微積分復習資料公式

微利今(上，復燈資斜——公式

1函數

初等函數：

常量函數y=C(C)

幕函數y=xa(a)

指數函數丫=2*七＞0建豐0)

對數函數IOgaX(a>o,a>0)

三角函數y=sinxy=cosxy-tanxy=cotx

反二角函數y=arcsinx=sin1xy=arccosx=cos1x

-1-1

y=arctanx=tanxy=arccotx=cotx

三角函數公式

1.兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-8)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+5)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tanA4-tan5tanA—tan8

tan(A+fl)tan(A-B)

1-tanAtanB1+tanAtanB

cotA-cot5-1cotAcotB+1

cot(A+8)=cot(A-B)=

cotB+cotAcotB-cotA

2.二倍角公式

sin2A=2sinAcosAcos2A=cos2A-sin2A=l-2sin2A=2cos2A-l

..2tanA

tan2A=...........-

1-tan2A

3.半角公式

.A11-cosA

A/I-cosAsinAA/I+cosAsinA

tan—=J-----------=------------cot—=-----------=------------

2v1+cosA1+cosA2v1-cosA1-cosA

4.和差化積公式

..,入.a+ba-b...a+b.a-b

sina+sin8=2sin-------cos------sina-sin/?=2cos-------sin

2222

,八a+ba-b,.a+b.a-b

cosa+cosb=2cos-------cos------cosa-cosb=-2sin-------sin------

2222

sin(a+/?)

tana+tanb=------------

cosa?cos/?

5.積化和差公式

sinasin/?=一；[cos(a+。)-cos(a-b)]cosacosb=g[cos(a+b)+cos(a-力)]

sinacos-[sin((2+/?)+sin(6t-/?)]cosasmb=^[sin(tz+/7)-sin(4Z-/7)]

6.萬能公式

入。八

2tan—a.1-tan2—2tan—a

si.na=--------?-cosa=------2幺tana=--------2-

1+tan2—l+tan2—1-tan2—

222

7.平方關系

sin2x+cos2x=lsec2x-tan2x=\esc2x-cot2x=l

8.倒數關系

tanx-cotx=1secx-cosx=lc5cx-sinx=1

9.商數關系

sinxcosx

tanx=------cotx=——

cosxsinx

【特殊角的三角函數值】

X0nnnn

6TT

sinx0110

A/3

2

T

1

cosX1g0-1

2

T

tanx0A/3不存在0

A/3

y

不存在A/30不存在

cotXA/3

y

2極限

數列極限四則運算

若數列｛an｝與｛bn｝為收斂數歹山

則｛an±br｝｛an?bn｝也是收斂數列，且

Iim(a±b)=Iima±Iimb

(1)nT8nnn->8nn-8n

Iim(a?b)二Iima?Iimb

(2)…nnn"nn-8n

里—Igganb豐(J及|M功

⑶上馳-4(…)

函數極限運算

定理1四則運算法則

Iim[f(x)±g(x)]=Iimf(x)±Iimg(x)二A±B

(1)XTXQX->XOX—XO

Iim[f(x)?g(x)]=Iimf(x)?Iimg(x)=A?B

⑵xTXoX->XoX->Xo

limf(x)

f(x)<-*XoA.、

⑶Iimg(x)7Ii~m7g(xT)=pB('B=#0)

X->XQ

定理2復合函數極限

設函數y=f[$(x)]是函數u=4>(x),y=f(u)的復合函數。

IimQ(x)=uoIimf(u)=uo

若xixo,y=f(u)在UO有定義且uTuo,則

Iimf[g(X)]=f(Uo)

X->Xo

Iim4)(x)=UQ

因為XTX。,所以定理結論也也可寫成

Iimf[0(x)]=f[Iim0(x)]

x->xox->xo

Iimf(x)

推論3若XTX。存在，C為常數，則

Iim[Cf(x)]=CIimf(x)

X->XoX->Xo

Iimf(x)

推論4若XTXO存在，n為正整數，則

Iim[f(x)]n=[Iimf(x)]n

X->XoXTX。

常用極限

sinx

Iim二1limarccotx=0

x->ox

1x

Iim(1+-)二elimarccotx=.r

XT8x—>-oo

lim標(a>o)=Ilimex=0

X->Y

limVn=1limex=oo

X—>2

limarctanx=—limxx=1

XT82x-?0+

limarctanx=----

xa2

—n=m

limM+N+

0n<m（系數不為0的情況）

XT8+b[￡"T++b

nioon>m

常用XTO時的等價無窮小

sinx?x,arcsinx?x,tanx?x,arctanxx,

In(1+x)x,e'-1?x,1-cosx?

ax-1^xIna,(1+x)a-1?ax

3導數

導數的四則運算法則

(U±V)=u'±V1

(UV)=UV+UV,(Cu)=Cu,推廣(uvw)=u'vw+uv'w+uvw

宙=u'v-UV'曾=_E

\yjv2,\v/v2

反函數導數：f(x)'=高或2=1卷

復合函數導數：y'(x)=f1(u)+@'(x)或今="關(鏈式法則)

基本導數公式

(11)(log“')'=--

⑴(c)=0

'7xlna

(12)(inx)=—

(3)(sinx)=cosx(13)(arcsinx)'=/1

(4)(cosx)=-sinx

/1

(14)(arccosx)=——.

(5)(tanx)=sec2x

(6)(cotx)=-csc2x

71+x2

/1

(7)(secx)=secx-tanx(16)(arccotx)=--j——j

(8)(CSCX)=-CSCA-COtX(17)(x)'=1

(9)(av)=a'ln?

(10)(')'="

高階導數的運算法則

(1)[w(x)±=〃(x)5)±v(x)(，z)

(2)[cx(x)r)=c〃(")(x)

(3)["(奴+。,")=(ox+。)

(4)[〃(尤)3(切(")=/3("/(無)川(力

k=0

基本初等函數的n階導數公式

(4)[sin(or+8)['"=a"sin[

ax+b+n-

2

n

(5)[cos(tu+/?)](，，)=acostax+b+n~

l2J

(1Y")

a"-nl

(6)--

n+

yCIX+。,=(T"(ax+b)'

⑺[ln(<jx+&)](n)=(-l)"-1

(ax+b)"

5微分

微分的四則運算

根據與導數的關系，所以與導數相同

微分的近似計算中的應用

由函數增量與微分的關系?y=f'(x0)?x+a??x=dy+a??x,其中？x-0時

aTO,當|?x|很小時，有?y七dy,因此f(x+x0)~f(xo)+f(x°)?x或當

xxX。時有f(x)"f(xo)+f(XQ)(X-xo)

令xo=C,得下列函數在原點附近的近似公式：sinx、tanx右Inxxx,

ex1+x

微分公式與微分運算法則

⑴d(c)=O(10)d(a")=優(yōu)madx

⑵d(x")=W'dx(11)J(inxj=—dx

(3)d(sinx)=cos工公(12)J(log/)=dx

(4)d(cosx)=-sinxdx(13)d(arcsinx)='1dx

(5)d(tanx)=sec2xdx

(14)d(arccosx)=——,dx

(6)d(cotx\——esc2xdxA/1-X2

(⑸d(arctanx)=*dx

(7)6?(secx)=secx-tanAzir2

(16)d(arccotx)=-dx

⑻d(escx)=—escx?cotAZ/X1*2

微分運算法則

⑴d(〃土v)=du±dv②d(cu)=cdu

/公vdu-udv

⑶d(wv)=vdu+udv⑷噌卜y

幾種常見的微分方程(課外知識)

1.可分離變量的微分方程：2=〃x)g(y)，/(x)&(y)^+△(x)g2(y)dy=。

2.齊次微分方程：孚

axyx)

3.一階線性非齊次微分方程：半+p(x)y=Q(x)

ax

解為：y=JQ(x)e」"""Z+c

8不定積分

基本積分公式

1\kdx=kx+c13、[---7dx=arctanx+c

Jl+x2

14、Jtanxtit=—ln|cosjc|+c

15、Jcotx6(r=ln|sinA)+c

16sJsecxJ^=ln|secx+tan^j+c

17、

5、Jexdx—ex+c

jcscxtix=ln|cscx-cotx|+c=Intan^+c

6、Jsinx公=-cosx+c

r1,1x

18、----dx--arctan—+c

7、JcosxtZx=sinx+cJQ"+犬aa

sf1」1iH+H

8、f—dx-[sec2xdx=tanx+ca-x22a\a-x\

9、f—tZr=[esc?xdx=-cotx-￥c20vf1Jx=—ln|-~^|+c課外

Jx-a2a\x+a\

10、jsecxtanxdx=secx+c

21、j,—1=dx=arcsin—+c

11、jcscxcotx<ir=-cscx+cJ^a2-x2a

12、f—dx-arcsinx+c

23、Js/m/x=c/u:+c其中血=巴尸為雙曲正弦函數（課外知識）

24、\chxdx=+c其中chx=史詈為雙曲余弦函數（課外知識）

F列常用湊微分公式

積分型換元公式

u=ax+b

Jxf(ax2+b)dx二丁Jf(ax2+b)d(ax2+b)_2.1

u-ax+b

J1(W)dx=2Jf(Vx)d(Vx)

u二m

JT(lnx)dx=Jf(Inx)d(lnx)

u=1nx

]7(%"y-'dx=：J/(x"v(x〃)課外