河南省豫西南聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省豫西南聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為全集，集合，所以，又因為集合，所以，故選：D.2.已知，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗因為，所以，即．故選：A．3.設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗與的交點的橫坐標為，與的圖象的交點的橫坐標為，與的圖象的交點的橫坐標為，從圖象可以看出．4.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，，則所求切線方程為，即，故選：A.5.已知數(shù)列的前項和為，前項積為，滿足，則（）A.45 B.50 C.55 D.60〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意：，兩式作差可得，當時，，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D．6.下列說法正確的是（）A.“直線與直線互相平行”是“”的充分不必要條件B.直線的傾斜角的取值范圍是C.過點的直線分別與軸，軸的正半軸交于兩點，若取最小值時，直線的方程為D.已知，若直線與線段有公共點，則〖答案〗C〖解析〗對于A中，若兩直線平行，可得，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，所以“直線與直線互相平行”是“”的必要不充分條件，所以A錯誤；對于B中，由直線，可得，所以斜率，設(shè)傾斜角為，可得，因為，所以，所以B不正確；對于C中，根據(jù)題意設(shè)直線，可得，所以，當且僅當時成立，此時直線的方程為，所以C正確；對于D中，由直線可化為，所以直線恒過定點，因為，結(jié)合圖象可知,直線斜率，故D不正確.故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足.若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在區(qū)間上單調(diào)，，的對稱中心為，且，，即，即，.又的對稱中心為，，在區(qū)間上恰有5個零點，相鄰兩個零點之間的距離為，五個零點之間即，六個零點之間即，只需即可，即，又，.故選：B.8.已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，點在圓上，則點到直線距離的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)點，則，過點作圓的切線，切點分別為A，B，則有，，則點A，B在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得圓D和圓O公共弦為：，又由，則有，變形可得，則有，可解得，故直線恒過定點，點在圓上，，當時，C到直線AB的距離最大，M到直線AB的距離也最大，則點到直線距離的最大值為.故選:B.二、多選題9.下列說法正確的是（）A.若不等式的解集為，則B.若命題，，則的否定為C.在中，“”是“”的充要條件D.若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗選項A，由題意知，和2是方程的兩根，所以，解得，，所以，即選項A正確；選項B，根據(jù)全稱量詞命題的否定形式，可知的否定為，，即選項B正確；選項C，由，知，所以或，即或，所以選項C錯誤；選項D，不等式可整理為，即對恒成立，所以，即，解得，即選項D正確．故選：ABD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當時，的值域為C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；由，知，因為，所以，所以，，即，，又，所以，所以，對于B，當時，，所以，所以的值域為，故B錯誤；對于C，將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；對于D，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，因為當時，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確．故選：ACD．11.(多選)在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（）A.平面ABB1A1的一個法向量為(0，1，0)B.平面B1CD的一個法向量為(1，1，1)C.平面B1CD1的一個法向量為(1，1，1)D.平面ABC1D1的一個法向量為(0，1，1)〖答案〗AC〖解析〗∵＝(0，1，0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正確；∵＝(－1，0，0)，而(1，1，1)·＝－1≠0，∴(1，1，1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正確；C中,AC1⊥，AC1⊥，，AC1⊥面B1CD1且＝(1，1，1)，∴C正確，D中，因＝(1，0，0)，∴·(0，1，1)＝0，又＝(0，1，1)，且(0，1，1)·(0，1，1)≠0，∴D不正確．故選：AC12.已知函數(shù)定義域為，部分對應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的極大值點有個B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.若時，的最大值是，則的最大值為4D.當時，函數(shù)有個零點〖答案〗ABD〖解析〗由導(dǎo)數(shù)的正負性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為、，B選項正確；函數(shù)有個極大值點，A選項正確；當時，函數(shù)最大值是，而最大值不是，C選項錯誤；作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由下圖可知，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個交點，D選項正確.故選：ABD.三、填空題13.設(shè)，函數(shù)，若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是_________〖答案〗〖解析〗由題意得，在上僅有兩個不同的解，即在上僅有兩個不同的解，即在上僅有兩個不同的解，設(shè)，則在上的圖象與直線僅有兩個交點，作出及直線的圖象如下圖所示，由圖象可知，．故〖答案〗為：．14.已知向量與夾角為，且，，則________．〖答案〗1〖解析〗依題意，，則有，由兩邊平方得：，即，解得：，所以.故〖答案〗為：115.已知橢圓：的左焦點為，直線與橢圓交于A，B兩點，則的面積為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，.則，點到直線的距離，所以.故〖答案〗為：16.若關(guān)于x的不等式恒成立，則的最大值是________________.〖答案〗〖解析〗由，，原不等式可化為.設(shè)，則，當時，，遞增；，，遞減.所以，在處取得極大值，且為最大值；時，.的圖象恒在的圖象的上方，顯然不符題意；當時，為直線的橫截距，其最大值為的橫截距，再令，可得，所以取得最大值為.此時，，直線與在點處相切.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前n項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得:解得:，所以的通項公式為，即.（2）令，則，即整理得：.18.綿陽市37家A級旅游景區(qū)，在2023年國慶中秋雙節(jié)期間，接待人數(shù)和門票收入大幅增長．綿陽某旅行社隨機調(diào)查了市區(qū)100位市民平時外出旅游情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：喜歡旅游不喜歡旅游總計男性203050女性302050總計5050100（1）能否有的把握認為喜歡旅游與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，從全市男性市民中隨機抽取2人進行訪談，記這2人中喜歡旅游的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：0.05000100.001k3.8416.63510.828解：（1）因為，所以有的把握認為喜歡旅游與性別有關(guān).（2）由表中數(shù)據(jù)可知：從全市男性市名中隨機抽取一人，該人喜歡旅游的概率為，由題意可知：，的可能取值為0,1,2.所以，，，所以的分布列為：所以（或者）.19.如圖，在四棱錐中，，，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若為上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：，，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：取的中點．連接、，由（1）知平面，平面，，如圖，過點作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，為的中點，，又，，平面，為直線與平面所成角，由（1）知，又，，，，，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．20.2023年第31屆大學(xué)生夏季運動會在成都舉行，中國運動員在賽場上挑戰(zhàn)自我，突破極限，以拼搏的姿態(tài)，展競技之美，攀體育高峰．最終，中國代表團以103枚金牌?40枚銀牌?35枚銅牌，總計178放獎牌的成績，位列金牌榜和獎牌榜雙第一，引發(fā)了大學(xué)生積極進行體育鍛煉的熱情．已知甲?乙兩名大學(xué)生每天上午?下午都進行體育鍛煉，近50天選擇體育鍛煉項目情況統(tǒng)計如下：體育鍛煉目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天

10天乙10天10天5天25天假設(shè)甲?乙上午?下午選擇鍛煉的項目相互獨立，用頻率估計概率．（1）已知甲上午選擇足球的條件下，下午仍選擇足球的概率為，請將表格內(nèi)容補充完整；（寫出計算過程）（2）記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項目的個數(shù)差，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知在這50天中上午室外溫度在20度以下的概率為，并且當上午的室外溫度低于20度時，甲去打羽毛球的概率為，若已知某天上午甲去打羽毛球，求這一天上午室外溫度在20度以下的概率．解：（1）設(shè)事件C為“甲上午選擇足球”，事件為“甲下午選擇足球”，設(shè)甲一天中假煉情況為（足球，羽毛球）的天數(shù)為，則，解得，所以甲一天中鍛煉情況為（羽毛球，足球）的天數(shù)為．體育鍛煉項目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天15天5天10天10天10天5天25天（2）由題意知，甲上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為；乙上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為．記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項目的個數(shù)差，則的所有可能取值為，．，，所以的分布列為所以．（3）記事件為“上午室外溫度在20度以下”，事件為“甲上午打羽毛球”，由題意知，.故若某天上午甲去打羽毛球，則這一天上午室外溫度在20度以下的概率為．21.邊長為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，且二面角與二面角的大小都是，當點在棱（包含端點）上運動時，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.（1）證明：在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以為直徑的半圓上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，（2）解：∵，∴又∵為二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中點，以為軸正半軸，以平行于的方向為軸正半軸，以平面內(nèi)垂直于的方向為軸正半軸，建立如圖空間直角坐標系：則，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為則，令，則，設(shè)直線和平面所成角為，則，設(shè)，則，令，當時，，當時，，令，任意，，因為，所以，，，所以，所以在上為減函數(shù)，故，所以，所以，所