復習05求離心率和軌跡方程（八大考點）

復習05求離心率和軌跡方程一、求離心率的值或取值范圍1.利用圖形的幾何性質(zhì)（1）特殊三角形與離心率:一般有邊角相等、三角形相似、面積公式、正余弦定理、角平分線性質(zhì)、高的性質(zhì)、中線的性質(zhì)等,通常數(shù)形結(jié)合,用幾何法進行運算（2）平行四邊形與離心率:可能存在四邊形也可能利用圓錐曲線的對稱性構(gòu)造四邊形,一般有:對邊平行相等;兩條對角線長度的平方和等于兩倍的兩個鄰邊的平方和等.（3）圓與離心率:一般利用弦的中點與圓心的連線與弦垂直,直徑所對的圓周角是,半徑相等,圓與圓的位置關(guān)系等.2.利用坐標運算:如果從題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系,那么可考慮將點的坐標用進行表示,再利用條件列出等式求解3.借助題目中給出的不等信息或者平面幾何圖形中的不等關(guān)系:（1）題目中某點的橫坐標(或縱坐標)是否有范圍要求:例如圓與雙曲線對橫坐標的范圍有要求.（2）根據(jù)平面圖形的關(guān)系,如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系即可4.借助函數(shù)的值域求解范圍：若題目中有一個核心變量,則可以考慮將離心率表示為某個變量的函數(shù),從而求該函數(shù)的值域即可二、求軌跡方程1.直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到軌跡方程，且要注意等量關(guān)系中的限制條件（三角形、斜率等）2.定義法：動點滿足的幾何條件符合基本軌跡（如圓、橢圓、拋物線和雙曲線）的定義條件時，我們可以根據(jù)基本軌跡的方程寫出軌跡方程，或設(shè)出標準方程，然后利用待定系數(shù)法求解3.相關(guān)點法：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點坐標滿足某已知曲線方程，則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。4.點差法：圓雉曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法,其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓雉曲線方程,然而相減,利用平方差公式可得等關(guān)系式,由于弦的中點的坐標滿足且直線的斜率為,由此可求得弦中點的軌跡方程.考點01利用幾何性質(zhì)求解離心率【例1】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，P是C上的點，，，則C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意求出；再根據(jù)及橢圓的定義建立等式得出，即可得出答案.【詳解】如圖所示，由題意得：.因為，把代入橢圓方程可得，解得.取.則在中，.因為，所以，由橢圓定義可得：，整理得：，所以，即.則橢圓的離心率．故選：A．【例2】已知，分別是雙曲線的左右焦點，A為雙曲線的右頂點，線段的垂直平分線交雙曲線于P，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理、離心率的定義進行求解即可.【詳解】如圖，設(shè)線段的垂直平分線與x軸的交點為B，不妨設(shè)P在第一象限，則，，再由勾股定理得：，所以，等式兩邊同除以整理可得得或舍去故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理建立等式，得到雙齊次方程.【變式11】如圖所示，橢圓的左焦點為F，A，B兩點在橢圓上，且四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的對稱性，用橢圓的半焦距c表示出點的坐標，再代入橢圓方程求解即得.【詳解】由四邊形為菱形，得軸，由橢圓對稱性得點關(guān)于y軸對稱，連接，令橢圓半焦距為c，則，因此是正三角形，即，則點，即有，于是，即，整理得，而，解得，所以該橢圓的離心率為.故答案為：【變式12】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P是C上的一點，，的平分線與x軸交于點A，記，的面積分別為，，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得，利用角平分線定理得，再根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合通徑得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.【詳解】因為，則，可得，由題意知是的平分線，所以，又，所以，則，所以，整理得，故，得，即，所以.故選：B.【變式13】已知橢圓的左，右焦點分別為，，橢圓C在第一象限存在點M，使得，直線與y軸交于點A，且是的角平分線，則橢圓C的離心率為.【答案】【分析】首先設(shè)，再根據(jù)題意和橢圓的定義求得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式，進而求得橢圓的離心率.【詳解】由題意得，又由橢圓的定義得，記，則，，則，所以，故，則，則，即等價于，得：或（舍）故答案為：考點02利用雙余弦定理求解離心率【例3】已知雙曲線E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與E交于A，B兩點（B在x軸的上方），且滿足．若直線的傾斜角為120°，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)則,由雙曲線的定義知,，在和中分別利用余弦定理,然后兩式相減即可求解.【詳解】設(shè)則,則,由雙曲線的定義知,,在中,由余弦定理可得,，即，在中,由余弦定理可得,即兩式相減可得,,所以離心率.故選:D【點睛】本題考查雙曲線及其性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系,及三角形中的余弦定理;考查運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力;雙曲線定義的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.【例4】已知橢圓的左、右焦點分別為，直線過與橢圓交于兩點，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意設(shè)，結(jié)合橢圓定義，且分別在、中利用余弦定理并結(jié)合以及離心率公式即可求解.【詳解】由題意不妨設(shè)，則，又由橢圓定義可知，所以，在中由余弦定理有，，在中由余弦定理有，，由圖可知，所以，即，解得，所以橢圓的離心率是.故選：A.【變式21】已知為雙曲線的右焦點，點，在上，，為坐標原點，，則的離心率為.【答案】【分析】設(shè)，則，，結(jié)合雙曲線定義求得，，分別在中求得，構(gòu)建等式即可求解.【詳解】如圖，由，不妨設(shè)，則，.設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，.由雙曲線的定義可知，，.由可知，，則①.在中，②.在中，③.由①②，所以，所以；由①③，得，所以.所以，解得，所以，所以，故.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而得解，進而得到關(guān)于的齊次方程，由此得解.【變式22】已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上一點，為上一點．若平分，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】方法一：畫圖，根據(jù)雙曲線定義，以及已知條件結(jié)合三角形面積公式，正弦二倍角公式，余弦定理求解即可.方法二：畫圖，根據(jù)雙曲線定義，角平分線性質(zhì)以及余弦定理求解即可.【詳解】方法—：如圖所示：依題意可得，，則，，令，由平分，，得：，所以,即，因為，所以，又，所以，所以，由余弦定理得：，即，解得或（舍去），則雙曲線的離心率.方法二：如圖所示：由已知得．又，所以，，因為平分，所以由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可知：，可得，又，所以，所以，即化簡可得，所以，即或（舍去）；故選：A．【變式23】已知橢圓：（），、為橢圓的左右焦點，為橢圓上一點，連接并延長交橢圓于另一點，若，，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】由題意，，結(jié)合橢圓定義可將這些長度以及用同一個參數(shù)表示，然后分別在在、中，對利用余弦定理，結(jié)合離心率公式化為其次方程即可得解.【詳解】如圖所示：由題意，，，所以不妨設(shè)，而由橢圓定義有，所以，所以，在中，由余弦定理有，在中，由余弦定理有，交叉相乘得，即，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決問題的關(guān)鍵在于表示出以及，然后利用余弦定理即可順利得解.考點03與斜率乘積相關(guān)求解離心率【例5】已知雙曲線的左頂點為，點均在雙曲線上且關(guān)于軸對稱，若直線的斜率之積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出坐標后結(jié)合題意表示出斜率之積，計算可得，由即可得離心率.【詳解】設(shè)，則，，則，由在雙曲線上，故，即有，故，即有，即，故.故選：A.【例6】已知點是橢圓上一點，過點作橢圓的切線，則的方程為．若與（為坐標原點）的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，求得斜率建立方程，結(jié)合離心率的計算公式，可得答案.【詳解】由的方程為，得的斜率為．又因為直線的斜率為，所以，即，所以橢圓的離心率為．故選：B．【變式31】雙曲線的右頂點為A，點M，N均在C上，且關(guān)于y軸對稱，若直線，的斜率之積為，則C的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)斜率公式即可結(jié)合雙曲線的方程求解得，進而可求解.【詳解】雙曲線的右頂點為，則，又點，均在上，且關(guān)于軸對稱，設(shè)，，又直線，的斜率之積為，則，即，①又，即，②聯(lián)立①②可得：，即，即．故答案為：【變式32】已知雙曲線的兩個頂點分別為，點P在雙曲線上且異于點，若直線的斜率之積為8，則雙曲線的率心率為.【答案】3【分析】設(shè)，，應(yīng)用斜率兩點式得，結(jié)合點P在雙曲線上、即可求離心率.【詳解】設(shè)，，則，又，則，故雙曲線的率心率為.故答案為：【變式33】橢圓：的左頂點為，點，是上的任意兩點，且關(guān)于軸對稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再結(jié)合可求出離心率.【詳解】由題意得，設(shè)，因為點，是上的任意兩點，且關(guān)于軸對稱，所以，，所以，所以，因為，所以，所以，所以離心率，故選：C考點04利用坐標法求解離心率【例7】已知A、F分別為橢圓的左頂點和左焦點，B、C是橢圓上關(guān)于原點對稱的點，若直線平分線段，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，可得的中點的坐標，由三點共線得，即可求解.【詳解】由題意得，設(shè)，則的中點，∵三點共線，∴，即，整理得，∴．故選：A.【例8】已知雙曲線的左焦點為F，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，并與雙曲線C交于點B，且有，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】計算出點坐標，然后帶入橢圓方程，化簡即可得到關(guān)系的方程，進而得出.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為,因為左焦點,所以直線的方程為,與兩式聯(lián)立可得,設(shè)，因為,即，所以,將點坐標代入雙曲線方程得：,上式整理得,即離心率.故選：A.【變式41】已知橢圓C：的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過右焦點F2且斜率為1的直線與橢圓相交于A，B兩點，若滿足，則橢圓的離心率為．【答案】/【詳解】根據(jù)平面向量共線的坐標表示公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)、橢圓的離心率公式進行求解即可.【解答】設(shè)，由，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)2（c，0），設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程中，得，因為，所以有，而，所以有，于是有故答案為：【變式42】已知過原點的直線與雙曲線交于兩點，點在第一象限且與點關(guān)于軸對稱，，直線與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點的坐標，得點的坐標，求出直線的斜率可得，再由得，又得，根據(jù)之間的關(guān)系求離心率.【詳解】設(shè)，則，根據(jù)可得，則，因為，所以，又，所以，故雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是利用直線斜率之間的關(guān)系、得到之間的關(guān)系.【變式43】已知橢圓：的左?右焦點分別為，，是橢圓的上頂點，直線與直線交于點A，若，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)，坐標，寫出直線的方程，再求得點A，由求解即可.【詳解】

根據(jù)題意知，，，，則直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)直線與x軸交于點M，因為，，所以，所以，所以離心率.故答案為：考點05利用不等關(guān)系求解離心率范圍【例9】已知過點可作出雙曲線的兩條切線，切點都在雙曲線的同一支上，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意，點必須在漸近線軸和雙曲線圍成的區(qū)域內(nèi)（不包括邊界），可得，結(jié)合的關(guān)系求解即可.【詳解】要滿足題意，點必須在漸近線軸和雙曲線圍成的區(qū)域內(nèi)（不包括邊界），如圖，所以，得，∴，∴，，即．故選：D．【例10】點M是橢圓上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題目條件可知圓的半徑為，畫出圖形由是鈍角三角形可得，即可求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】依題意，不妨設(shè)為右焦點，則，由圓Ｍ與x軸相切于焦點F，M在橢圓上，易得或，則圓的半徑為.過M作軸垂足為N，則，，如下圖所示：，均為半徑，則為等腰三角形，∴，∵為鈍角，∴，即，所以得，即，得，得，故有，從而解得.故選：B【變式51】已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)及余弦定理計算即可.【詳解】因為傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點，可知直線的傾斜角大于雙曲線的一條漸近線的傾斜角，即，設(shè)，則，根據(jù)可知，在中，由余弦定理可知，即，則，故故答案為：【變式52】已知橢圓的兩個焦點為，，點，為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，，的面積記為，且，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，根據(jù)題意得到四邊形為矩形，故，求出，再根據(jù)，利用勾股定理得到，得到，再根據(jù)上存在關(guān)于坐標原點對稱的兩點，使得，得到，計算即可得到離心率范圍.【詳解】連接，，由題意得，，，又，所以四邊形為矩形，故，所以，故，又，由勾股定理得，即，則，故，即，故，，解得，又上存在關(guān)于坐標原點對稱的兩點，，使得，故，所以，即，所以，，解得，綜上，的離心率的取值范圍是.故選：C.【點睛】方法點睛：離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)的常見方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).【變式53】已知雙曲線的左?右焦點分別為.(1)該雙曲線虛軸的一個端點為，若直線與它的一條漸近線垂直，求雙曲線的離心率.(2)若右支上存在點，滿足，求雙曲線的離心率的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)兩點表示斜率和兩直線的位置關(guān)系可得，，建立關(guān)于離心率的方程，解之即可；（2）由題意設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義可得，利用余弦定理可得，結(jié)合建立不等式，解之即可求解.【詳解】（1）依題意，則；漸近線斜率：，直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，，，而，，解得，又，所以；（2）設(shè).依題意，解得，由余弦定理得，即，得.考點06利用函數(shù)的值域求解離心率范圍【例11】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由橢圓定義和勾股定理得到，換元后得到，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求出，得到離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由橢圓的定義可得，，可設(shè)，可得，即有，①由，可得，即為，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則時，取得最小值；或4時，取得最大值.即有，得.故選：C【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見有三種方法：①求出，代入公式；②根據(jù)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍；③由題目條件得到離心率關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合變量的取值范圍得到離心率的取值范圍.【例12】設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，.進而在中，由余弦定理變形可得，.根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合已知，求解即可得出答案.【詳解】根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，所以.在中，，由余弦定理可得，整理可得，，兩邊同時除以可得，.又，，所以有，所以，.因為，所以，所以，所以，，，所以，.則，故.故選：C.【變式61】已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上一點，是以為底邊的等腰三角形，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】利用余弦定理將角度的范圍轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓離心率的不等式即可.【詳解】因為是以為底邊的等腰三角形，所以，所以，，，在中，由余弦定理得：，故，即，即，不等式，即，解得(舍去)或不等式，即所以.故答案為：【變式62】設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理進行、橢圓和雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】設(shè)，因為兩個曲線在第一象限內(nèi)交于點，所以有，解得，因為，所以由余弦定理可知：，因為，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，所以設(shè)，于是有，化簡得：，因為，所以，所以，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用兩種曲線的定義和余弦定理.【變式63】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義得到，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)法求解.【詳解】解：因為，，∴，又，∴．設(shè)，則，，∴，∴，則，∴．∴，則，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．考點07直接法求軌跡方程【例13】已知平面直角坐標系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是.【答案】或【分析】設(shè)出點的坐標，利用已知列出方程化簡即得.【詳解】設(shè)點，依題意，，即，整理得，所以的軌跡方程是或.故答案為：或【例14】動點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，則動點M的軌跡方程是．【答案】【分析】利用直接法建立等式，化簡即可.【詳解】解：動點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，所以，即，展開整理得．故答案為：．【變式71】已知點與點，是動點，且直線與的斜率之積等于求動點的軌跡方程;【答案】【分析】設(shè)點的坐標為，進而利用得到動點的軌跡方程.【詳解】設(shè)點的坐標為，因為，所以，化簡得.故動點的軌跡方程為.【變式72】在平面內(nèi)，已知動點M到兩個定點，的距離的比值為2.(1)求動點M的軌跡方程，并說明其軌跡C的形狀；(2)直線與軌跡C交于兩點，求過該兩點且面積最小的圓的方程.【答案】(1)；軌跡C是以為圓心，半徑為2的圓(2)【分析】（1）直接設(shè)出坐標，根據(jù)兩點間的距離公式列出等式化簡即可得解.（2）直線與圓的兩個交點分別為，，故所求圓即為以為直徑的圓，通過聯(lián)立直線與圓的方程，由韋達定理、弦長公式即可得所求圓的圓心、半徑，由此即可得解.【詳解】（1）設(shè)點，則，化簡得，即，所以軌跡C是以為圓心，半徑為2的圓.（2）設(shè)直線與圓的兩個交點分別為，.由得，，，設(shè)的中點為，則，，即中點為.所以，故最小的圓是以為直徑的圓，其圓心坐標為，半徑的平方為，故所求圓的方程為.【變式73】如圖，線段的兩個端點分別在軸、軸上滑動，，點是上一點，且，點隨線段的運動而變化.(1)求點的軌跡方程；(2)動點在曲線外，且點到曲線的兩條切線相互垂直，求證：點在定圓上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）令，根據(jù)已知有，利用向量的坐標表示列方程得到，結(jié)合即可求軌跡方程；（2）若，切線斜率存在且不為0，令切線為，聯(lián)立曲線方程得到一元二次方程，根據(jù)得，又即可得，再由切線垂直及根與系數(shù)關(guān)系得到軌跡，最后驗證切線斜率不存在或為0的情況即可證.【詳解】（1）由題設(shè)，令，則，由，點是上一點，且，所以，故，即，則，所以.（2）令，若切線斜率存在且不為0，令切線為，則，聯(lián)立與，得，所以，即，所以，則，又點到曲線的兩條切線相互垂直，若兩切線斜率分別為，故，即，若切線斜率不存在或為0，則坐標為或或或，它們都滿足，綜上，點在定圓上.考點08定義法求軌跡方程【例15】的坐標滿足方程：，則M的軌跡方程為.【答案】【分析】由題意，結(jié)合雙曲線的定義即可求解.【詳解】設(shè)，，由于動點的軌跡方程為則，故點M到定點與到定點的距離差的絕對值為8，則動點的軌跡是以為焦點的雙曲線，由于，，則，故M的軌跡方程為：，故答案為：.【例16】已知動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切；則動圓圓心的軌跡方程為.【答案】【分析】結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系與橢圓定義即可得.【詳解】由，即，半徑為，，即，半徑為，有，故圓與圓為內(nèi)含關(guān)系，設(shè)動圓半徑為，由動圓與圓外切，故，由動圓與圓內(nèi)切，故，又圓與圓為內(nèi)含關(guān)系，故點在圓內(nèi)部，故，有，故動圓圓心的軌跡為以、為焦點，為長軸長的橢圓，則半長軸長為，半短軸長為，故動圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.【變式81】已知圓：，圓：．(1)求經(jīng)過點以及圓與圓交點的圓的方程；(2)若動圓和圓、圓均外切，求點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出所求圓的方程，根據(jù)點坐標求得所求圓的方程.（2）根據(jù)雙曲線的定義求得點的軌跡方程.【詳解】（1）設(shè)所求圓方程為：，，將代入上面方程，得，解得，所以該圓方程為：，化簡為：.（2）由題圓：，圓心，半徑，圓：，圓心，半徑，又因為圓和圓，圓均外切，令，圓的半徑為，則，，所以，所以點在以，為左右焦點，以2為實軸長的雙曲線靠近點的一支上，且，所以，，，所以點坐標滿足如下關(guān)系：，解得．所以點的軌跡方程為：．【變式82】已知圓：，圓：.若動圓與外切，且與圓內(nèi)切.(1)判斷圓和的位置關(guān)系；(2)求動圓的圓心的軌跡方程.【答案】(1)內(nèi)切(2)【分析】（1）借助圓的標準方程可得圓心和半徑，進而判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）借助圓與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義即可得.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，可得，可知，所以圓和內(nèi)切.（2）設(shè)動圓的半徑為R，因為動圓與圓外切且與圓內(nèi)切，則，且，由橢圓的定義可知，動點在以、為焦點，為長軸長的橢圓上，設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，則，，則，又因為圓與圓內(nèi)切，則點C不能在切點處，即橢圓應(yīng)去掉點，所以動圓的圓心的軌跡方程為．【變式83】平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】設(shè)點，可得出，分、兩種情況討論，化簡可得出點的軌跡方程.【詳解】設(shè)點，因為平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大，則，當時，則有，即，等式兩邊平方整理可得；當時，則有，即，等式兩邊平方可得.綜上所述，點的軌跡方程為或.故選：D.考點09相關(guān)點法求軌跡方程【例17】已知橢圓上有一點，是軸上的定點，若有一點滿足，則的軌跡方程為．【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)題意，得到，代入橢圓方程，即可求解.【詳解】解：設(shè)是所求軌跡上的一點，且，因為，且，可得，即，可得，代入橢圓，可得，整理得，所以點的軌跡方程為.故答案為：.【例18】△ABC的三個頂點坐標是A（0，1），B（2，1），C（3，4）；(1)△ABC的外接圓方程；(2)若線段MN的端點N的坐標為（6，2），端點M在△ABC的外接圓的圓上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法可求圓的方程；（2）定義代入法求線段MN的中點P的軌跡方程．【小題1】設(shè)△ABC的外接圓方程為.把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圓的方程得:解此方程組，得.∴△ABC的外接圓方程是【小題2】設(shè)點，，∵點P是MN的中點，∴.∵點M在上運動，∴.即，整理得：.所以，點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.【變式91】已知圓．(1)直線l過點且與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程；(2)過圓C上一動點M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點為N，若向量，求動點Q的軌跡方程．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）當斜率不存在時，直線方程為，與圓的兩個交點坐標為和，其距離為，滿足題意.當斜率存在時，設(shè)直線的方程為，利用圓的弦長公式有，和點到直線距離公式，可求得，故可得直線l的方程；（2）設(shè)點的坐標為，點坐標為，則點坐標是.利用已知，代入點的坐標化簡得，.而，代入可得的軌跡方程.【詳解】（1）①當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標為和，其距離為，滿足題意.②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即.設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得，∴，，故所求直線方程為.綜上所述，所求直線方程為或.（2）設(shè)點的坐標為，點坐標為，則點坐標是.∵，∴，即，.又∵，∴.由已知，直線軸，∴，∴點的軌跡方程是.【變式92】已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點，離心率為．已知(1)求該橢圓的標準方程；(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓的標準方程，根據(jù)題意求出，即得答案.（2）設(shè)，根據(jù)中點坐標公式推出，結(jié)合P是橢圓上的動點，利用代入法即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標準方程為，其焦距為，由左焦點，則得，離心率為，則，故橢圓標準方程為；（2）設(shè)，則，，故，代入中，即，即線段PA中點M的軌跡方程為.【變式93】已知圓和點，動圓M經(jīng)過點A且與圓C內(nèi)切，(1)求動圓圓心M的軌跡方程；(2)作軸于P，點Q滿足﹐求點Q的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，根據(jù)橢圓的定義可得解；（2）設(shè)出點，點，根據(jù)坐標化可得，再由點在上代入可得解.【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為R，圓C的方程可變?yōu)?，可得圓心，半徑，由動圓經(jīng)過點且與圓C內(nèi)切，則，，即得，又，所以圓心是以點為左右焦點的橢圓，其方程為.（2）設(shè)點，點，則，又，得，整理得，又，代入運算得，所以點的軌跡方程為.考點10點差法求軌跡方程【例19】直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．【答案】【分析】利用點的坐標和點差法得出軌跡方程，利用點M在橢圓內(nèi)即可得出取值范圍.【詳解】設(shè)，，線段AB的中點為，連接（為坐標原點）．由題意知，則，∴點的軌跡方程為．又點在橢圓內(nèi)，∴，解得：，故答案為：.【例20】斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是．【答案】(或).【分析】設(shè)直線為聯(lián)立雙曲線，根據(jù)交點情況有求m范圍，再應(yīng)用韋達定理求出弦的中點坐標，進而確定其軌跡方程，注意范圍.【詳解】設(shè)直線為，與雙曲線交點為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點為，所以弦的中點的軌跡方程為(或).故答案為：(或)【變式101】已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；【答案】(1)(2)；【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義，可以直接寫出動點P的軌跡方程；(2)由條件可知M是線段AB的中點，按照圓錐曲線中點弦的思路，運用點差法即可求解.【詳解】（1）因為動點到兩定點，的距離之和為，所以曲線是以，為焦點的橢圓，，，所以，，所以曲線的方程為；（2）因為，所以為中點，設(shè)，當?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時，將，代入橢圓方程中得：兩式相減得，即，所以，即，，整理得；當?shù)男甭什淮嬖诨驗?時，有或，也滿足；所以點的軌跡方程是；綜上，曲線的方程為，點的軌跡方程是.【變式102】求過定點的直線被雙曲線截得的弦AB的中點的軌跡方程.【答案】（或）.【分析】可設(shè)直線的方程為，且設(shè)該直線被雙曲線截得的弦AB對應(yīng)的中點為，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)判別式與韋達定理可得，再消元求解即可.【詳解】因為該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，故可設(shè)直線的方程為，且設(shè)該直線被雙曲線截得的弦AB對應(yīng)的中點為，，.由得.則，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中點的軌跡方程為（或）.【變式103】已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.【答案】.【分析】方法1：利用點差法，設(shè)點作差，要考慮斜率不存在的情況；方法2：可設(shè)出直線的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，可得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式，消參即可得軌跡方程，同時要考慮斜率不存在的情況.【詳解】方法1：設(shè)，，弦的中點為，則，當直線的斜率存在時，.因為兩式相減，得.所以，即，即.當直線斜率不存在，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.方法2：當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為（），由得.所以所以.設(shè)，，的中點為，則，.所以.所以消去參數(shù)，得.當直線的斜率不存在時，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.一、單選題1．在橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內(nèi)切圓圓心，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由，得，可求橢圓的離心率.【詳解】橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內(nèi)切圓圓心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，由，得，即，∴橢圓的離心率為.故選：B.【點睛】方法點睛：為內(nèi)切圓圓心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，利用表示出和，結(jié)合橢圓的性質(zhì)和，求得，可得橢圓的離心率.2．一個動圓與定圓：相內(nèi)切，且與定直線相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系找到動點M的幾何條件，再根據(jù)拋物線的定義確定動點M的軌跡，最后利用拋物線的標準方程寫出軌跡方程．【詳解】設(shè)動圓M的半徑為r，依題意：，點M到定直線的距離為，所以動點M到定點的距離等于到定直線的距離，即M的軌跡為以F為焦點，為準線的拋物線，所以此動圓的圓心M的軌跡方程是.故選：D．3．雙曲線：（）的左、右焦點分別為，，焦距為，若直線與雙曲線的一個交點滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直線的方程，可得，進而得到，，再利用雙曲線的定義，以及雙曲線的離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意直線過點且傾斜角為，則，又，，可得，因為，所以，，由雙曲線定義，，即，解得.故選：A.4．已知平面內(nèi)一動點P到兩定點，的距離之和為8，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義直接求解即可.【詳解】因為平面內(nèi)一動點P到兩定點，的距離之和為8，且，所以動點P的軌跡方程為焦點位于軸的橢圓，設(shè)橢圓方程為，焦距為，則，解得，故動點P的軌跡方程為.故選：B5．不與坐標軸垂直的直線過點，，橢圓上存在兩點關(guān)于對稱，線段的中點的坐標為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點差法求出，再結(jié)合進行計算得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為坐標原點，在橢圓中，設(shè)，則，所以，因為關(guān)于對稱，所以，所以，由線段的中點的坐標為，得出．所以，又，∴，即，又，∴，所以所求離心率為.故選：C．6．若動點在上移動，則點與點連線的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)PQ的中點為，根據(jù)中點坐標公式可得，表示出點P的坐標，代入曲線方程即可求解.【詳解】設(shè)PQ的中點為，則，解得，即，又點P在曲線上，所以，即，所以PQ的中點的軌跡方程為.故選：A7．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作直線與的漸近線在第一象限內(nèi)交于點，記點關(guān)于軸的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，由已知條件和幾何關(guān)系確定，進而確定點，又點在直線上，代入即可求出，最終算出離心率.【詳解】設(shè)，連接，與軸交于點，由對稱性可知，又，所以是正三角形，且.因為，所以，所以，所以，所以，又點在直線上，故，所以，所以.故選：B.二、多選題8．過雙曲線（，）的右焦點作漸近線的垂線，垂足為，且該直線與軸的交點為，若（為坐標原點），該雙曲線的離心率的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意求出長，利用求出雙曲線離心率范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為，右焦點，則點到漸近線的距離為，在方程中，令，得，所以，由，可得，則，即，即，解得，又因為．所以.故選：ABD．9．已知雙曲線，點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的左支沒有公共點，則雙曲線的離心率可能為（

）A． B． C．2 D．3【答案】AB【分析】求出雙曲線的漸近線與之間的距離，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，列不等式，即可求得雙曲線離心率范圍，即可判斷答案.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，則與直線間的距離為，由于點是直線上任意一點，圓與雙曲線的左支沒有公共點，故，即雙曲線離心率，結(jié)合選項，可知A，B正確，故選：AB三、填空題10．已知圓，定點為，M為圓C上一動點，點P是線段的中點，點N在上，點N不在x軸上，且滿足，則點N的軌跡方