湖南省岳陽市華容縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市華容縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1、本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁.時量120分鐘，滿分150分.答題前，考生要將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2、回答選擇題時，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.寫在本試卷和草稿紙上無效.3、回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨水簽字筆將〖答案〗按題號寫在答題卡上.寫在本試卷和草稿紙上無效.4、考試結(jié)束時，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.）1.數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，，公比，則.故選：C.2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于拋物線，，則，，故該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.3.《孫子算經(jīng)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆．問：五人各得幾何？”其大意為：有個人分個橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為的等差數(shù)列，問人各得多少個橘子？這個問題中，得到橘子最少的人所得的橘子個數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)橘子最少的人所得橘子個數(shù)為，則，解得：，即得到橘子最少的人所得的橘子個數(shù)是個.故選：B.4.雙曲線漸近線方程是，則其離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)殡p曲線漸近線為所以5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在處取得極大值C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.函數(shù)共有個極值點(diǎn)〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，可得，，，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，結(jié)合選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C正確．故選：C.6.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橹本€與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B7.已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：B.8.已知在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則直線與體對角線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，則，，則，所以直線與體對角線所成角的余弦值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列四個命題中錯誤的有（）A.直線的傾斜角越大，其斜率越大B.直線傾斜角的取值范圍是C.兩條不同的直線平行的充要條件是它們的斜率相等D.過點(diǎn)的直線平行于直線〖答案〗AC〖解析〗對于A，傾斜角為銳角對應(yīng)的斜率為正數(shù)，傾斜角為鈍角對應(yīng)的斜率為負(fù)，所以銳角對應(yīng)的斜率大于鈍角對應(yīng)的斜率，故A錯誤；對于B，直線的傾斜角的范圍為，故B正確；對于C，兩條不同的直線平行的充要條件是它們的斜率相等或斜率都不存在，故C錯誤；對于D，過點(diǎn)的直線方程為平行于直線，故D正確.故選:AC10.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a15>0，a16<0，則（）A.a1>0 B.d<0C.前15項(xiàng)和S15最大 D.從第32項(xiàng)開始，Sn<0〖答案〗ABC〖解析〗依題意等差數(shù)列{an}滿足a15>0，a16<0，所以前15項(xiàng)為正數(shù)，第16項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，公差d為負(fù)數(shù)，前15項(xiàng)和S15最大，所以ABC選項(xiàng)正確．，所以D選項(xiàng)錯誤．故選∶ABC11.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為鈍角 D.在方向上的投影向量為〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)椋?，不垂直，A錯，因?yàn)?，所以，B對，因?yàn)?，所以，所以不是鈍角，C錯，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄?，D對，故選：BD.12.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交橢圓于和兩點(diǎn)，若的最大值為5，則下列說法中正確的是（）A.橢圓的短軸長為B.當(dāng)最大時，C.橢圓的離心率為D.的最小值為3〖答案〗BCD〖解析〗由題意可得：，根據(jù)橢圓定義可得，的最大值為5，的最大值為5，根據(jù)橢圓性質(zhì)，當(dāng)軸時，最小，此時最大，此時直線的方程為，將代入橢圓方程得：，即，則，則，，則對于選項(xiàng)A：短軸長為，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：當(dāng)最大時，，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：最大值為5，則的最小值為3，故選項(xiàng)D正確；綜上所述，選項(xiàng)BCD正確，故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.如果雙曲線右支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離等于，則點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為______.〖答案〗2〖解析〗由雙曲線定義可得，又為右支上一點(diǎn)，故，即.故〖答案〗為：2.14.在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗如下圖所示：由題意可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，所以，，，則.故〖答案〗為：.15.已知數(shù)列、為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為、，且，則______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.16.已知拋物線，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且，則______．〖答案〗9〖解析〗由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，過焦點(diǎn)F的直線方程為，由拋物線的定義有，由，得，即.所以有①，又由得：，所以,，②由①②聯(lián)立解得：.又故〖答案〗為：9四、解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知點(diǎn)和點(diǎn)是曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，求：（1）割線的斜率；（2）在點(diǎn)處的切線方程.解：（1）當(dāng)時，，即點(diǎn)，令，可得，解得，即點(diǎn)，因此，割線的斜率為.（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，所以，曲線在點(diǎn)處切線方程為，即.18.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，，記為其前項(xiàng)和，___________.給出下列三個條件：條件①；條件②成等比數(shù)列；條件③.試在這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成下列兩問的解答：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分.解：（1）設(shè)等差數(shù)列得公差為d，選擇①：因?yàn)?，所?選擇②：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，化簡得，因?yàn)椋?選擇③：因?yàn)?，所以，所以，?）因?yàn)?，所?19.已知圓，直線.（1）求證：直線恒過定點(diǎn).（2）直線被圓截得的弦長最短時的值以及最短弦長.解：（1）直線的方程可化為，聯(lián)立，解得.故直線恒過定點(diǎn).（2）由題意可知：圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓相交，當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短，因?yàn)橹本€的斜率為，故直線的斜率為，解得，此時圓心到直線的距離為，所以最短弦長為.20.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．（1）求證：AB⊥A1C；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面,底面,則又AC＝4，AB＝3，BC＝5，則,所以又,所以面面,所以（2）點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．取的中，則,且由（1）可知面，則面過作,垂足，連結(jié),所以為D﹣CA1﹣A的平面角由AA1＝AC＝4，則,則為等腰三角形，且,所以,直角三角形中,在直角三角形中,21.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由已知可得，解得，所以由，令得，當(dāng)時，，兩式相減得，顯然也符合上式，所以.（2）由（1）知.，，兩式作差得：，所以，.