微積分全套課件

·1·

7.1空間解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)7.1.17.1.2空間直角坐標(biāo)系空間中常見(jiàn)圖形的方程·2·7.1.1空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)系的作用：連結(jié)幾何與代數(shù)。點(diǎn)坐標(biāo)曲線（直線）曲線方程（直線方程)曲面（平面）曲面方程（平面方程)這樣，就可以使用代數(shù)（微分，積分）精確刻畫(huà)幾何，也可用幾何研究代數(shù)（賦予代數(shù)表達(dá)式以圖形）?！?·1.一維坐標(biāo)（數(shù)軸）三要素：原點(diǎn)，方向，長(zhǎng)度單位作用：將直線上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)·4·2.二維坐標(biāo)（平面直角坐標(biāo)系）構(gòu)造：從數(shù)軸原點(diǎn)作一與之垂直的長(zhǎng)度單位相同的數(shù)軸

作用：將平面上的點(diǎn)與二元有序數(shù)組一一對(duì)應(yīng)

第一象限第二象限第三象限第四象限第一象限第二象限·5·3.三維坐標(biāo)（空間直角坐標(biāo)系）構(gòu)造：從二維坐標(biāo)原點(diǎn)作一與之垂直的長(zhǎng)度單位相同的數(shù)軸

數(shù)學(xué)上一般采用右手系，本書(shū)亦然。·6·4.初識(shí)空間直角坐標(biāo)系：點(diǎn)，坐標(biāo)軸，坐標(biāo)平面，卦限，距離

點(diǎn)：空間中的點(diǎn)與有序三元組(x,y,z)互相唯一確定·7·4.初識(shí)空間直角坐標(biāo)系：點(diǎn)，坐標(biāo)軸，坐標(biāo)平面，卦限，距離

卦限

圖7-2·8·4.初識(shí)空間直角坐標(biāo)系：點(diǎn)，坐標(biāo)軸，坐標(biāo)平面，卦限，距離

坐標(biāo)平面xz平面方程：y=0yz平面方程：x=0·9·4.初識(shí)空間直角坐標(biāo)系：點(diǎn)，坐標(biāo)軸，坐標(biāo)平面，卦限，距離

坐標(biāo)軸Y軸方程：Z軸方程：·10·4.初識(shí)空間直角坐標(biāo)系：點(diǎn)，坐標(biāo)軸，坐標(biāo)平面，卦限，距離

距離：原點(diǎn)到點(diǎn)P(x,y,z)之間的距離·11·

空間中任意兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)之間的距離·12·7.1.2空間中常見(jiàn)圖形的方程

1.球面設(shè)球面S的中心為C(x0,y0,z0),半徑為R,則點(diǎn)P(x,y,z)在S上等價(jià)于|CP|=R,或|CP|2=R2,即(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2,(7.2)所以(7.2)稱為球面S的方程.特別,以原點(diǎn)O

為球心、半徑為R

的球面方程為

x2+

y2+

z2=R2.將(7.2)式左邊的平方項(xiàng)展開(kāi),得到下列形式的二次方程：x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0.(*)反之,這種方程的圖形是否一定是球面呢？將方程(*)左邊分別對(duì)x,y和z配方,得(x+a)2+(y+b)2+(z+c)2=a2+b2+c2

-

d.所以,只有當(dāng)a2+b2+c2

-d>0時(shí),方程才表示球面,其球心為點(diǎn)(-a,-b,-c),半徑·13·

例1給定點(diǎn)P1(1,0,-2),P2(3,-4,0),求：1)|P1P2|;2)以P1為中心、|P1P2|為半徑的球面的方程.

解1)由公式(7.1),2)由公式

(7.2),以P1為球心、|

P1P2|為半徑的球面的方程為(x-1)2+(y-0)2+[z-(-2)]2=24,即(x-1)2+y2+(z+4)2=24,或x2+y2+z2-2x+8z-7=0.(7.1)(x-

x0)2+(y-

y0)2+(z-

z0)2=R2,(7.2)·14·

2.平面從幾何知識(shí)知道,到兩點(diǎn)

P1(x1,y1,z1),

P2(x2,y2,z2)

等距離的點(diǎn)P

(x,y,z)的軌跡p是線段P1P2的垂直平分面,即點(diǎn)P∈p等價(jià)于|

PP1|=|

PP2|或|

PP1|2=|

PP2|2．用坐標(biāo)表示是(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2=(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2,即2(x2-x1)x+2(y2-y1)y+2(z2-z1)z+x12+y12+z12-x22-y22-z22=0.若記A=2(x2-x1),B=2(y2-y1),C=2(z2-z1),D=x12+y12+z12-x22-y22-z22,則上式可寫(xiě)成Ax+By+Cz+D=0.(7.3)由于P1與P2不是同一個(gè)點(diǎn),A,B,C不全為0.(7.3)稱為平面p的方程,這是x,y,z的一次方程.反之,不難證明,x,y,z的一次方程所表示的圖形是一個(gè)平面.·15·

2.平面平面上直線方程：Ax+By=C.空間中平面方程：Ax+By+Cz=D.[平面上]直線Ax+0y

=C平行于y軸；直線By=C平行于x軸；[空間中]平面Ax+By+0z

=D平行于z軸；平面Ax+Cz=D平行于y軸；平面

By+Cz=D平行于x軸；平面Ax=D平行于y軸和z軸,即yz坐標(biāo)面；平面By=D平行于xz坐標(biāo)面；平面

Cz=D平行于xy坐標(biāo)面；·16·例2作下列方程的圖形：1)x+3y-2z-6=0;2)3x+2y-6=0.

解1)在方程中任取不共線三點(diǎn)：

A(6,0,0),B

(0,

2,

0),C(0,0,-3).過(guò)這三點(diǎn)作平面p1即為所求圖形

.圖7-3·17·例2作下列方程的圖形：1)x+3y-2z-6=0;2)3x+2y-6=0.

解2)在xy平面上,方程3x+2y–6=0表示一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,3)的直線.在空間中，由于3x+2y

+0z–6=0中z的系數(shù)為0，故點(diǎn)P(2,0,t),Q(0,3,t)都在所求平面上,因此所求平面平行于z軸.

圖7-3·18·3.柱面設(shè)G是空間中一條曲線,由所有與

G

相交且相互平行的直線組成的曲面稱為柱面(如圖7-4),

G稱為柱面的準(zhǔn)線,這些直線稱為柱面的直母線(或簡(jiǎn)稱母線).柱面的準(zhǔn)線不是唯一的,柱面上與所有母線都相交的曲線都可作為準(zhǔn)線．下面只討論母線平行于坐標(biāo)軸的柱面.

圖7-4·19·設(shè)

G是xy平面上方程為f(x,y)=0(7.4)的曲線,要求以

G

為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面S的方程．從空間看來(lái),G

在直角坐標(biāo)系Oxyz中的方程為(7.5)設(shè)

P(x0,

y0,

z0)

是

S

上任意一點(diǎn),則

P

必在S的某一直母線上.設(shè)此直母線與G的交點(diǎn)為Q(如圖

7-5),則

Q

有坐標(biāo)

(x0,

y0,0).由于

Q∈G,當(dāng)有

f

(x0,

y0)=0,所以P的坐標(biāo)適合方程(7.4).反之,坐標(biāo)滿足方程(7.4)的點(diǎn)必在S上.因此,以

G

為準(zhǔn)線、母線平行于

z

軸的柱面的方程就是(7.4).圖7-5·20·例如:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,方程x2+y2=R2表示一個(gè)圓柱面,它以xy平面上的圓為準(zhǔn)線,母線平行于z軸.同理,方程g(

y,

z)=0表示母線平行于x軸的柱面,其準(zhǔn)線為yz平面上的曲線·21·

4.二次曲面在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,由x,y,z的二次方程a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a1x+2a2y+2a3z+a0=0(7.6)(其中二次項(xiàng)系數(shù)aij(i,j=1,2,3)不全為0)所表示的圖形稱為二次曲面.方程(7.7)的圖形是一個(gè)橢球面,原點(diǎn)

O

是它的中心,三個(gè)坐標(biāo)平面是它的對(duì)稱平面,三個(gè)坐標(biāo)軸是它的對(duì)稱軸,它們與橢球面的交點(diǎn)分別為(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)(如圖7-6).圖7-6·22·

方程x2+y2=2pz(7.8)的圖形是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面(當(dāng)p>0時(shí),如圖7-7(a)).探照燈和汽車前燈的反光鏡鏡面就是這種曲面(圖7-7(b)),在其焦點(diǎn)處的光源所發(fā)出的光線經(jīng)反射后成為一束平行光線．圖7-7·23·方程y2-

x2=2pz(p>0)(7.10)的圖形稱為雙曲拋物面(或馬鞍面),其圖形如圖7-9,原點(diǎn)O稱為鞍點(diǎn)．其他幾種二次曲面除退化為一對(duì)平面、一條直線和一個(gè)點(diǎn)外,還有一般的二次錐面、二次柱面、橢圓拋物面、單葉和雙葉雙曲面,在此不一一介紹.圖7-9·24·旋轉(zhuǎn)拋物面·25·雙曲拋物面(或馬鞍面)·26·圓柱面·27·圓錐面·28·單葉雙曲面·29·7.2.1準(zhǔn)備知識(shí)在介紹多元函數(shù)及其微積分之前,先講一些關(guān)于空間和點(diǎn)集的準(zhǔn)備知識(shí)．

1.

n維空間Rn設(shè)n是一個(gè)正整數(shù),由所有n元有序?qū)崝?shù)組(x1,x2,…,xn)所構(gòu)成的集合,稱為n維空間,記為Rn,即Rn={(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn∈R}.Rn中的元素(x1,x2,…,xn)稱為Rn中的點(diǎn),通常以P表示,可以寫(xiě)成P

(x1,x2,…,xn)∈Rn,xi(i=1,2,…,n)稱為點(diǎn)P的第i個(gè)坐標(biāo),點(diǎn)O(0,0,…,0)稱為Rn的坐標(biāo)原點(diǎn).·30·Rn中任意兩點(diǎn)P

(x1,x2,…,xn)和Q

(y1,y2,…,yn)之間的距離|PQ|規(guī)定為|PQ|也可記為r

(P,Q).在平面上引進(jìn)直角坐標(biāo)系Oxy后,平面上的每個(gè)點(diǎn)P可以用它的直角坐標(biāo)(x,y)表示；反之,任意有序?qū)崝?shù)偶(x,y)總可以作為平面上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．所以平面可以看成2維空間R2.同樣,在空間中引進(jìn)直角坐標(biāo)系Oxyz后,空間中的點(diǎn)P可以與

3

元有序?qū)崝?shù)組

(x,

y,

z)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,(x,y,z)就是P的坐標(biāo),從而通常的空間可以看成3維空間R3.

Rn中兩點(diǎn)的距離公式可以看成平面上或空間中用坐標(biāo)計(jì)算兩點(diǎn)之間距離的公式的推廣.·31·

2.平面上的鄰域和區(qū)域設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)∈R2,以P0為中心、d>0為半徑的圓的內(nèi)部(不包括圓周)稱為點(diǎn)P0的d

鄰域,記為U

(P0,d)或Ud(P0),即U

(P0,d)={P||P0P

|<d}

={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<d

2}.U

(P0,d)去掉點(diǎn)P0稱為點(diǎn)P0的去心d鄰域,記為或所以若不需要指出鄰域的半徑d,也可以將點(diǎn)P0的鄰域和去心鄰域簡(jiǎn)單地記為U

(P0)和·32·

2.平面上的鄰域和區(qū)域

點(diǎn)P0的d

鄰域·33·

2.平面上的鄰域和區(qū)域

點(diǎn)P0的去心d鄰域·34·平面上的點(diǎn)集E稱為開(kāi)集,如果對(duì)任意一點(diǎn)P∈E,都有P的一個(gè)鄰域U

(P)

E.(即不含邊界)平面上的點(diǎn)集E稱為連通集,如果對(duì)于E中任意兩點(diǎn)P,Q都可以用包含在E中的折線連接P和Q.平面上的連通開(kāi)集稱為平面的開(kāi)區(qū)域(或簡(jiǎn)稱區(qū)域)．·35·

例1設(shè)有集合E1={(x,y)|x2+y2≤1},E2={(x,y)||x|<|y|},E3={(x,y)|1<x2+y2<4}.E1是一個(gè)圓盤(pán),有邊,邊是圓周x2+y2=1,它不是開(kāi)集,因?yàn)閷?duì)于邊上的任意點(diǎn),沒(méi)有一個(gè)鄰域完全包含在E1中,E1是連通的．

·36·

例1設(shè)有集合E1={(x,y)|x2+y2≤1},E2={(x,y)||x|<|y|},E3={(x,y)|1<x2+y2<4}.E2如圖7-10(a)所示,它是夾于兩條直線x=y和x=-y之間的上、下部分,不包含這兩條直線,E2是開(kāi)的,但不連通,

因?yàn)镋2中點(diǎn)

(0,

1),

(0,-1)不能用含于

E2的折線連接,

所以不是一個(gè)開(kāi)區(qū)域.

圖7-10·37·

例1設(shè)有集合E1={(x,y)|x2+y2≤1},E2={(x,y)||x|<|y|},E3={(x,y)|1<x2+y2<4}.E3如圖7-10(b)所示,是一個(gè)圓環(huán),兩個(gè)圓周x2+y2=1和x2+y2=4都不屬于

E3.E3是開(kāi)的,

又是連通的,所以是一個(gè)區(qū)域．圖7-10·38··39··40··41··42··43··44·7.2.2多元函數(shù)的概念在許多實(shí)際問(wèn)題中常常會(huì)遇到多個(gè)變量之間的依賴關(guān)系．如長(zhǎng)為x、寬為y的矩形,其面積A=xy.又如一圓柱體的底半徑

r、高

h

和它的體積

V

之間有

V

=

pr2h.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,若Y表示國(guó)民收入,Z表示居民人均消費(fèi)收入,P表示總?cè)丝跀?shù),則有其中S1表示消費(fèi)率,即國(guó)民收入中用于消費(fèi)的比例,S2表示居民消費(fèi)率,即消費(fèi)總額中用于居民消費(fèi)所占的比例,S1和S2都是常數(shù),Y,

P和Z是變量．·45·

定義1設(shè)集合D

R2,D≠

.若有一個(gè)映射(對(duì)應(yīng)規(guī)則)f,它使得D中的每一點(diǎn)P(x,y)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)(如圖7-11),則稱f為定義在D上的一個(gè)二元函數(shù),記為z=f(x,

y)((x,

y)∈D),(7.11)或

z

=f

(P)(P∈D).x,

y

稱為函數(shù)f的自變量,z稱為因變量．在對(duì)應(yīng)規(guī)則f下,與點(diǎn)P(x,y)

對(duì)應(yīng)的

z

的值稱為函數(shù)

f在點(diǎn)

P

處的函數(shù)值,記為

f

(P)

或

f

(x,

y),即

z=f(P)=f(x,y).D稱為函數(shù)f的定義域,記為D(f)或Df,f的全體函數(shù)值的集合稱為f的值域,記為R(f)或Rf,所以R(f)={f(x,y)|(x,y)∈D}={f(P)|P∈D}.圖7-11·46··47·要注意,函數(shù)值與函數(shù)在概念上是有區(qū)別的.在表示形式上,若z=f(x,y)表示函數(shù),則一般應(yīng)如(7.11)注明(x,y)∈D,但有時(shí)為了方便,在不引起混淆的情況下,函數(shù)可簡(jiǎn)單地表示成

z

=

f

(x,

y)

而不注明其定義域．函數(shù)f在點(diǎn)

(x0,y0)

處的函數(shù)值f(x0,

y0)

有時(shí)也記為z

|(x0,y0),

即z

|(x0,y0)=f(x0,y0).類似地可定義三元函數(shù),這時(shí)集合D

R3,D≠

,三元函數(shù)可表示為u=f(P)=f(x,y,z)(P(x,y,z)∈D).

n元函數(shù)可表示為u=f(P)=f(x1,x2,…,xn)(P(x1,x2,…,xn)∈D),其中集合D

Rn,D≠

.z=f(x,y)((x,y)∈D),(7.11)·48·例2在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中,設(shè)K,L依次表示資本數(shù)量和勞動(dòng)力數(shù)量,Y表示生產(chǎn)量,則著名的科布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生產(chǎn)函數(shù)為Y=AKaLb(K>0,L>0),其中A,a,b均為常數(shù),這是一個(gè)二元函數(shù),其定義域?yàn)镈={(K,L)|K>0,L>0}.·49·例3求下列函數(shù)的自然定義域：1)f(x,y)=ln(x-y);

解1)如圖

7-12

(a),D(f)

=

{(x,

y)

|x

–

y

>

0},是直線x

–

y

=

0的右下方,因點(diǎn)(1,0)∈D(f).2)如圖7-12(b),表示夾于兩直線x

–

y

=

0和x

+

y

=

0

之間包含點(diǎn)

(1,0)

的部分,D

含有邊界線x–y=0和x+y=0,但不含原點(diǎn)O.圖7-12

D(f)是一個(gè)區(qū)域；D(g)不是區(qū)域,因?yàn)樗皇情_(kāi)集.·50·例3求下列函數(shù)的自然定義域：解3)如圖7-12(c),D(h)={(x,y)|x2+y2≤4,y>x},表示圓周x2+y2=4的內(nèi)部與直線x–y=0之左上方的部分,包含半個(gè)圓周,但不包含x–y=0上的直徑.D(h)不是區(qū)域,因?yàn)樗皇情_(kāi)集.圖7-12·51·函數(shù)

z

=

f

(x,

y)((x,

y)∈D)

的圖像S={(x,y,f(x,y))|(x,y)∈D}一般表示空間中的一塊曲面:

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,(x,y)可看成xy平面上點(diǎn)P的坐標(biāo),由函數(shù)

z

=f

(x,

y)唯一確定空間中的一點(diǎn)Q(x,y,f(x,y)).當(dāng)點(diǎn)P遍歷函數(shù)的定義域D時(shí),Q

變動(dòng)的軌跡S一般形成空間中的一張曲面(如圖7-13).

圖7-13·52·例如:函數(shù)z=x2+y2的圖形是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面.函數(shù)表示中心為原點(diǎn)O、半徑為R的上半個(gè)球面;

表示下半個(gè)球面;函數(shù)表示以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)、z軸為對(duì)稱軸的圓錐面的上半部分;表示下半個(gè)圓錐面;整個(gè)圓錐面的方程是x2+y2-z2=0.·53·7.2.3二元函數(shù)的極限在第二章中,一元函數(shù)的極限過(guò)程用x

x0或x

∞描述.對(duì)于二元函數(shù),只考慮有限的情形(即x,y分別趨向一個(gè)確定值).在平面上,說(shuō)點(diǎn)P(x,y)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0(x0,y0),即P

P0或(x,y)

(x0,y0),其含義是即同時(shí)有x-x0

0和y-y0

0,或同時(shí)x

x0和y

y0,而P趨向于P0的方式?jīng)]有任何限制．·54··55··56··57·

定義2對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)((x,y)∈D),假設(shè)為點(diǎn)P0(x0,y0)的任意一個(gè)去心鄰域,如果存在常數(shù)A,當(dāng)點(diǎn)P(x,y)∈D無(wú)限趨近于P0時(shí),f(P)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(P)或f(x,y)當(dāng)P

P0時(shí)的極限,記為(7.12)也可寫(xiě)成注1)定義中的點(diǎn)P0(x0,y0)可以屬于D,也可以不屬于D.2)定義中假定是為了保證在P

P0的過(guò)程中,f(P)或f(x,y)有意義.二元函數(shù)的極限稱為二重極限．二元函數(shù)的極限概念可以推廣到n(n>2)元函數(shù)．·58··59··60··61··62··63··64·

例4判斷下列函數(shù)當(dāng)P(x,y)

O(0,0)時(shí)極限是否存在：

解1)因?yàn)槎省?5·

例4判斷下列函數(shù)當(dāng)P(x,y)

O(0,0)時(shí)極限是否存在：

解2)如果點(diǎn)

P(x,

y)

沿

x

軸趨近于原點(diǎn)

O,即

y

=

0,x

0,則同樣,當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿y軸趨近點(diǎn)O,即x=0,y

0時(shí)但當(dāng)P(x,y)沿著斜率為k的直線y=kx趨近于點(diǎn)O時(shí)由此可見(jiàn),當(dāng)P(x,y)以不同的方式趨近O點(diǎn)時(shí),g(x,y)會(huì)無(wú)限趨近于不同的值,故按定義,不存在.這個(gè)例子表明,二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)復(fù)雜．·66··67·例0.1·68·例0.2·69·例0.2·70·7.2.4二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈,點(diǎn)P0(x0,y0)∈D,是P0的任一去心鄰域,如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無(wú)限趨近于P0時(shí),f(P)無(wú)限趨近于f(P0),即(7.13)則稱函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0連續(xù)．(7.13)等價(jià)于或如果二元函數(shù)f(P)在D的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱f(P)在D上連續(xù),或f(P)是D上的連續(xù)函數(shù)．·71·

例5如例4(p.269),對(duì)于二元函數(shù)和因?yàn)楣蔲(x,y)在點(diǎn)O連續(xù).而不存在,故g(x,y)在點(diǎn)O不連續(xù).如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(

x0,y0)不連續(xù),則稱P0是f(x,y)的間斷點(diǎn)．例5中的點(diǎn)O是g(x,y)的間斷點(diǎn).又如函數(shù)

h(x,

y)

=

ln|

y

-

x2|

,其定義域?yàn)?/p>

D

={(x,

y)

|

y

-

x2

≠0},拋物線y=x2上的任意一點(diǎn)都是h(x,y)的間斷點(diǎn)．·72·7.3.1二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

定義給定二元函數(shù)z=f(x,y)((x,y)∈D),假設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)有鄰域

U(P0)

D,將

y

取定為y0,x

在點(diǎn)

x0有增量Δx

((x0+Δx,

y0)∈U(P0)),相應(yīng)地函數(shù)有增量Δxz=f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0).如果存在,

則稱此極限為函數(shù)

f

(x,

y)

在點(diǎn)

P0(x0,

y0)

處對(duì)

x

的偏導(dǎo)數(shù),

或或zx

(x0,y0),或fx

(x0,y0).Δxz稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)對(duì)x的偏增量．記為·73·7.3.1二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

定義給定二元函數(shù)z=f(x,y)((x,y)∈D),假設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)有鄰域

U(P0)

D,將

y

取定為y0,x

在點(diǎn)

x0有增量Δx

((x0+Δx,

y0)∈U(P0)),相應(yīng)地函數(shù)有增量Δxz=f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0).如果存在,

則稱此極限為函數(shù)

f

(x,

y)

在點(diǎn)

P0(x0,

y0)

處對(duì)

x

的偏導(dǎo)數(shù),

所以,若記x=x0+Δx,則有(7.14)·74··75··76··77·同樣,f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)對(duì)y的偏增量為Δyz=f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0),f(x,y)在點(diǎn)P0對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為(7.15)它也可記為或或zy

(x0,y0),或fy

(x0,y0).由定義可以看到,fx

(x0,

y0)

實(shí)際上就是

x

的一元函數(shù)f

(x,

y0)

在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),fy

(x0,y0)就是y的一元函數(shù)f(x0,y)在y0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).·78··79··80··81·如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D中的每一點(diǎn)(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)fx

(x,y)都存在,則fx

(x,y)就是x,y的函數(shù),它稱為函數(shù)f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)．它們也可分別記為zx

,fx

,以及zy

,fy

,在不引起混淆時(shí),常將偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)．同樣可以定義f(x,y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)

fy

(x,y).·82·偏導(dǎo)數(shù)幾何性質(zhì)總結(jié)：偏導(dǎo)數(shù)只是曲面上兩條“順著坐標(biāo)軸方向”的曲線的斜率，它們只反映這兩條曲線在P0點(diǎn)的性質(zhì)。只有當(dāng)曲面在該點(diǎn)光滑時(shí)，它們才能反映曲面的性質(zhì)。·83··84·如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D中的每一點(diǎn)(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)fx

(x,y)都存在,則fx

(x,y)就是x,y的函數(shù),它稱為函數(shù)f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)．所以,f(x,y)對(duì)x(或y)的偏導(dǎo)函數(shù)fx

(x,y)(fy

(x,y))就是把f(x,

y)

中的y(或x)

看成常數(shù)對(duì)x

(或y)

求導(dǎo)數(shù),從而偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算實(shí)際上就是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算．由此可見(jiàn),f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)fx

(x0,y0)就是偏導(dǎo)函數(shù)fx

(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的值,對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)fy

(x0,y0)就是偏導(dǎo)函數(shù)fy

(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的值,即fx

(x0,y0)=fx

(x,y)|(x0,y0),fy

(x0,y0)=fy

(x,y)|(x0,y0).同樣可以定義f(x,y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)

fy

(x,y).二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念可以推廣到一般的多元函數(shù)．·85·

例1設(shè)z=x2ye

y,求zx

,zy

和zx

|(1,0),zy

|(1,0).

解把x2ye

y中的y看成常數(shù),對(duì)x求導(dǎo),即得zx

=2xye

y.同樣,zy

=x2e

y+x2ye

y=x2(1+y)e

y.zx

|(1,0)=zx

(1,0)=2·1·0·e0=0,zy

|(1,0)=zy

(1,0)=12·(1+0)·e0=1.zx

(1,0)和zy

(1,0)也可以按定義直接計(jì)算如下：由于當(dāng)y=0時(shí)z=0,當(dāng)x=1時(shí)z=ye

y,故所以·86·例2設(shè)求jx

(0,1)和jy

(0,1).解所以jx

(0,1)=jx

(x,y)|(0,1)=2,jy

(0,1)=jy

(x,y)|(0,1)=0.jx

(0,1),jy

(0,1)也可直接計(jì)算如下：jy

(0,1)=(j

(0,y))

|y=1=0

|y=1=0.這兩種方法計(jì)算的結(jié)果相同.·87·

例3求下列函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)：1)z=(1+3y)4x;2)z=(lny)xy;解1)若將y看成常數(shù),則z是x的指數(shù)函數(shù)；若將x看成常數(shù),則z是1+3y的冪函數(shù),所以zx

=(1+3y)4x

·ln(1+3y)·4=4(1+3y)4xln(1+3y),zy

=4x(1+3y)4x-1·3=12x(1+3y)4x-1.2)zx

=(lny)xy(lnlny)·y=y(lny)xylnlny,·88·

例3求下列函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)：3)z=x2y

+y2x;4)

解3)利用函數(shù)對(duì)x,y的對(duì)稱性,可得·89·

例3求下列函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)：3)z=x2y

+y2x;4)

解4)設(shè)則z=tanu.將z對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),y要看成常數(shù),這時(shí)u成為x的函數(shù),用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,同樣,·90·

例4*設(shè)求

gx

(x,

y),

gy

(x,

y).

解當(dāng)點(diǎn)P(x,y)不是原點(diǎn)O時(shí),由于g(x,y)對(duì)x,y是對(duì)稱的,即當(dāng)x,y互換時(shí)函數(shù)不變,故gy

(x,y)也可通過(guò)將中的x,y互換得到．g(x,

y)不是二元初等函數(shù).在原點(diǎn)O的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)gx

(0,0),gy

(0,0)如何？·91·

例4*設(shè)求

gx

(x,

y),

gy

(x,

y).

解當(dāng)點(diǎn)P(x,y)不是原點(diǎn)O時(shí),在上面得到的gx

(x,y)和gy

(x,y)中把x=0,y=0代入,結(jié)果無(wú)意義.這是因?yàn)樵谟?jì)算gx

(x,y),gy

(x,y)時(shí)先假定了P(x,y)不是原點(diǎn)．在原點(diǎn)O的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)gx

(0,0),gy

(0,0)如何？·92·

例4*設(shè)求

gx

(x,

y),

gy

(x,

y).

解當(dāng)點(diǎn)P(x,y)不是原點(diǎn)O時(shí),但是,按定義計(jì)算,有同樣,總之,·93·

例4*設(shè)求

gx

(x,

y),

gy

(x,

y).

解當(dāng)點(diǎn)P(x,y)不是原點(diǎn)O時(shí),由此可見(jiàn),即使gx

(0,0)和gy

(0,0)都存在,函數(shù)g(x,y)在點(diǎn)O(0,0)可以不連續(xù)(見(jiàn)7.2節(jié)例5,p.270).總之,·94·7.3.2偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用與一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的彈性分析相類似,可建立多元函數(shù)的彈性分析,這種彈性稱為偏彈性.它們?cè)诮?jīng)濟(jì)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.設(shè)甲、乙是兩種有某種關(guān)系的商品,其價(jià)格和需求量依次為p1,p2和q1,q2.Y表示消費(fèi)者收入,需求函數(shù)為q1=q1(p1,p2,Y),q2=q2(p1,p2,Y).則依次是

q1,

q2關(guān)于其自身價(jià)格

p1,

p2的邊際需求,

而則表示

q1關(guān)于相關(guān)商品價(jià)格

p2的邊際需求,即當(dāng)乙的價(jià)格

p2變動(dòng)時(shí)商品甲的需求量的變化率.對(duì)有類似的意義.此外,1,

2)表示qi對(duì)Y的邊際需求.·95·若乙的價(jià)格p2和消費(fèi)者收入Y不變,則當(dāng)甲的價(jià)格p1變動(dòng)時(shí)甲和乙的需求量q1,q2關(guān)于p1的偏彈性為其中Δ1qi=qi(p1+Δp1,p2,Y)–qi(p1,p2,Y)(i=1,2).類似地,當(dāng)p1和Y不變而p2變動(dòng)時(shí),有偏彈性E11,E22依次是商品甲、乙的需求量對(duì)自身價(jià)格的偏彈性,稱為直接價(jià)格偏彈性(或自價(jià)格彈性),而E12(E21)則是甲(乙)的需求量對(duì)乙(甲)的價(jià)格的偏彈性,稱為交叉價(jià)格偏彈性(或互價(jià)格彈性).·96·這里需要注意的是,

與在一元函數(shù)中所述的價(jià)格彈性不同,偏彈性Eij

(i,j=1,

2)可能有正有負(fù).一般Eii<0(i=1,

2),即一種商品提價(jià)時(shí)其需求量會(huì)下降.若|

Eii|>1,則表明該商品提價(jià)的百分?jǐn)?shù)小于其需求量下降的百分?jǐn)?shù),通常可認(rèn)為它是“奢侈品”.若|Eii|<1,則這種商品為“必需品”.又若E12>0,則表明乙提價(jià)時(shí)甲的需求量也隨之增加,所以甲可作為乙的代用品.而若E12<0,則甲為乙的相關(guān)品(或互補(bǔ)品).

E21的符號(hào)也有類似的經(jīng)濟(jì)意義.·97·除了上述4種偏彈性(Eij

,i,j=1,

2)外,還有需求收入偏彈性若E1Y>0,它表明隨著消費(fèi)者收入的增加對(duì)甲的需求量也增加,所以甲為正常品.而E1Y<0則表明甲為低檔品或劣質(zhì)品.

E2Y的符號(hào)也有類似的意義.·98·

例5設(shè)一商品的需求量q1與其價(jià)格p1和另一相關(guān)商品的價(jià)格p2及消費(fèi)者收入y有以下關(guān)系:q1=Cp1-ap2-by

g.其中C,a,b,g是常數(shù),均大于0,求直接價(jià)格偏彈性E11,交叉價(jià)格偏彈性E12及需求收入偏彈性E1y.

解由計(jì)算偏彈性的公式,對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù),有l(wèi)nq1=lnC-alnp1-blnp2+glny,所以·99·7.3.3二階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)

z

=

f

(x,

y)在區(qū)域

D

內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)

zx

=fx

(x,

y),

zy

=fy

(x,

y),它們都是x,y的函數(shù),如果這些函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在,則稱之為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)．按照對(duì)自變量求導(dǎo)的先后順序的差異,有4個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

有時(shí)也依次記為

和

稱為z=f(x,y)的混合偏導(dǎo)數(shù)．·100·7.3.3二階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)

z

=

f

(x,

y)在區(qū)域

D

內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)

zx

=fx

(x,

y),

zy

=fy

(x,

y),它們都是x,y的函數(shù),如果這些函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在,則稱之為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)．按照對(duì)自變量求導(dǎo)的先后順序的差異,有4個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

可證:如果

和

都是x,

y的連續(xù)函數(shù),則

即混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與對(duì)變量x,y求導(dǎo)的先后次序無(wú)關(guān)．類似地,可定義三階和更高階的偏導(dǎo)數(shù),并且在高階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下,也與對(duì)自變量求導(dǎo)的先后次序無(wú)關(guān)．·101·例6求z=e

x2y的所有二階偏導(dǎo)數(shù).

解

zx

=e

x2y

·2xy=2xye

x2y,zy

=e

x2y·x2=x2e

x2y,

(zx

)x

=2ye

x2y+2xye

x2y·2xy=2y(1+2x2y)e

x2y,

(zx

)y

=2xe

x2y+2xye

x2y·x2=2x(1+x2y)e

x2y,(zy

)x

=2xe

x2y+x2e

x2y·2xy=2x(1+x2y)e

x2y,

(zy

)y

=x2e

x2y·x2=x4e

x2y.可見(jiàn)·102·

例7設(shè)z=x2ye

y,求和

解

所以·103·

例8證明：函數(shù)滿足方程

證利用函數(shù)關(guān)于x,y的對(duì)稱性,易知從而故·104·7.4.1全微分在講二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),曾用到f(x,y)在點(diǎn)P0對(duì)x和y的偏增量Δxz=f(x0+Δx,y0)–f(x0,y0),Δyz=f(x0,y0+Δy)–f(x0,y0).由一元函數(shù)微分的概念,

一元函數(shù)

z

=

f

(x,

y0)在點(diǎn)

x

=

x0的微分為

fx

(x0,

y0)Δx,一元函數(shù)

z

=

f

(x0,

y)在點(diǎn)

y

=

y0的微分為

fy

(x0,

y0)Δy,它們依次稱為二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0對(duì)x和y的偏微分,并有Δxz=fx

(x0,y0)Δx+o(Δx),Δyz=fy

(x0,y0)Δy+o(Δy).但對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y),常常需要考慮它在點(diǎn)P0(x0,y0)的全增量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)–f(x0,y0).一般地說(shuō),Δz的計(jì)算是比較復(fù)雜的.先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子．·105·例1對(duì)于長(zhǎng)為

x、寬為y

的矩形,其面積A=xy.當(dāng)

x

和

y

各有增量Δx,Δy時(shí)ΔA=(x+Δx)(y+Δy)–xy=yΔx+xΔy+(Δx)(Δy).若令則(Δx,Δy)

(0,0)等價(jià)于r

0.而當(dāng)(Δx)(Δy)≠0且(Δx,Δy)

(0,0)時(shí)故(Δx)(Δy)=o(ρ),從而ΔA=yΔx+xΔy+o(ρ)≈yΔx+xΔy.即用yΔx+xΔy作為計(jì)算ΔA的近似值,所差的是r的高階無(wú)窮小.這種近似計(jì)算ΔA的方法具有普遍意義．·106·

定義設(shè)二元函數(shù)

z=f

(x,

y)

在點(diǎn)P0(x0,

y0)

的一個(gè)鄰域

U

(P0)中有定義,P(x0+Δx,y0+Δy)∈U

(P0).如果f(x,y)在點(diǎn)P0對(duì)于Δx,Δy的全增量Δz=f(P)–f(P0)有Δz=A(x0,y0)Δx+B(x0,y0)Δy+o(

r),(7.16)其中o(

r)是的高階無(wú)窮小,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0可微(或可微分),并稱AΔx+BΔy為f(x,y)在點(diǎn)P0的全微分,記為dz

|P0

或d

f|P0,即dz

|P0=d

f|P0=A(x0,y0)Δx+B(x0,y0)Δy.(7.17)由于dz

|P0

對(duì)Δx,Δy是一次的,而Δz與它僅差ρ的一個(gè)高階無(wú)窮小,故dz

|P0是Δz的線性主部．至此自然會(huì)問(wèn)：

函數(shù)f(x,y)在什么條件下在點(diǎn)P0可微？

(7.16)中的Δx和Δy的系數(shù)A(x0,y0),B(x0,y0)是什么?

在點(diǎn)

P0可微與

f

(x,

y)

在點(diǎn)

P0有偏導(dǎo)數(shù)和在點(diǎn)P0連續(xù)有何關(guān)系？下面兩個(gè)定理回答了這些問(wèn)題.·107·

定理7.1假設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可微,則1)f(x,y)在點(diǎn)P0連續(xù)；2)f(x,y)在點(diǎn)P0必有偏導(dǎo)數(shù)fx

(x0,y0)和fy

(x0,y0),且A(x0,y0)=fx

(x0,y0),B(x0,y0)=fy

(x0,y0).

證1)由于點(diǎn)P(x0+Δx,y0+Δy)

P0(x0,

y0)

等價(jià)于(Δx,Δy)

(0,0)或由(7.16)易知故f(x,y)在點(diǎn)P0連續(xù)．由定義,z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可微,則Δz=A(x0,y0)Δx+B(x0,y0)Δy+o(r),(7.16)·108