湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.集合有7個元素C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知共7個元素，故，，，所以A，B，D三項正確，C項錯誤.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗等價于或，等價于，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，函數(shù)是增函數(shù)并且是連續(xù)函數(shù)，因為，，，，所以，所以函數(shù)的零點在區(qū)間．故選：B．4.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得解得即，故定義域為.故選：B.5.已知在R上是減函數(shù)．那么a的取值范圍（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為在R上是減函數(shù)，所以，解得，即.故選：D.6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，且，則，因為對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，所以，，因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，，，故.故選：B.7.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，，由，可得，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上遞減，在上遞增，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因為，則，且、，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，由是定義在上的偶函數(shù)，則，所以是定義在上的奇函數(shù)，由題意得，若，且，都有，所以是上的減函數(shù)，又是上的奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱，則是上的減函數(shù)，由不等式可知，①當(dāng)時，不等式可化為，即，由，則，解得（舍），或；②當(dāng)時，不等式可化為，即，由，則，解得，或（舍）；綜上所述，不等式的解集為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列四個命題中假命題是（）A.，B.，使C.，D.已知命題，，則是：，〖答案〗ACD〖解析〗A：顯然時不成立，假命題；B：時成立，真命題；C：都不是有理數(shù)，假命題；D：由特稱命題的否定為全稱命題，則是，，假命題.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的定義域為C.若，則 D.在其定義域上是增函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗A：由正切型函數(shù)性質(zhì)知的最小正周期為，對；B：由正切函數(shù)知，可得，錯；C：，則，可得，對；D：由正切函數(shù)單調(diào)性知：在上遞增，但在定義域上不單調(diào)，錯.故選：AC.11.若，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對；B：由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，對；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對；D：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，錯.故選：ABC.12.定義在R上的奇函數(shù)，滿足且在上單調(diào)遞減，，則（）A.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的周期為4C.D.設(shè)，和的圖象所有交點橫坐標(biāo)之和為〖答案〗AC〖解析〗對于A：因為，所以，所以圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B：因為，所以，又因為是R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以的周期為，又因為，所以，所以的周期不可能為，故B錯誤；對于C：因為的周期為，所以，因為是R上的奇函數(shù)，所以，所以，故C正確；對于D：因為，所以，所以，所以的圖象關(guān)于對稱，又因為，所以，所以的圖象也關(guān)于對稱，作出在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示：由圖象可知：有兩個交點，且交點關(guān)于對稱，所以的圖象所有交點橫坐標(biāo)之和為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題．13.已知扇形的周長為20，圓心角的弧度數(shù)是3，則該扇形的面積為_________．〖答案〗24〖解析〗設(shè)扇形的半徑為，所以扇形的弧長，因為扇形的周長為，所以，所以，所以扇形的面積為.故〖答案〗為：.14.若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則__________．〖答案〗〖解析〗冪函數(shù)在上是增函數(shù)，，解得.故〖答案〗：.15.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么tmin后物體的溫度（單位：℃）可由公式（k為正常數(shù)）求得．若，將55℃的物體放在15℃的空氣中冷卻，則物體冷卻到35℃所需要的時間為______min．〖答案〗3〖解析〗將，，，，代入，得，所以，所以，所以，即min.故〖答案〗為：.16.已知，若方程有四個不同的解，的取值范圍是______________．〖答案〗〖解析〗由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為方程有四個根，，則，由圖象可知，，，又，可得，則，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，，，即，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式．18.已知角以x軸的非負(fù)半軸為始邊，為終邊上一點．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為為角終邊上一點，所以，所以.（2）.19.已知奇函數(shù)，且．（1）求的〖解析〗式；（2）用單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞減．解：（1）函數(shù)的定義域是，由為奇函數(shù)，得，恒成立，即，即，而，因此，則，而，即，解得，所以的〖解析〗式.（2）任意，且，則，由，得，，，因此，即，所以在上單調(diào)遞減.20.地鐵作為城市交通的重要組成部分，以其準(zhǔn)時、高效的優(yōu)點廣受青睞．武漢新修建了一條地鐵線路，經(jīng)調(diào)研測算，每輛列車的載客量h（單位：人）與發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘，且）有關(guān)：當(dāng)發(fā)車時間間隔達(dá)到或超過15分鐘時，列車均為滿載狀態(tài)，載客量為1600人：當(dāng)發(fā)車時間間隔不超過15分鐘時，地鐵載客量h與成正比．假設(shè)每輛列車的日均車票收入（單位：萬元）．（1）求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)發(fā)車時間間隔為何值時，每輛列車的日均車票收入最大？并求出該最大值．解：（1）當(dāng)時，，；當(dāng)時，，且當(dāng)時，，解得，，；故.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時有最大值為；當(dāng)時，，當(dāng)時有最大值為，綜上所述：當(dāng)發(fā)車間隔為分鐘時，每輛列車的日均車票收入最大，且最大值為萬元.21.已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底）．（1）若，判斷的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)m取值范圍．解：（1）若，則，，，，且，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（2）為奇函數(shù)，，，，，，因為，因為，所以，所以恒成立，又，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取最大值，所以．22.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）解關(guān)于的不等式；（3）設(shè)，若函數(shù)與圖象有個公共點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）對任意的，，所以函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)的偶函數(shù)，則，即，所以，所以，.（2）因為，令，