAB=6,用，表示出CN,CM,由勾股定理求出MN即可求出周長.

K詳析D如圖所示，設(shè)BΛ∕=∕(0<rW2),AMAB=θ,

所以HΛ∕=AB?tan9,即tan。=」,

2

由題意可得CM=2—，，ZDAN=45o-θ,

1—tan84-2,4—2,41

所以O(shè)N=AD?tan(450-6?)=2×=-?-?，CN=2-DN=2--^-=—,

1+tanθ2+Z2+/2+/

所以MN=NCN?+CM2=T券+(2—7)2=^^,

4/∕24-4

所以二CMN的周長為CN+CM+MN=——+2-/+------=4,

2+，2+1

故K答案2為：4

16.斜率為1的直線/與曲線C:產(chǎn)=2pχ(p>0,”0)交于A(xl,y,),B(x2,%)兩點，/為V=2℃的焦

點，％2—％=2,|4曰+忸同=3,點加(改),及))(不<不)<々)為曲線。上一點，當(dāng)?shù)拿娣e取最大

值時，?MF?=.

K答案H1

K解析D

V2=2DX

K祥解Ii設(shè)直線/：y=χ+加，聯(lián)立”,根據(jù)條件和韋達(dá)定理可得拋物線方程和直線/的方程,

y=x+m

再求出點"(X。，兒)到直線V=X的距離，當(dāng)距離最大時，即可得△也AB面積最大時的XI)的值，進而可得

?MF?

R詳析》設(shè)直線/：y=x+m,

聯(lián)立“)2",:.y2-2py+2pm=0,(p>0,γ≥0)

y=x-vm

2

.?.*÷γ2=2p>0,yiy2=2pm≥0,Δ=4p-8pm=4p(p-2∕π)>0,

7

又∣A∕∣+忸同=xl+?+Λ2+?=y1+y2-2m+p=3p-2m=3,

-Xiy=(%-*『=(%+y∣)2-4%y=4p2-8M=4'

1

P=I2

解得C或O(舍去)，

〃1=()3

2

v=2χ

則，得A(0,0),B(2,2),.?.0<∕<2,

則點〃（/,幾）到直線V=%的距離

當(dāng)V?=O或J5，即/=°或2時，d=0,

當(dāng)E=與,即毛=（時，”=壺，此時Z?M4B的面積取最大值,

.?.?MF?=%0+-^=→i=l

故K答案』為：1.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.黨的十九大提出實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略以來，農(nóng)民收入大幅提升，2022年9月23日某市舉辦中國農(nóng)民豐收

節(jié)慶?；顒?，糧食總產(chǎn)量有望連續(xù)十年全省第一.據(jù)統(tǒng)計該市2017年至2021年農(nóng)村居民人均可支配收入的

數(shù)據(jù)如下表:

年份20172018201920202021

年份代碼X12345

人均可支配收入y（單位：萬元）1.301.401.621.681.80

（I）根據(jù)上表統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算）'與尤的相關(guān)系數(shù)，?，并判斷y與X是否具有較高的線性相關(guān)程度（若

0.30,,∣r∣<0.75,則線性相關(guān)程度一般，若卜∣??0?75則線性相關(guān)程度較高，廠精確到0.01）；

(2)市五屆人大二次會議政府工作報告提出，2022年農(nóng)村居民人均可支配收入力爭不低于1.98萬元，求該

市2022年農(nóng)村居民人均可支配收入相對2021年增長率最小值(用百分比表示).

∑(xT)(K-9)5__

參考公式和數(shù)據(jù)：相關(guān)系數(shù)r===Ln-------------∑U-^)(χ-y)=l?28,

J∑U?→)2J∑(x→)2，=，

VZ=JV∕?=ι

5I—

∑(X?-7)-≈9O?17,√Γ7≈1.3.

/=1

K答案Il(I)0.98,具有較高的線性相關(guān)程度；

(2)10%.

R解析D

K樣解II(I)根據(jù)條件及相關(guān)系數(shù)/公式可得相關(guān)系數(shù)"，進而即得；

(2)設(shè)增長率為。，由題可得1.8(l+p)N1.98,進而即得.

K小問1詳析』

由題可知X的平均數(shù)為J=1+2+3+4+5=3,

5

￡(七一亍『=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,

/=1

5

Z(Xi-元)(K一刃

二11.281.28

所以≈0.98

r=2

-J∑(yi-y)√iδ?√δj7

/=1V/=1

0.98>0.75,

所以〉與X具有較高的線性相關(guān)程度;

K小問2詳析》

設(shè)增長率P,貝∣JL8(1+")≥1.98,

解得“N0?l,

.?.Pmjn=0.1=10%,

該市2022年農(nóng)村居民人均可支配收入相對2021年增長率最小值為10%

18.已知正項等比數(shù)列｛a,,｝前〃項和為S”%=生3，當(dāng)“≥2時，Sn=2Sπ.l+∕n,m∈R.

(I)求｛%｝的通項公式;

m?2n

(2)求數(shù)列的前〃項和7；.

K答案，⑴%=2"T("∈N*)

(2)7；=1--7J—

“2n+l-l

K解析，

K樣解D(I)利用等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合與S.的關(guān)系式即可求得α∣與心從而得解;

(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，求得發(fā)一的通項公式，再利用裂項相消法即可求得Z,.

SAS〃+i

K小問1詳析?

設(shè)正項等比數(shù)列｛α,,｝的公比為q,

?.?an>0,4>O,

?,?由/=點得=(αq)3，解得％=1，

ZMW

當(dāng)〃≥2時，Sn=2S,,.l+,∈R,

.?.S2=251+m,Si=IS2+m,則邑-S2=2(S2-Sj,即/=24，

?“.1一幺一一2乙,

a2

.?.a,,'/',"")

K小問2詳析)

由(1)得的=2,

S2=2S1+m,α∣+a2=2α∣+m,:.m-a2-at-1,

l×(l-2n).、

S,,=二=2"T(〃eN")，

?__m__-2__"_________2_"___________1_______1___

,,,,+1,,+l

■■Sll?Sn+i~(2-l)(2-l)-r≡l-2-l'

.τ-U_____O+P_____O++P_____0-1--—

,'U1-I22-lJU2-I23-lJ12"-12n+l-lJ2,,+1-l'

19.如圖，四棱錐P—ABC。的底面ABCo是梯形，AT>〃8C,ABJ,BC,E為4）延長線上一點，PEJ_

平面ABCD,PE=2AD,IanZPDA=一2,E是PB中點.

（1）證明：EFLPA;

（2）若BC=2AO=2,三棱錐E—POC的體積為g,求二面角F-。E-C的余弦值.

K答案I）（I）證明見K解析D

⑵—

5

K解析D

K祥解》（1）取Q4的中點M,連接EM,FM,進而證明P4，平面EEW即可證明結(jié)論；

（2）由題CE_L平面QAE,進而根據(jù)等體積法得CE=I,再以E為原點，分別以E4,EC,E尸方向為X軸,

）'軸，Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系&yz,利用坐標(biāo)法求解即可.

R小問1詳析】

證明：PE_L平面ABCD,AB?平面ABCD,:.PElAB.

?.ABA.BC,AD//BC,:.ABrAD.

又PECAD=E,PE,A。u平面PAo

.?.AB工平面PAD.

Q4u平面PAD.

..PALAB

取小的中點M,連接EM,FM,E為尸B的中點，

：.FM//AB.

：.FMA.PA.

tan/PDA=-2,..tan/PDE=2,

.?.——=2,:.PE=2DE=2AD,

DE

.:D為AE中點，，PE=AE,.'EM，PA.

又EMCFM=M,EM,FMU平面EFM

.?.24，平面EBW?

EFU平面EFM,EFIPA.

解：?.BC=2AD=2DE=2,..PE=2.

:.BC//AE,且BC=AEjABJ.BC,;.四邊形ABCE為矩形，

.?.CEL平面Q4E.

?-V￡_PDC=Vp_D￡C=lsD￡C-P￡=lxixlxCFx2=l,解得支=1,

以E為原點，分別以EA,EC,EP方向為X軸，y軸，Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系&yz.

AZ

則D(Lo,0),C(0,1,0),小g,l),

.?,ED=(1,0,0),EF=

易知勺=（0,0,1）是平面。EC的一個法向量.

UU

設(shè)平面FZ）E的一個法向量為H2=（X,y,z）,

X=O

EDn1=0

.,即《1,不妨取y=-2,得%=(0,-2,1).

EFn=0x+—y+z=0

12

H1?n2_1_y/5

∣wι,∣?j亞5,

由圖知二面角尸一OE—C的平面角為銳角，

..?二面角尸一。E—C的余弦值為好.

5

20.已知直線/：丁=丘（左＞0）交橢圓C:5+y2=i于A,B兩點，耳，尸2為C的左、右焦點，G關(guān)于直線/的

對稱點在。上.

(1)求Z的值:

IFi?i^

過K斜率為K的直線交線段AB于點。，交C于點M,N,求法;的最小值.

R答案H(1)k=?

√2

(2)

6

R解析D

K祥解》（1）根據(jù)條件列方程求出k;

?FD?'

（2）求出A,B的坐標(biāo)，并運用韋達(dá)定理和弦長公式求出『1事的表達(dá)式，再運用配方法求解.

?MN?

R小問1詳析』

由題知耳（—1,0）,K（1,0）.

31,F-I

設(shè)耳關(guān)于直線/的對稱點坐標(biāo)為（只y）,貝M龍,+/,解得（k+1.

^~=k?^-y'=-

12217公+］

(k2-?)'4太

根據(jù)條件得-?-——?+-一了?=1,解得爐=l（A>0）,即％=1；

22

2(?+l)^(k+

K小問2詳析)

由題意作下圖：

斗

=X代入桶圓C方程得AB的坐標(biāo)為［乎,乎］，

設(shè)M(XI,X),N(X2,％)?把y=

/rr?

-?-,-?-.由已知得直線M/V的方程為y=匕(X—1)…①交線段AB于。，

I3?)

^√6√6

*0*----?=-效Jtl—‰=?，即一指—2領(lǐng)k?/e—2.

1-亞1+亞

33

設(shè)O(XD,力)，在①中令y=x,得巧)=上，?

??F2D?=J(%-ι)2+yJ=

KT1AC∣

2

把①代入5+y=1并化簡得(1+2￠*-40+2%：-2=0,

4片2好一2

?=16)l4-4(1+2k；)(2k；-2)=8僅：1)>O,%+x

1+12E'5=K

.?"乒I…∣=?^1

JLIZK]

?怩。匚1+2公

2

?∣MN∣2√2(l-?l)

311+2k；2

令『=1—匕即攵=一一時,777?取得最小值[，

22(1-?∣)3

所以嶼雪的最小值為也；

IMNl6

綜上，k=I,C~~■的最小值為RZ

IMNl6

21.已知函數(shù)/(x)=XeT"-lnxG%∈R).

(1)若X=I是函數(shù)/(x)的極值點，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵證明：當(dāng)機＜一g時，曲線y=∕(x)上的所有點均在拋物線f=y的內(nèi)部.

K答案》(1)單調(diào)減區(qū)間(0,1],增區(qū)間為[1,+8)

(2)證明見K解析》

K解析H

1—?27

K樣解Il(I)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)/'(1)=0,得一F-1=0,再根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的

e

零點"2,最后代入原函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

1

(2)首先利用不等式的傳遞性，得了(九)=χeτzɑ7n尤＞xe^7nχ,再構(gòu)造兩個函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明

XefTnX”，即可證明?

R小問1詳析)

由〃尤)=Xe"'—Inx得X>0,且(X)=e^,,u'-mxena-

x=l是函數(shù)/(x)的極值點，.?.∕'(l)=e-"'-meτ"-l=0,即:一1=0.

1_γ9

設(shè)/⑺=-√-l,則A(X)=二?.當(dāng)x<2時，γj'(x)<OJ(X)單調(diào)遞減，當(dāng)x>2時

ee

A(X)>0］(x)單調(diào)遞增.

又當(dāng)x>2時，/(無)<0,且工(O)=O加=0.

當(dāng)加=0時,/(x)=X-Inx,/'(X)=I-L若0<x<lJ'(x)<0j(x)單調(diào)遞減；

若X>1,,f(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，/'⑴=0,X=1是f(x)的極小值點.

所以/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1］，增區(qū)間為［l,+∞).

K小問2詳析)

/1\1_.L

證明：〃?(——,x)Q,.?-mx>—X,:.e~'nx>e2.

\2/2

\_

/./(x)=xe-mv-Inx>xe2-Inx

L-X

構(gòu)造函數(shù)g(x)=Q,則，⑴=(x-2}2',當(dāng)o<χ<2時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

X2x

當(dāng)x>2E?,g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增.由于g'⑵=0,???g‰=g(2)=?∣?

Inx

設(shè)MX)=詈+1,則為⑴=Ii,當(dāng)0<χ<加時,(X)>0M(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>五時，"(x)<0,〃(X)單調(diào)遞減.由于/1'(旬=Oj(X)max=M悶=(+L

f^?+1)=efT〉0,λg(")min>〃(幻max,，g(力>九(力,二,>竽