2023年高考數(shù)學搶分秘籍（新高考專用）5 立體幾何小題：截面與球（7個題型）（解析版）

秘籍05立體幾何小題：截面與球

中高考預測，

概率預測☆☆☆☆

題型預測選擇題、填空題☆☆☆☆☆

考向預測外接球表面積與體積最值問題

應試秘籍

立體幾何的考察主要會以截面、組合體外接球和內切球以及軌跡動點求最值等的形式來考察學生對于

空間想象能力的考察，難度不小，一般會出現(xiàn)在選填的壓軸題里，也有可能出現(xiàn)在多選以多個維度去考察。

這里主要對各個題型進行總結，需要在掌握題型的基礎上鍛煉自己的空間想象能力。

【題型一】截面最值

求截面方法：

1.平行線法：

（1）利用兩條平行線確定一個平面，

（2）一個平面與兩個平行平面相交，交線平行

2.相交線法：

（1）兩條相交直線確定一個平面

（2）若兩個相交平面中一條直線與棱不平行，則與棱的交點，也在另一個平面內

?典例剖析

1.正方體ABC。-為棱長為2,動點P,。分別在棱BC,CC,±,過點A,P,。的平面截該正方

體所得的截面記為S,設=CQ=y,其中X,ye[o,2],下列命題正確的是.（寫出所有正確命

題的編號）

o

①當x=0時，S為矩形，其面積最大為4；②當x=y=l時，S的面積為］；③當x=l,yw(l,2)時，設s與

4Q

棱的交點為R,則7?。=4--；④當y=2時，以巴為頂點，S為底面的棱錐的體積為定值;.

【答案】②③④

【詳解】解：

當x=0時，點尸與點B重合，ABLPQ,此時S為矩形，當點。與點G重合時，S的面積最大,

S=2x2-\/2=4應.故6)錯誤；

當x=l,y=l時，尸。為,BCG的中位線,PQUBC、,BCJ/AR,，A。//尸Q,，s為等腰梯形APQA的

面積，

過尸作PE_LA。于E,PQ=>/2,AD,=2&,，AE=立,AP=6：.PE考……海、沖9

22222

故②正確；

由圖可設S與交于點尸，可得D、F"CJ,C、QRSD、FR,篇=鬻

4

CQ=y,則GQ=2-y,，RR=4--,故③正確;

11Q

當了=2時，以用為定點，S為底面的棱錐為4-APGH,%gH=2Vic,H=2x；x]x2x2x2=],故④正確;

故答案為：②③④.

2.如圖，長方體488-AgGR中，AB=BC=4,想=3,M是線段3c的中點，點N在線段BQ上，MN//

BD,則長方體ABCD-ABCR被平面所截得的截面面積為.

【答案】7"

【詳解】

如圖，例是線段的中點，點N在線段4G匕MN//BD,所以N為與G的中點.延長AA交直線于

點P,連接AP交。。于點E；延長4與交直線MN于點Q,

連接AQ交于點￡則PM=MN,NQ=MN.于是易得反尸分別為。A、BBt的三等分點，因此截面為五邊形

AEMNF,

AE=AF=?5EM=FN=y/5,MN=26,EF=472，

過A作AT_LPQ于T，交EF于S,由AE=A/=2E，4P=4Q=3jT可得AS=26,AT=36，故

=夫4&x2g+容逑xG=7折

S五邊形A￡MNF=$4AEF+S四邊

形EMNF

故答案為：~1瓜.

3.如圖，在正四棱臺ABCO-A/CQ中，上底面邊長為4,下底面邊長為8,高為5,點”,N分別在其弟R6

上，且4知=〃'=1.過點M,N的平面a與此四棱臺的下底面會相交，則平面a與四棱臺的面的交線所圍

成圖形的面積的最大值為

A.18V7B.3072C.6V61D.36V3

【答案】B

【詳解】當斜面a經(jīng)過點BCNM時與四棱臺的面的交線圍成的圖形的面積最大，此時a為等腰梯形，上底

為MN=4,下底為BC=8

此時作正四棱分ABCD-俯視圖如下：

則MN中點在底面的投影到BC的距離為8-2-1=5

因為正四棱臺的高為5,所以截面等腰梯形的高為疹才=5五

所以截面面積的最大值為S=gx(4+8)x5a=30夜

所以選B

學名校模擬，

1.(2023?重慶九龍坡?統(tǒng)考二模)正多面體統(tǒng)稱為柏拉圖體，被喻為最有規(guī)律的立體結構，其所有面都只由

一種正多邊形構成（各面都是全等的正多邊形，且每個頂點所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成的二面角都

相等），正多面體共有5種，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面

體.連接正方體中相鄰面的中心（如圖1）,得到另一個柏拉圖體，即正八面體P-A88-Q（如圖2）,設

日尸,月分別為帖,尸仇8。的中點，則下列說法正確的是（）

B.經(jīng)過￡尸，〃的平面截此正八面體所得的截面為正五邊形

C.平面PA8J■平面產。

D.平面EFH//平面PC。

【答案】D

如圖，將正方體補充完整為OMNR-?M1N圈,

連接。

則在△中，A,尸為。M。乂的中點，

所以4P〃例乂，

在△中，C,Q為RN”KM的中點，

所以CQ〃MM，從而AP〃C。，A錯誤;

取QC,A。的中點依次為X,y,z,

連接EF,FH,HX,XY,YZ,ZE,

則有EF〃筋〃8〃XF,我”〃尸C〃AQ〃KZ,”X〃8?！āㄎ襔,

且EF=XY=FH=YZ=HX=EZ,

所以經(jīng)過的平面截此正八面體所得的截面為正六邊形，B錯誤；

要證平面皿，平面PCD,即證平面MQM_L平面,

連接PM,PR,

因為PQ//0。,00,，平面0MN國,

所以P。2平面。陽戶內,。閥u平面QMN4，

所以PQ_L01乂，且OR±MR,M內〃MR,所以。乂J.MR,

R.PQMR=Q,PQ,MRu平面PMR,

所以。M1平面PMR,

乂因為尸例,PRu平面pMR.所以PM_L,PR，01N,

所以NMPR為平面與平面AQM所成的角，

設正方體的邊長為2缶，

則MR=J&J+8/=4a,PM=PR=y/Sa2+4a2=2瓜，

從而MR?#PM?+PR?，所以NM尸Rw90,故C錯誤；

因為EFHABHCD,a平面PCD,CDu平面尸C￡>,

所以“〃平面PCD,

因為FH//PC,尸Ho平面PCD,尸。<=平面尸8,

所以“〃平面PC￡）,

且EF,Fau平面EFH,EFcFH=F,

所以平面EFH//平面PCD,D正確，

故選：D.

2.（2023?貴州?統(tǒng)考模擬預測）如圖，某環(huán)保組織設計一款苗木培植箱，其外形由棱長為2（單位：m）的

正方體截去四個相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面

m2

【答案】等

【詳解】如圖將正方體補全，依題意可得A、B、C、。為正方體底面邊上的中點,

要使球的衣面積最小，即為求ABCD-EFG”的外接球的表面積,

如圖建立空間直角坐標系，則A(1,O,O),"(0,0,2),則兒何體ABCD-EFGH外接球的球心必在上、下底面

中心的連線上，

設球心為“(1,1,〃。，球的半徑為R,則店=|仞4/=眼川2,

即R2=12+/H2=124-12+(/77-2)2,解得％=；,

所以7?2=12+僅丫=3

⑷16

414141

所以外接球的表面積5=4兀齊=4兀、?=；兀，即該球表面積的最小值為;兀m<

1644

41

故答案為：

4

3.(2023?寧夏吳忠?高三統(tǒng)考階段練習)已知表面積為54的正方體ABCQ-AAGA的頂點都在球。上，過

球心。的平面截正方體所得的截面過正方體相對兩棱Bq,OR的中點F,E,設該截面與AA及CG的交點

分別為M,N,點P是正方體表面上一點，則以截面EMF7V為底面，以點P為頂點的四棱錐的體積的最大

值為.

【答案】9

【詳解】設該正方體的棱長為。，球的半徑為廣，所以有6/=54,解得。=3,所以該正方體的棱長為3.

如題圖，由題意可知，若該截面必過正方體相對兩棱8勺，的中點凡E,則該截面EMFN為菱形，顯

然E尸〃BR,而AG±BR,所以,顯然A4,，E尸，所以EF，4例，而ACcA"=A,,AtCt,

u平面AMNq,所以EF/平面\MNC..

由題圖可以看出當點尸與點A或點C重:合時棱錐的高最大，為球的半徑.

丫f=/一鵬+匕一5=?△"所=；X；.AM-ACEF,而AC=EF=3A/L則

材硒E=3AM43AA=9；綜上所述，所求四棱錐的體積的最大值為9.

故答案為：9

【題型二】球截面

用一個平面a去截球，若平面a經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面a不經(jīng)過球心，所得的截面

稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面。

?典例剖析

1.在三棱錐A—88中，AB=BC=CD=DA=2。NAQC=NA8C=90。，平面ABC,平面AC￡）,三棱

錐A-BCC的所有頂點都在球。的球面上，￡,尸分別在線段。8,8上運動（端點除外），BE=y[2CF.當

三棱錐E-ACF的體積最大時，過點尸作球。的截面，則截面面積的最小值為（）

3

A.7tB.y/3TtC.—TCD.2兀

【答案】c

【詳解】如圖，取AC的中點O,連接。尸，OB,

B

因為NAOC=NABC=90。，所以OA=OB=OC==LAC,即。為球心，

2

則球。的半徑R=2.乂AB=BC,所以O8J_4C,

又平面A8CJ_平面AC。，平面4?Cc平面ACD=AC,08u平面ABC,

所以O8J_平面4C￡）.

設CF=x,貝l」8E=&x<2，所以O<X<0，

所以三棱錐

/I-\2

2

=1X^.2V2（2-^）=|（>/2X-X）=-||X-^-14,

當x=4Z時，丫取得最大值!.由于。4=O8=OC=O。，

23

在ACOF中，由余弦定理得：

OF=VOC2+CF--2OC-CFcosZACF=J4+--2x2x—x—=--

V2222

根據(jù)球的性質可知，當OF垂直于截面時，截面圓的面積最小，

設此時截面圓的半徑為r,所以—JR?.。尸J-（姬］=逅，

\I2J2

則截面面積的最小值為“2=兀（堂）=|兀.故選：C.

2.已知一個正四面體的棱長為2,則其外接球與以其一個頂點為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度

為.

【答案】避四

3

【詳解】設外接球半徑為，外接球球心到底面的距離為

貝肥+-=冬旦/=川+3,所以一逅，兩球相交形成形成的圖形為圓,

332

]+66

如圖，在APDO'b，cosZDPO=-=當，sinZDPO=—,在中，DO.=PDsinZDOP=—

2xlx^666

2

所以交線所在圓的半徑為畫，所以交線長度為2萬?畫=3逅.故答案為：《亟

6633

3.在正四棱錐P-43CO中，已知R4=4?=4,。為底面A8CD的中心，以點。為球心作一半徑為述的球,

3

則平面爾截該球的截面面積為.

8乃

【答案】7.

【詳解】由正棱錐性質知：P。1平面A8CO,

取CO中點E,連接莊，作OGL尸E,垂足為G,

PO_L平面ABC。，6￡)0：平面458,:./>。_18,

。,后分別為4。,8中點，，?！?/4。，又AO_LCO,.?.OE_LC￡>,

PO,OEu平面POE,POOE=O,\C￡)人平面POE,又OGu平面POE,

:.OG±CD,又.OGLPE,8,PEu平面尸CD,CD\PE=E,

，OG_L平面PCD,則由球的性質可知：G為平面PCD截球。所得截面圓的圓心,

設”為該截面圓與PE的一個交點，連接?！?，

PA—AB—4,AO=-AC=2y/2,OE=—AD=2,PO=V16—8=2>/2,

PE2瓜

.'.PE=5^74=2^,又SPOE=、POOE=LPEOG,.,0G=0'°

22PE亍

0H=遞，:.HG=y/OH2-OG2=^-,即截面圓的半徑/^=2區(qū),

333

??.截面圓的面積5=%/=（.故答案為：拳

7名校模擬

1.（2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學校考模擬預測）已知四棱錐P-A3C。的各個頂點都在球O的表面

7T

上，抬回平面A8CD,底面ABCD是等腰梯形，AD//BC,AB=AD=CD=3,ZABC=-,PA=2五，M

是線段AB上一點，且AM=/IA3.過點M作球。的截面，所得截面圓面積的最小值為2萬，則2=—.

【答案】:1或52

J。

【詳解】在等腰梯形ABCO中，連接AC,如圖，

因為AD〃BC,AB=AD=CD=3,AABC--,則/BA。=NAOC=」，ZCAD=-,

336

于是NBAC=5,取5c中點。1,連接。A,OQ,則?A=Om=?C，得，A?B,.COQ均為正一角形，

即有QA=OXB=QC=OQ,即O,是梯形ABC。外接圓圓心，

而。為四棱錐P-ABCD的外接球球心，因此0。，平面ABCD,又用團平面ABCC,

則QO〃尸4,而姑為球。的弦，則過點O垂直于R4的平面必過R4的中點￡連接OE,Q4,

于是OELP4,而QALPA,即有。4//OE,四邊形QAEO為矩形，OQ=AE=gpA=^,

因此球。的半徑R=OA=JO#+002=41,過點M的球O的最小截面圓所在平面必垂直于OM,

而此截面圓半徑為正，則OM=卜_（揚2=3,連接，在8△OOM中，0陷=dOM?-OQ2=5,

在中，NBAO|=m，AM2+O,A2-2AMO^cosZBAO^O^2,

即有AM2+9-3AM=7,解得AM=1或AM=2,

所以4=：1或幾=2；.

33

12

故答案為：鼻或鼻

2.（2021春?浙江?高一期末）已知三棱錐P-43C四個頂點都在球。上，E4,面ABC,PA=6,ZBAC=^,

AC=AB=2,。是8c的中點，過點。作球。的截面，則截面面積的最小值是.

【答案】3n

【詳解】解：如圖，在ABC中，由NBAC=W，AC=AB=2,得

BC=y/AB2+AC--2AB-ACcosZBAC=^22+22-2x2x2x（-1）=273,

因為。是8c的中點，所以AD=1，

設的外心為6,則AO=BO=CO=2,

因為PA_L面ABC,PA=6,

設球。的半徑為，設OO=x,過。作QELR4,則OE=AO=2,00=AE=無，PE=6-x,

所以22+—=/,22+（6-X）2=r,解得x=3,r?=13,

所以OD=?+32=回,

所以截面面積的最小值為燈（產-OZ/QirxaS-lOWSTr,

故答案為：3萬

3.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）已知三棱錐?一ABC的各個頂點都在球。的表面上，AB=AC=4,

NBAC=120。，PB=PC=4y[i,平面PB03平面4BC,若點E滿足BC=4BE，過點E作球。的截面，則

所得截面面積的取值范圍為.

【答案】9r,20兀]

【詳解】如圖所示，設O在平面ABC的射影為。一

在等腰三角形ABC中，

由余弦定理可知8c=J?+4?—2x4x4x(-g)=4g,

由正弦定理可知："=0出=0?=$宗=4,

2

顯然QALBC,垂足為。，。為8c中點，

由勾股定理可知：AO=J42-1；X4石j=2,O,D=4-2=2,

因為BC=4BE，所以BE=DE=葭4艮6

4

22

由勾股定理可知：OlE=ylDE+O]D=TTT4=V7,

設OFLPO.垂足為尸，

因為PB=PC=4K，D為BC中點，所以PDJL3C,

而BC=4也,所以三角形P8C是正三角形,因此PC=J(4后『一6、46)=6

因為平面P8C13平面48C,平面PBCc平面ABC=BC,

所以PDL平面A8C,而。?平面A5C,OQu平面A8C,

所以OOJ/P。，OXDLPD,

在直角梯形。。。2中，OlO=DF,O]D=OF=2,

設外接球的半徑為R，則OP=OC=R,

在直角三角形0。。中，OO、=次-16,

在直角三角形OPE中，

R2=22+(6-,店-16'=>斤=20=>R=2石，

當截面經(jīng)過球心時，截面的面積最大，最大值為兀?(2石丫=20兀，

當OE與截面垂直時，截面的面積最小,

在直角三角形OQE中，OE=JOO：+0F=20-⑹?+7=Vn,

此時截面的半徑為JN—OE=J20-11=3,

所以截面的面積最小值為兀.3?=9兀，

所以所得截面面積的取值范圍為［9兀,20兀］,

故答案為：［9兀,20兀］

Oi

【題型三】線面垂直型求外接球

線面垂直型：

存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r,滿

足正弦定理）

1.模板圖形原理

學典例剖析

1.已知三棱錐S—A8C的所有頂點都在球。的球面上，SAL平面ABC,M=2,若球。的表面積為16萬，則

三棱錐S—A8C的體積的最大值為（）

A.—B.3&C.噸D.6G

22

【答案】A

【詳解】設球的半徑為七則4兀/?2=16兀，解得：R=2,

設三角形A8C的外接圓半徑為r,則r2=/?\

即1+，=4>解得：r=幣,

當三棱錐底面三角形ABC面積最大時，三棱錐S—A8C的體積取得最大值，

如圖所示：

要想ABC面積最大，當A位于8c垂直平分線與圓的交點(8C與A點位于圓心兩側)時，此時三角形A8C

為等腰三角形時，面積最大，

連接BO并延長，交圓于點。，連接C￡>,則B￡>=26，BCLBC,

設NCBQ=a,ae[o,3則8c=2?cosa?OE=>/3sina?AE=AO+OE=\/34->/3sina,

2

則S.BCAE=-x25/3cosaxM+6sina)=3cosa(l+sina),

22

令y=3cosa(l+sina),貝ij/=-3sina(l+sina)+3cos26z=-6sin2^-3sina+3=-3(sina+l)(2sincr-l),

當sina￡y>o,當sinaw

即aG時,y<o,

即y=3cosa(l+sina)在a單調遞增，在a上單調遞減,

所以當a=F時，y=3cosa(l+sina)取得最大值,

6

則三棱錐s—A8C的體積的最大值為』X2叵X2=33

342

2.已知三棱錐S—ABC的所有頂點都在球。的球面上，SAL平面ABC,SA=2,若球。的表面積為16萬，則

三棱錐S—A8C的體積的最大值為()

A.—B.3上C.隨D.6+

22

【答案】A

【詳解】設球的半徑為K，則4兀代=16兀，解得：R=2,

設三角形ABC的外接圓半徑為r,則r2=R2,

B|J1+r2=4，解得：r=也,

當三棱錐底面三角形ABC面積最大時，三棱錐S-ABC的體積取得最大值，

如圖所示：

要想43C面積最大，當A位于BC垂直平分線與圓的交點(8C與A點位于圓心兩側)時，此時三角形A8C

為等腰三角形時，面積最大，

連接80并延長，交圓于點。，連接8,則8。=2退，BCLBC,

設NCB￡)=a,ae[0,]},則BC=2A/5COS(Z,0E=?sina,AE=AO+OE=>/3+>/3sina.

=^BC-AE=~x2>/3cosax^73+\^sinaj=3cosa(1+sina)

則SABC

令y=3cosa(l+sinc),則/=-3sin(z(l+sin?)+3cos2tz=-6sin2?-3sintz+3=-3(sina+l)(2sin?-l),

與sinaey>o,

即y=3cosa(l+sina)在a單調遞增,在ae上單調遞減,

所以當a=當時，y=3cosa(l+sina)取得最大值,

6

a?兀)9G

y=3cos—1+sin—=-----,

max6(6)4

則三棱錐S—A8C的體積的最大值為k述X2=±8

342

3.已知A,8,C,O四點均在半徑為R(R為常數(shù))的球。的球面上運動，且A5=AC,AB1AC,AD1BC,

若四面體ABC。的體積的最大值為三，則球。的表面積為（）

【答案】C

【解析】由題意要使四面體的體積最大，則。在底面ABC的投影恰好為底面三角形外接圓的圓心N,則外

接球的球心在QN上，求出三棱錐的體積，由均值不等式可得K的值，進而求出外接球的衣面積.

因為A8=AC,A8_LAC,AO_LBC,作于N,

則N為8c的中點，且AN=《BC,

若四面體ABC。的體積的最大值時，則ZW上面ABC,則外接球的球心在ON上，設為0,

設外接球的半徑為R，連接。4，則。4=OQ=R，

V_=--BCANDN=--2ANAN（R+ON）=-AN2\R+ON＞）=-（OA2-ON2）（R+ON）

DABC32633

=1（R+ON）（R-ON）（R+ON）=，（R+ON）（2R-2ON）（H+ON）

36

4*(R+CN)+(2R-；CW)+(R+CN)]當且僅當2R-2QV=R+ON,即K=30N時取等號,

因為三棱錐的最大體積為：，所以竺］=，，可得R=。,

6613）64

所以外接球的表面積為S=4萬代=4萬弓=咚，故選：C.

164

學名校模擬

TT

1.（2023?西藏拉薩?統(tǒng)考一模）已知ABC的斜邊AC=2,ZACB=~,現(xiàn)將繞AB邊旋轉至△ABD

的位置，使NC84=：,則所得四面體A-88外接球的表面積為（）

A.2兀B.3兀C.4兀D.5九

【答案】D

jrjr

【詳解】如圖，取CO的中點連接叫W,ZACB=AADB=-,ZCBD=~,AC=AD=2,

4B=2si嗎=6BC=BO=2cosm=1，CD=g，

所以△BCD是等腰直角三角形，則斜邊CD的中點例為△88外接圓的圓心.

因為A31BC,AB工BD,BCBD=B,BC、8E>u平面BCD,

所以AB工平面BCD過M作平面8c。的垂線，過AB的中點N作8M的平行線,

兩直線的交點為。，點0即為四面體4-88外接球的球心.

連接。8,因為8M=4。=交，OM=NB=-AB=—,

2222

所以四面體A-BCD外接球的半徑R=OB=y]OM2+BM2=

一2’

故所求外接球的表面積為5=4兀斤=5兀.

2.（2023?陜西漢中?統(tǒng)考二模）三棱錐P-43C中，PA_L平面ABC,ZABC=90°,AB=\,BC=>/3,PA=2,

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

A.32兀B.16KC.8兀D.12兀

【答案】C

【詳解】如圖所示，根據(jù)題意可將三棱錐P-A3C補形為長方體，則三棱錐P-45C的外接球即為長方體的

外接球，可知該球的直徑即為PC，

設球的半徑為R，可得2R=ylAB2+BC2+PA2=J1+3+4=2應，即R=0,

故三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4兀斤=8兀,

故選：C.

3.（2023春?遼寧朝陽?高二北票市高級中學校考階段練習）已知四棱錐P-43C￡>的外接球。的表面積為64*

PAJ■平面A8C。，且底面4BCC為矩形，PA=4,設點M在球O的表面上運動，則四棱錐M-ABCO體積

的最大值為.

【答案】48

【詳解】球。的表面積為4兀收=64兀，則半徑R=4,將四棱錐P-ABCZ）補成長方體，長、寬、高分別設

為4、b、C,

則/+。2+。2=（2/?）2,且C=PA=4,&a2+b2=48>2ab,團就424,當且僅當a=b=2而時取等號.

矩形48C。面積的最大值為S=（"）a=24,

要使四棱錐M-他8的體積最大，只需點M為平面A8CZ）的中心。?與球心0所在的宜線與球的其中一個

離平面A8C。較遠的交點，OO|=；PA=2,MOt=6,

可求得M-A5CD體積最大值為V==1x24x6=48.

故答案為：48

【題型四】面面垂直型

包含了面面垂直

一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，可以對兩平面都用正弦定理來定球心。

:典例剖析

1.已知三棱錐4-BCQ中，平面ABO,平面BCD,且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三

棱錐的外接球表面積為（)

16萬207

A.4乃B.C.8萬D.——

3

【答案】D

A

【詳解】如圖,

由己知可得，/VU?。與△38均為等邊三角形，取5￡）中點G,連接AG,CG,則AGJ_3。，

團平面A8DL平面BCD,則AGL平面80分別取與△BCD的外心區(qū)尸，過EF分別作兩面的

垂線，相交于。，則。為三棱錐A-BCD的外接球的球心，由△ABD與△BCD均為邊長為2的等邊三角形，

ill/11-nr-'rr_'c上—上.rr-i△2_2拒

nJA/OE=OF——CG——x2x—=—，..CE=2x—x—=------,

3323233

R=OC=yj0E2+CE2=,回三棱錐A-BCD的外接球的表面積為

4"X&=4〃x(^^)2=卷^.故選：D.

2.在四面體P-A8C中，三角形ABC為等邊三角形，邊長為3,PA=3,PB=4,PC=5,則四面體P-A3C

外接球表面積為（）

冗80%324萬

A.\2B.251丁

【答案】D

3

CDjK

如圖所示，取8c的中點為。，取PC中點為點E,連接A￡OE,.因為AC=AB=3,且點。為8c的中點,

則A￡）_LBC,

又PA=3,PB=4,PC=5,則3C_L尸5,因為所以BC_LOE,A。DE=D,所以BC_L平面AOE,

則BC1.AE,

又因為R4=AC=3,PC中點為點E,則PCcBC=C,所以AE_L平面P3C,所以球心位于AE上.

設球心位點0,半徑為此則R2=（AE-M+CE2，由勾股定理得：AE=j3J（|j=乎,

則配=a1-/+f-Y,解得故外接球的表面積為5=4萬代=%絲故選：D.

L2J12；Vn1111

3.（2023?全國?浮梁縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）《九章算術》卷五《商功》中描述幾何體"陽馬"為"底面為

矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽馬尸一488（如圖），PAL平面AB8,PA=1,A8=2,AD=3,

點E,F分別在AB,BC上，當空間四邊形PEFD的周長最小時，三棱錐P-4萬外接球的表面積為（）

【答案】B

【詳解】如圖所示，把42,28剪開，使得.必記與矩形在同一個平面內.

延長。C到何，使得CM=OC,則四點P,E,F,M在同一條直線上時，尸E+EF+田取得最小值，即空

間四邊形PEFD的周長取得最小值.可得CF=；=2,團8尸=1.13點E為AB的中點.

如圖所示，設△A/D的外心為0一外接圓的半徑為廣，易得/FD4=45,

則2廠=./＜。=何.

sin45°

設三棱錐P—的外接球的半徑為R,球心為。，連接。。一則OO|=gft4=g,

乎國三棱錐尸一的外接球的表面積=4兀相印E.

貝1JR2=

故選：B.

:名校模擬

1.（2023?四川成都?四川省成都市玉林中學?？寄M預測）在菱形43co中，AB=2,NA=60。，將△BCD

繞對角線BZ）所在直線旋轉至BPD,使得4尸=6，則三棱錐尸-A8D的外接球的表面積為（）

【答案】B

【詳解】如圖，取8。的中點M，連接

在菱形ABC。中，ZA=60°,則都是等邊三角形，

則PM=MA=瓜PM±BD,AMLBD,

因為平面P3O-平面ABD=BD,

所以/PM4即為:面角P-BD-A的平面角，

TT

因為PA^+AM=AP2,所以即=

所以平面J"平面ABD,

如圖，設點E為的外接圓的圓心，則E在AM上，且ME=1AM=3,

33

設點。為三棱錐P-ABD的外接球的球心，則0E1平面ABD,

外接球的半徑為R,設OE=x,

貝+手）=圖+（G-x『，解得》=冬

所以叫+汨，

所以三棱錐P-鉆。的外接球的表面積為4兀&=等.

故選：B.

JT

2.（2023?西藏拉薩?統(tǒng)考一模）已知RCA3C的斜邊AC=2,ZACB=-,現(xiàn)將_43c繞48邊旋轉到△ABO

的位置，使NC8D=],則所得四面體A-BCD外接球的表面積為.

【答案】5兀

【詳解】如圖，AACB=AADB=^,NCBD=]，

AC—AD-2,AB=2siny=5/3,BC=Z?D=2cosy=1,CD=6，

等腰直角三角形△■BCD斜邊CO的小點歷為△BCD外接圓的圓心，

連接過M作平面8C。的垂線，過48的中點N作8歷的平行線,

兩直線的交點。即為四面體A-88外接球的球心.

易知BM=，CZ)=立，OM=NB=-AB=—,

連接OB,

2222

所以四面體A-BCD外接球的半徑R=03=\IOM2+BM2

所以四面體A-BCD外接球的表面積S=4/=57t.

故答案為：5兀.

A

在直三棱柱ABC-A瓦G中，AAt=AB=BC.設。為的中點，三棱錐

,,則三棱柱ABC-A4G外接球的表面積為

【答案】27兀

【詳解】取AB的中點E,連接AE,如圖.

因為AA=A8,所以AE1A#.

又面A8C_L面AB8M,面ABCc面A3B1A=A8，且4Eu面AB2M，

所以面ABC,3Cu面A8C,所以A￡，BC.

在直三棱柱ABC-ABC中，BBJ面ABC,3Cu面ABC,所以8月，BC.

又A￡,陰u面ABB4，且AE,陰相交，所以BC立面川阻4，ABu面A陰A，

所以8CLA3.

1AA11AA1G

設AA,=AB=BC=a,則5段叱寸解得。=3,

JJ乙乙1.4*1

所以A4,=A5=8C=3.

所以三棱柱ABC-外接球的表面積S=4兀齊=（A4,2+AB2+BC2）-兀=27兀.

故答案為：27兀

【題型五】任意二面角定球心

1.等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心;

2.直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；

3.許多情況下，會和二面角結合。

溝典例剖析

1.如圖，二面角A-M-C的平面角的大小為120。，ZBDA=12（）°,ZBZX;=150°,AD=BD=2,CD=0,

則四面體ABC。的外接球表面積為.

【答案】116乃

【詳解】

在VBZM中，ZBDA-1200,AD=BD=2,所以A8=JAD?+BD°-2AD-BD-cosNBDA=2>/5，

AR

設V3/M的外接圓的半徑為則21,工7=4,所以4=2,

sinNBDA

在,一BDC中,ZBDC=150°,BD=2,CD=百，所以3C=>]CD2+BD2-2CD-BDcosZBDC=屈>

設，BDC的外接圓的半徑為4,則21.3二二2萬,所以4=屈，

sinZ.BDC

乂作qGLBROiGLBO,所以NO。。?為二面角A—8O—C的平面角，即/0。。2=120,

BD=73,OG=D=26，所以

所以OtG=\2B\

22

O}O2=^(>/3)+(2X/3)-2XX/3X2^COS120=后,

設四面體MCD的外接球的球心為球半徑為R,則如嬴篝可=24,

所以R=yl0G2+GD2=V29，所以四面體ABCD的外接球表面積為4萬/??=4乃x29=116萬,

故答案為：116乃.

2.在三棱錐A-8CD中，N84C=NB3C=60。，二面角A-BC-O的余弦值為-g,當三棱錐A-8CD的體

積的最大值為遠時，其外接球的表面積為

4

A.51B.6"C.7）D.8"

【答案】B

【詳解】如圖，設球心0在平面ABC內的射影為。1,在平面BCD內的射影為02,

則二面角A-BC-。的平面角為ZAMD,

點A在截面圓。I上運動，點。在截面圓。2上運動，

由圖知，當AB=AC,5D=C￡>時，三棱錐A-BCD的體積最大，此時AABC與ABDC是等邊三角形，

設8c=。，則$皿=與<1：h=AMsm（K-ZAMD）=—a,

1<,>/23V6

VA-BCD=5ADBC'2=~^0=彳，

31

解得a=退，所以OM=—,￡>0,=1,0,M=-,設ZAM￡>=26,則cos26=2COS?9-1=-一，

2'23

解得tand=血，二。。2=02初1211。=弓，球。的半徑R=《DO；+。0；=等,

所求夕卜接球的表面積為S=4萬代=6不，故選B.

3..在三棱錐P—A3C中，PA=PB=AC