2023-2024學(xué)年江西省吉安市峽江中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年江西省吉安市峽江中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在正四面體P?ABC中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則A.?1 B.1 C.3 2.已知(x2+x+a)(A.?10 B.?11 C.?133.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，A(8,0,0)，B(A.35 B.36 C.84 D.214.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A.105 B.104 C.5.如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知：PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，BC/?/AD，PA

A.41515 B.43 C.6.向量a,b滿足|b|=1，?a+A.[2?1,2+17.已知拋物線C：y2=4x，M是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若H為圓N：(A.5 B.5 C.2 D.8.如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”的數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記此數(shù)列的前n項(xiàng)之和為Sn，則S32的值為．(

)A.452

B.848

C.984

D.1003二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若(1?2xA.a0=1 B.i=0210.已知圓C：x2+y2=2，點(diǎn)P為直線l：x?2A.直線l與圓C相離

B.圓C上有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1

C.過(guò)點(diǎn)P向圓C引一條切線PA，其中A為切點(diǎn)，則|PA|的最小值為65

D.過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB11.已知雙曲線E：x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)C(A.當(dāng)點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為3

B.若A(?1,0)，則∠QF2A=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖為一個(gè)開(kāi)關(guān)陣列，每個(gè)開(kāi)關(guān)只有“開(kāi)”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開(kāi)關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰(上、下相鄰或左、右相鄰)的開(kāi)關(guān)改變狀態(tài).若從這十六個(gè)開(kāi)關(guān)中隨機(jī)選兩個(gè)不同的開(kāi)關(guān)先后各按1次(例如：先按(1,1)，再按(4,4))，則(((((((((((((((((13.正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1，AB=3，A1B1=1，AA1=2，14.已知雙曲線y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F四、解答題：本題共6小題，共89分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

有5對(duì)夫婦和A，B共12人參加一場(chǎng)婚宴，他們被安排在一張有12個(gè)座位的圓桌上就餐(旋轉(zhuǎn)之后算相同坐法)，而后進(jìn)行合影留念．

(1)就餐時(shí)，5對(duì)夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，A，B不相鄰，共有多少種坐法；

(2)合影時(shí)，若隨機(jī)選擇5人站成一排進(jìn)行合影，求有且只有16.(本小題15分)

已知圓C的圓心為C(a,b)(a>0且b>0)，ab=1，圓C與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)(與坐標(biāo)原點(diǎn)O不重合)，且線段AB為圓C的一條直徑．

(1)求證：△AOB的面積為定值；

(2)若直線x?y17.(本小題15分)

如圖，在多面體ABCDEF中，側(cè)面BCDF為菱形，側(cè)面ACDE為直角梯形，AC/?/DE，AC⊥CD，M，N分別為DF，AB的中點(diǎn)，且BC=2，AC18.(本小題17分)

已知拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn).已知當(dāng)l的斜率為2時(shí)，|AB|=5．

(1)求拋物線C的解析式；

(2)19.(本小題17分)

已知點(diǎn)A(4,7)，集合S={(x,y)|x216+y212≤1}，點(diǎn)P∈S，且對(duì)于S中任何異于P的點(diǎn)Q，都有AP?PQ>20.(本小題12分)

已知集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*)，規(guī)定：若集合A1∪A2∪…∪Am=A(m≥2,m∈N*)，則稱{A1,A2,…,Am}為集合A的一個(gè)分拆，當(dāng)且僅當(dāng)：A1=B1，A答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了分析解決問(wèn)題的能力，將空間向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為一組空間向量基底的運(yùn)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．

運(yùn)用空間向量基本定理，將PE,BC用向量PA【解答】

解：如圖所示：

在正四面體P?ABC中，∠APC=∠BPC=∠APB=60°，

因?yàn)镋是棱AB2.【答案】B

【解析】解：∵(x2+x+a)(2x?1)6展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3，

所以令x=1，可得2+a=3，解得a=1，

∴(x2+x+a)(2x?1)6=(x2+x+1)(2x?1)6，

∵(2x?1)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C6k?(2x)6?3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，作出圖形如下，

因?yàn)锳(8,0,0)，B(0,8,0)，C(0,0,8)，所以AB=(?8,8,0)，AC=(?8,0,8)，

設(shè)面ABC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則AB?n=?8x+8y=0AC?n=?8x+8z=0，

令x=1，則y=1，z=1，故n=(1,1,1)，

設(shè)P(a,b,c)是面ABC上的點(diǎn)，則AP4.【答案】A

【解析】解：由題意不妨設(shè)2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|=6t>0，|F1F2|=2c，

則|PF1|=3t，|PF2|=2t，|QF1|=t，

又由橢圓定義可知|PF1|+5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)镻A⊥平面ABCD且∠BAD=90°，

所以以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)橐阎猀是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，所以設(shè)Q(x0,y0,0)，

其中x0∈[0,4]，y0∈[0,2]且x0+y0≤4(即點(diǎn)Q在平面ABCD內(nèi)部)，

則P(0,0,2)，D(4,0,0)，A(0,0,0)，

因?yàn)槠矫鍼AD?平面xOz，所以平面PAD的法向量為m=(0,1,0)，

又因?yàn)镻D=6.【答案】B

【解析】解：在平面直角坐標(biāo)系中，不妨令b=(1,0),a=(x,y)，

則a+b=(x+1,y),a+2b=(x+2,y)，

由?a+b,a+2b?=30°，得cos<a+b,a+2b>=cos30°=(a+b)?(a+2b)|a+b||a+2b|=(x+1)(x+2)+y2(7.【答案】D

【解析】解：假設(shè)M(x0,x0+4)，過(guò)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB的方程為y(x0+4)=2(x+x0)，

整理得(y?2)x0=2x?48.【答案】C

【解析】解：設(shè)數(shù)列為{an}，前32項(xiàng)里面有偶數(shù)項(xiàng)16項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)16項(xiàng)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，易知an=n+42，且a2=3，所以a32=32+42=18，所以偶數(shù)項(xiàng)之和為(3+18)×162=168，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，1=C20=C22，3=C319.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A，當(dāng)x=0，則a0=1，故A正確；

對(duì)于B，由展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r+1=C2nr(?2x)r=(?2)rC2nrxr，

故r為奇數(shù)時(shí)，ar<0，r為偶數(shù)時(shí)，ar>0，則i=02n|ai|=a0?a1+a2?a3+...?a2n?1+a210.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A：圓C：x2+y2=2的圓心C(0,0)，半徑r=2，

圓心C(0,0)到直線x?2y?4=0的距離dC=45>r=2，所以直線與圓相離．故A正確；

對(duì)于B：圓心C(0,0)到直線x?2y?4=0的距離dC=45，

所以0<dC?r=45?2<45?1<1，則圓C上有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，故B正確；

對(duì)于C：由切線的性質(zhì)知，△PAC為直角三角形，|PA|=|PC|2?r2≥dC2?2=305，

當(dāng)且僅當(dāng)PC與直線x?2y?11.【答案】BC【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)P(x1,y)，Q(x2,y2)，代入雙曲線得，x12?y123=1x22?y223=1，兩式相減得，(x1?x2)(x1+x2)?13(y1?y2)(y1+y2)=0，

∵點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)，

∴x1+x22=1，y1+y22=32，

即x1+x2=2，y1+y2=3，

∴(x1?x2)?2?13(y1?y2)?3=0，∴k=y1?y2x1?x2=23，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：

設(shè)Q(x0,y0)，∵tan∠QF2A=?y0x0?2，tan∠QAF2=y0x0+1，

∴tan2∠QAF2=2?y0x12.【答案】41120【解析】解：要使得(2,3)的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按(1,3)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,3)這五個(gè)開(kāi)關(guān)中的一個(gè)，

要使得(4,1)的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按(3,1)，(4,1)，(413.【答案】275【解析】解：將正四棱臺(tái)補(bǔ)全為正四棱錐O?ABCD，

取DC中點(diǎn)為N，則O，M，N共線，連接AN并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

連接QM并延長(zhǎng)交直線AA1于點(diǎn)P.△OA1B1～△OAB，所以O(shè)A1OA=A1B1AB=13，

所以O(shè)A1=1，OA=3，OM=32，ON=314.【答案】65【解析】解：設(shè)直線PF1與圓E：x2+(y?c3)2=b29相切于點(diǎn)M，

因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，所以PF1⊥PF2，

又圓E與直線PF1的切點(diǎn)為M，所以EM⊥PF1，從而EM//PF2．15.【答案】解：(1)分成三步來(lái)完成，第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2種坐法，

甲、乙二人的座位也隨之確定；

第二步，排其余3對(duì)夫婦的座位，有23A33=48種坐法；

第三步，排A，B二人的座位，有A42=12種坐法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2×48×12=1152種坐法．

(2)若隨機(jī)選擇5人站成一排進(jìn)行合影，有A125種，

有且只有1對(duì)夫婦被選中且合影時(shí)相鄰，

分為：當(dāng)A、B都被選中，有2【解析】(1)先排甲、乙二人的太太及這兩對(duì)夫婦，再排余下3對(duì)夫婦，最后用插空法排A，B，借助分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得．

(2)有且只有1對(duì)夫婦被選中且合影時(shí)相鄰，分A、B都被選中，A、B只有一個(gè)被選中，A、16.【答案】(1)證明：設(shè)圓C的方程為(x?a)2+(y?b)2=r2，由題可知點(diǎn)O在圓C上，

則圓C的方程為(x?a)2+(y?b)2=a2+b2，整理得x2+y2?2ax?2by=0，

因?yàn)閳AC與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)(與坐標(biāo)原點(diǎn)O不重合)，

令x=0，解得：y=2b；令y=0，解得：x=2a，

則A(2a,0)，B(0,2b)．

所以S△AOB=12×2a×2b=2ab=2，為定值．

(2)解：因?yàn)橹本€x?y=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心，所以a=b.又ab=1，a>0且b>【解析】(1)求出圓C的方程，分別令x=0，y=0求出A(2a,0)，B(0,2b)，即可求出△AOB的面積，即可證明；

(2)因?yàn)橹本€x?y17.【答案】證明：(1)取AC的中點(diǎn)G，連接NG，DG，則NG為△ABC的中位線，

所以NG/?/BC，且NG=12BC，又DM//BC，且DM=12BC，

所以NG//DM，且NG=DM，即四邊形DMNG為平行四邊形，

所以MN//DG，又MN?平面ACDE，DG?平面ACDE，

故MN/?/平面ACDE．

解：(2)連接CM，在菱形BCDF中∠CBF=60°，則CM⊥DF,CM=3．

在直角梯形ACDE中AC⊥CD，所以DE⊥CD，

因?yàn)槊鍮CDF⊥面ACDE，面BCDF∩面ACDE=CD，DE?面ACDE，

所以DE⊥平面BCDF，又CM?平面BCDF，故DE⊥CM，

又DF?DE=D，DF，DE?面DEF，所以CM⊥平面D【解析】(1)取AC的中點(diǎn)G，連接NG，DG，易證四邊形DMNG為平行四邊形，則有MN//DG，再由線面平行的判定證結(jié)論；

(2)由題設(shè)及面面、線面垂直的性質(zhì)可得CM⊥DF、DE⊥CM18.【答案】解：(1)如圖，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由題意得，F(xiàn)(p2,0)，

當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，直線l的方程為y=2(x?p2)，

聯(lián)立y=2(x?p2)y2=2px得4x2?6px+p2=0，則x1+x2=32p，

|AB|=32p+p=52p=5，則p=2，

所以拋物線C的解析式為y2=4x；

(2)由(1)得F(1,0)，

設(shè)直線l的方程為x=m1y+1，CD的方程為x=m2y+1，設(shè)D(x3,y3)，E(x4,y4)，

因?yàn)橹本€l與直線CD垂直，所以m1m2=?1，

聯(lián)立x=m1y+1y2=4x，消去x得：y2?4m1y?4=0，Δ=16m12+16>0，

則y1+y2=4m1，y1y2=?4，y1+y22=2m1，

x1+x22=m1(y1+y2)2+1=2m12+1，

所以M(2m1【解析】(1)根據(jù)直線l的斜率為2時(shí)|AB|=5列方程，得到p即可得到拋物線方程；

(2)分別聯(lián)立直線l與拋物線、直線DE與拋物線方程得到點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，從而得到直線MN的方程，即可得到直線MN過(guò)定點(diǎn)；

(3)聯(lián)立直線AE與BD的方程得到xG=?19.【答案】(1)解：P在橢圓x216+y212=1上，理由如下：

記C：x216+y212=1，若P不在C上，則在C內(nèi)，

因?yàn)?216+7212>1，所以A在C外，

設(shè)線段PA與C有一交點(diǎn)Q，此時(shí)AP和