江蘇省揚州市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故傾斜角滿足為，，故.故選：C2.在等比數(shù)列中，，，則（）A.14 B.16 C.28 D.32〖答案〗D〖解析〗由等比數(shù)列性質(zhì)可得，即，解得.故選：D3.某質(zhì)點沿直線運動，位移S（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則當時該質(zhì)點的瞬時速度為（）A.10m/s B.11m/s C.13m/s D.28m/s〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，即當時該質(zhì)點的瞬時速度為10m/s.故選：A4.已知雙曲線一條漸近線方程為，則實數(shù)m的值為（）A B. C.3 D.9〖答案〗B〖解析〗由題意雙曲線的一條漸近線方程為，所以，解得.故選：B.5.已知k為實數(shù)，則直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.相切D.無法確定〖答案〗A〖解析〗易知恒過定點，且易知點點內(nèi)，所以直線與圓相交；故選：A6.已知M是橢圓上一動點，則該點到橢圓短軸端點的距離的最大值為（）A.2 B. C.D.〖答案〗C〖解析〗設為橢圓上一動點，由橢圓，不妨取橢圓短軸一端點B，則，由可得，則，由知，當時，.故選：C7.已知定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（）A. B. C.D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，即，解得.所以，不等式的解集為.故選：A.8.在中，已知D為邊BC上一點，，．若的最大值為2，則常數(shù)的值為（）A. B. C.D.〖答案〗D〖解析〗令且，即，則外接圓半徑為，若，的外接圓方程為，所以，令圓心為，即點在圓被分割的優(yōu)弧上運動，如下圖，要使的最大，只需與圓相切，由上易知，則，而，由圓的性質(zhì)有，中，，顯然，由，則，所以，可得（負值舍），故，而，所以，整理得，則.故選：D二、多項選擇題（本大題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．）9.已知為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（）A.若斜率相等，則平行B.若平行，則的斜率相等C.若的斜率乘積等于，則垂直D.若垂直，則的斜率乘積等于．〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可知若斜率相等，則平行；若平行，當都與軸平行時，的斜率不存在，即可得A正確，B錯誤；易知若的斜率乘積等于，則垂直；若垂直,當與軸平行，與軸平行時，直線的斜率為，的斜率不存在，即可得C正確，D錯誤；故選：AC10.橢圓與雙曲線（）A.有相同的焦點 B.有相等的焦距C.有相同的對稱中心． D.可能存在相同的頂點〖答案〗BCD〖解析〗由橢圓方程可知其焦點坐標為，焦距為，關(guān)于原點成中心對稱，左、右頂點坐標為；由雙曲線方程可知其焦點坐標為，因此兩曲線焦點不同，即A錯誤；焦距為，可得B正確；雙曲線也關(guān)于原點成中心對稱，即C正確；當時，雙曲線的左、右頂點坐標為，即D正確；故選：BCD11.已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的極大值為B.函數(shù)在點處切線方程為C.D.若曲線與曲線無交點，則的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗易知函數(shù)的定義域為，則，令可得，當時，，可得在上單調(diào)遞增，當時，，可得在上單調(diào)遞減，對于A，由單調(diào)性可得在處取得極大值，即A正確；對于B，易知切線斜率為，所以切線方程為，即B正確；對于C，利用的單調(diào)性可得，即，也即，可得，所以，即C錯誤；對于D，若曲線與曲線無交點，即方程沒有實數(shù)根，也即無解；令，則，若，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減；不妨取，則，易知，，此時在上有解，不合題意；若，令，解得；所以當時，，此時在時單調(diào)遞減；當時，，此時在時單調(diào)遞增；此時在處取得極小值，也是最小值；即，依題意可得，所以即可；解得，即的取值范圍是，所以D正確.故選：ABD12.已知無窮數(shù)列，．性質(zhì)，，；性質(zhì)，，，下列說法中正確的有（）A.若，則具有性質(zhì)sB.若，則具有性質(zhì)tC.若具有性質(zhì)s，則D.若等比數(shù)列既滿足性質(zhì)s又滿足性質(zhì)t，則其公比的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為，對，，即，所以不具有性質(zhì)，故A錯誤；對于B，，對，，，，故B正確；對于C，若具有性質(zhì)，令，則，即，，，又，所以，，故C正確；對于D，是等比數(shù)列，設其公比為，又，，若滿足性質(zhì)，由選項C得，即，，，由，，得，當時，得，即，對，又，，當時，不妨設，則，，解得，，綜上，若滿足性質(zhì)，則.若滿足性質(zhì)，對，，，可得，即，令，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由滿足性質(zhì)，，成立，所以等比數(shù)列既滿足性質(zhì)s又滿足性質(zhì)t，則其公比的取值范圍為.故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題）13.寫出過點的被圓所截的弦長為的直線方程______．（寫出一條直線即可）〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗當滿足題意的直線斜率不存在即直線方程為時，圓心到該直線的距離為，而圓的半徑為，此時該直線被圓所截的弦長為，故直線方程滿足題意；當滿足題意的直線斜率存在時，不妨設直線方程為，圓心到該直線的距離為，而圓的半徑為，若該直線被圓所截的弦長為，則有，解得，即此時滿足題意的直線方程為.故〖答案〗為：（或，〖答案〗不唯一）.14.曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標定義：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線在點處的曲率．已知，則曲線在點處的曲率為______．〖答案〗2〖解析〗，，故，，則.故〖答案〗為：.15.南宋數(shù)學家楊輝在《詳析九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差會成等差數(shù)列．在楊輝之后，對這類高階等差數(shù)列的研究一般稱為“垛積術(shù)”"，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前5項分別為1，4，10，20，35，則該數(shù)列的第6項為______．〖答案〗56〖解析〗由題意可知，所給數(shù)列為高階等差數(shù)列，設數(shù)列的第6項為，根據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個新數(shù)列，再利用新數(shù)列的后一項減去前一項也得到一個新數(shù)列，即可得到一個首相為3公差為1的等差數(shù)列，計算規(guī)律如下所示：則需滿足，解得.該數(shù)列的第6項為56.故〖答案〗為：5616.已知橢圓的左、右焦點分別為，過作斜率為的直線交橢圓C于A，B兩點，以AB為直徑的圓過，則橢圓C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗由題意直線的斜率，且過點，不妨設，所以它的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，化簡并整理得，所以，因為以AB為直徑的圓過，所以，所以，即，解得.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由可得，．則有，．所以．所以．所以，．（2），令；所以數(shù)列的前n項和為,即可得數(shù)列的前n項和.18.已知函數(shù)在處取得極小值5．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）當時，求函數(shù)的最小值．解：（1），因為在處取極小值5，所以，得，此時所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時，．19.已知數(shù)列的首項，前n項和為，且．設．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，證明：．解：（1）在數(shù)列中，①，②，由①-②得：，即，，所以，即，在①中令，得，即，而，故．則，即，又，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2），，又因為，所以，所以.20.已知點，是圓上的一動點，點是線段的中點．（1）求點的軌跡方程；（2）已知、是直線上兩個動點，且．若恒為銳角，求線段中點的橫坐標取值范圍．解：（1）設，因為點是線段的中點，則，可得，因為點在圓上，則，即，整理可得，所以點的軌跡方程為.（2）設，則，當在圓上運動時，恒為銳角，等價于以中點為圓心，為半徑的圓與圓外離．且圓的圓心坐標為，半徑為，所以，解得或，所以線段中點的橫坐標取值范圍為．21.已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過點．（1）求拋物線C的標準方程；（2）若拋物線C開口向右，準線l上兩點P，Q關(guān)于x軸對稱，直線PA交拋物線C于另一點M，直線QA交拋物線C于另一點N，證明：直線MN過定點．解：（1）設拋物線C標準方程為或，將A坐標代入，得，所以；將A坐標代入，得，所以，所以拋物線C的標準方程為或．（2）方法1：由拋物線C開口向右得標準方程為，準線，設，，則，即，由，得，所以，所以，，所以，用代m，得，則，所以，化簡得所以，直線MN過定點．方法2：由拋物線C開口向右得標準方程為，準線，直線MN不垂直于y軸，設，，，由得，所以，，所以，所以，令，則，同理．因為P，Q關(guān)于x軸對稱，所以，則．所以，直線MN過定點．22.已知函數(shù)．（是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若，，求不等式的解集；（2）若，證明：對任意，成立；（3）若，試討論函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．解：（1）當，時，，該函數(shù)的定義域為，對任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，由可得，故不等式的解集為．（2）當時，令，則，令，則對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，對任意，成立．（3）當時，，其中，，①當時，對恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以僅有個零點；②當時，令，，所以在上單調(diào)遞增，令，則，，對任意的恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以存在唯一，使得，即