重積分線面積應(yīng)用

會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）.考試要求第4部分重積分、線、面積分的應(yīng)用一、幾何應(yīng)用2求平面區(qū)域D的面積3求立體Ω的體積v(特形：曲頂柱體體積(頂:f(x,y)>0))4求曲面S的面積SDxy求立體的體積解：解：例已知A（1，0，0）與B(0,1,1),線段AB繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S.求由S及兩平面z=0，z=1所圍立體體積。解：xyzoaR解3.表面積xyoy=f(x)ab4.側(cè)面積解由對(duì)稱性例類似題型三十三1，3二、物理應(yīng)用1.質(zhì)量平面薄片D的質(zhì)量空間物體Ω的質(zhì)量平面金屬桿L的質(zhì)量空間金屬桿Γ的質(zhì)量空間金屬曲面片S的質(zhì)量2.重心平面薄片D的重心空間物體Ω的重心平面金屬桿L的重心空間金屬桿Γ的重心空間金屬曲面片S的重心例.

L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個(gè)坐標(biāo)解:

如圖所示,交線長(zhǎng)度為由對(duì)稱性,形心坐標(biāo)為1.質(zhì)量、重心/形心本題是上例的同一問題的兩種敘述求曲線AB的方程，使圖形OABC繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體的重心橫坐標(biāo)等于曲線上任一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的.解：設(shè)曲線AB的方程為y=f(x),B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,f(x)）,AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程：BXCAOY3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量空間物體Ω繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面薄片D繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面金屬桿L繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量空間金屬曲面片S繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例設(shè)某球體的密度與各點(diǎn)到球心的距離成正比，試求它對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解設(shè)球體由不等式表示;密度函數(shù)

為

k為比例常數(shù);取切平面方程為

則球體對(duì)于此平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為經(jīng)詳細(xì)計(jì)算,可得薄片對(duì)

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)4引力平面薄片D對(duì)位于z軸上的點(diǎn)M(0,0,a)(a>0)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力．

三十六、3解

關(guān)鍵寫出所求量的微元由兩質(zhì)點(diǎn)間的引力公式有：dSm0(x,y,z)xyz由對(duì)稱性3.引力注：本題也可改為立體三、變力作功A(1,2)B(3,4)P(x,y)Oxy解依題意取也可