概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第六章樣本及抽樣分布

§6.1基本概念一、總體:

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,我們把所研究的全部元素組成的集合稱作母體或總體,總體中的每一個(gè)元素稱為個(gè)體。

我們只研究感興趣的某個(gè)或者幾個(gè)指標(biāo)(記為X)，因此把這些指標(biāo)的分布稱為總體的分布，記為X～F(x)。二、樣本:

設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x),若X1,X2,…,Xn是具有分布函數(shù)F(x)的相互獨(dú)立的隨機(jī)向量，則稱其為總體F（或總體X）的簡單隨機(jī)樣本,簡稱樣本,它們的觀察值x1,x2,…,xn稱為樣本觀察值,又稱為X的n個(gè)獨(dú)立的觀察值。三、統(tǒng)計(jì)量:

統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù),它是一個(gè)隨機(jī)變量，如果x1,x2,

…,xn是樣本觀察值,則g(x1,x2,

…,xn)是統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,…,Xn)的一個(gè)觀察值.

設(shè)X1,X2,

…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本,g(X1,X2,

…,Xn)是一個(gè)與總體分布中未知參數(shù)無關(guān)的樣本的連續(xù)函數(shù)，則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計(jì)量。四、常用的統(tǒng)計(jì)量:注：4.樣本的聯(lián)合分布：2)

若總體X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為px=P(X=x),x=x1,x2,…則樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布:例1：X~U(0,θ),

X1,X2,…,Xn是來自X的樣本，

求（X1,X2,…,Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)。解：X的密度函數(shù)為：則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為：解：X的分布律為：則聯(lián)合分布律為：定理:

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本,并設(shè)總體二階矩存在,EX=

,DX=2,則有§6.2統(tǒng)計(jì)分布與抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量T(X1,X2,…,Xn)的分布稱為抽樣分布。一、統(tǒng)計(jì)中常用的分布:(一)χ2--分布定理：2.

分布與

2(n)分布的關(guān)系：3.

2(n)分布的性質(zhì)：0yf(y)(二)t-分布:說明f(t)t0(三)F分布:y0二、正態(tài)總體中統(tǒng)計(jì)量的分布(抽樣分布):例1、總體X~N(3.4,62)，X1,X2,…,Xn是來自X的樣本，要使樣本均值落在(1.4,5.4)中的概率達(dá)到0.95，求n。解：所以例2、設(shè)X1,X2,…,X10是來自總體N(0,0.52)的樣本，求：解：例3、設(shè)X1,X2,…,X16是來自總體N(μ,σ2)的樣本，求：解：第七章參數(shù)估計(jì)

§7.1點(diǎn)估計(jì)一.問題的提法:二、矩估計(jì)法:

由辛欽定理可知：樣本的原點(diǎn)矩依概率收斂到總體的原點(diǎn)矩，即據(jù)此，我們來定義一種參數(shù)的估計(jì)方法。定義：

樣本原點(diǎn)矩依概率收斂于相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩,而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)，所以所有的矩估計(jì)都有依概率收斂這一性質(zhì)（相合性）。說明解：所以解：即：所以解：其中所以解：所以三、最（極）大似然估計(jì)方法:說明理論依據(jù)定義：最大似然估計(jì)的求解方法:2、直接根據(jù)定義計(jì)算。1、求解對數(shù)似然方程：若駐點(diǎn)唯一，即為最大似然估計(jì)。解：所以解：所以解：所以例8、設(shè)總體X服從[0,

]區(qū)間上的均勻分布,求

的極大似然估計(jì)。解：當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，所以例9、設(shè)總體X服從[

,+1]區(qū)間上的均勻分布,求

的極大似然估計(jì)。解：當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，所以解：所以所以對（μ，σ）最大似然估計(jì)的性質(zhì):例如，例8中參數(shù)θ的方差DX的最大似然估計(jì)為：若是的最大似然估計(jì)，是的單調(diào)函數(shù)，則的最大似然估計(jì)§7.2.估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)

1、無偏性:例1、設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本,并設(shè)總體二階矩存在,EX=

，DX=2，證明：例2、X1,X2,…,Xn是來自X~U(0,θ)的樣本，證明：

都是θ的無偏估計(jì)。證明：2、有效性:

所有無偏估計(jì)中方差最小的無偏估計(jì)稱為最小方差無偏估計(jì)，或稱為有效估計(jì)。上例中，n>1時(shí)，例3、對任何總體X，EX=μ，DX=σ2

,X1，X2,

…,Xn

是來自X

的樣本，證明：比有效。證明：3、相合性（一致估計(jì)）:由辛欽定理知：故所有的矩估計(jì)都是相合估計(jì)。證明:(1)§7.3區(qū)間估計(jì)

定義:說明2、置信區(qū)間長度越短，估計(jì)越精確，所以一般我們是對稱的?。豢梢宰C明此時(shí)的置信區(qū)間長度最短。1、所以置信區(qū)間并不唯一。求置信區(qū)間的一般思路（樞軸量法）1、設(shè)法構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量Z=Z(X1,X2,…,Xn;

),除參數(shù)

外,Z不包含其他任何未知參數(shù),Z的分布已知(或可求出),并且不依賴于參數(shù)

,也不依賴于其他任何未知參數(shù)。（Z即稱為樞軸量）§7.4.正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì):用表格表示如下：被估條件選用分布1－α

的置信區(qū)間參數(shù)統(tǒng)計(jì)量說明1、我們講的都是雙側(cè)的置信區(qū)間，實(shí)際中還有單側(cè)的置信區(qū)間，如書上的定義。2、若函數(shù)g(x)單調(diào)增，則：

若函數(shù)g(x)單調(diào)減，則：二、兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì):用表格表示如下：

參數(shù)條件1－α

的置信區(qū)間第八章假設(shè)檢驗(yàn)§8.1基本概念一、原理:例、甲乙兩種名酒各4杯，從中任取4杯，若取出的都是甲種酒稱試驗(yàn)成功（A），求：1.試驗(yàn)一次成功的概率；

2.某人稱能區(qū)分這兩種酒，讓他做了10次試驗(yàn)，結(jié)果成功了3次，試判斷此人是否真的有區(qū)分這兩種酒的能力。

假設(shè)檢驗(yàn)所采用的方法類似與高數(shù)中的反證法:先假設(shè)某個(gè)結(jié)論成立,然后在這個(gè)結(jié)論成立的條件下進(jìn)行推導(dǎo)和運(yùn)算,如果得到矛盾,則推翻原來的假設(shè),結(jié)論不成立；這里的矛盾是與實(shí)際推斷原理的矛盾,即如果“小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了”,則認(rèn)為原假設(shè)不成立,因此,假設(shè)檢驗(yàn)是一種帶有概率性質(zhì)的反證法.基本思想二、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：三、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤:1.第一類錯(cuò)誤:

如果原假設(shè)H0成立,而觀察值落入拒絕域,從而作出拒絕H0的結(jié)論,稱作第一類錯(cuò)誤,又稱“棄真”的錯(cuò)誤.由定義知,顯著性水平

恰好是犯第一類錯(cuò)誤的概率；2.第二類錯(cuò)誤:

如果原假設(shè)H0不成立,而觀察值卻落入接受域,從而作出接受H0的結(jié)論,稱作第二類錯(cuò)誤,又稱“取偽”的錯(cuò)誤,其概率通常記作

。

檢驗(yàn)時(shí)當(dāng)然是兩類錯(cuò)誤越小，檢驗(yàn)結(jié)果越精確，但是在樣本容量確定的條件下，我們不可能使得兩類錯(cuò)誤都減小。說明

一般按照控制犯第一類錯(cuò)誤的原則進(jìn)行檢驗(yàn),而不考慮犯第二類錯(cuò)誤（保護(hù)原假設(shè)的原則）,這種檢驗(yàn)問題,稱為顯著性檢驗(yàn)問題?！?.2單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)一、

2已知，檢驗(yàn)

:二、

2未知，檢驗(yàn)

:H0真時(shí)統(tǒng)計(jì)量的分布拒絕H0的區(qū)域三、

已知，檢驗(yàn)

2:四、

未知，檢驗(yàn)

2:H0真時(shí)統(tǒng)計(jì)量的分布拒絕H0的區(qū)域§8.3兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)二、未知，檢驗(yàn):一、已知，檢驗(yàn):H0真時(shí)統(tǒng)計(jì)量的分布拒絕H0的區(qū)域四、未知，檢驗(yàn)

:三、已知，檢驗(yàn)

:H0真時(shí)統(tǒng)計(jì)量的分布拒絕H0的區(qū)