2024屆高三下學期開學摸底考試數(shù)學試題（北京專用）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12024屆高三下學期開學摸底考（北京專用）數(shù)學一、單項選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗全集，集合，.故選：C.2.設(shè)，若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于虛軸上，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可得，所以在復平面內(nèi)對應的點為，即在虛軸上，因此可得，即；故選：B.3.的展開式中，的系數(shù)為（）A.1 B.5 C.10 D.20〖答案〗C〖解析〗二項展開式的通項為，令，即，有，故的系數(shù)為10.故選：C.4.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，因為，所以指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯誤；對于B，因，所以冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，正確；對于C，因為，所以對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯誤；對于D，當時，滿足，有，此時不滿足，錯誤.故選：B5.在中，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易知，由可得；利用正弦定理可得.故選：D6.已知點，點滿足.若點，其中，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2〖答案〗C〖解析〗由于，所以是單位圓上的點，由于，其中，所以是直線上的點，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，的最小值為.故選：C7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是銳角，且.故選：B8.在某次數(shù)學探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗對于①中，因為二面角為直二面角，可得平面平面，又因為平面平面，，且平面，所以平面，所以①正確；對于②中，由平面，且平面，可得，又因為，且，平面，所以平面，所以②正確；對于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對于④，中，因為平面，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因為平面，所以，因為與不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯誤.故選：C.9.設(shè)是首項為正數(shù)，公比為q的無窮等比數(shù)列，其前n項和為.若存在無窮多個正整數(shù)，使，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，若，則，，此時不存在符合題意的，所以.若，則，當為正偶數(shù)時，，所以存在無窮多個正整數(shù)，使.當時，，其中，，所以，此時不存在符合題意的.當時，，其中，當是正奇數(shù)時，，所以，此時不存在符合題意的；當是正偶數(shù)時，，，所以存在無窮多個正整數(shù)，使.綜上所述，的取值范圍是.故選：B10.已知函數(shù)，當時，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為（）A.3.5 B.4C.4.5 D.5〖答案〗C〖解析〗易判斷函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，上的最大值.當時，，二次函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；當時，，因為，所以在上遞增，在上也是遞增，所以；當時，，因為，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以或，若，則；若，則;當時，，（因為），所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以.綜上可知：的最小值為.故選：C.第Ⅱ卷二、填空題11.函數(shù)的定義域為__________.〖答案〗〖解析〗，解得且，函數(shù)的定義域為.故〖答案〗為：.12.已知拋物線的焦點為，點在上，，為坐標原點，則〖答案〗〖解析〗設(shè)，，又因為，所以，故.故選：.13.已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是__________；直線與雙曲線相交于，兩點，則__________.〖答案〗〖解析〗由雙曲線：知雙曲線的焦點在軸，且，，即，，所以雙曲線的漸近線方程為；當時，，設(shè)，則，所以.故〖答案〗為：；.14.如圖，在平面直角坐標系中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓交于點，過點作軸的垂線，垂足為．若記點到直線的距離為，則的極大值點為_______，最大值為_______．〖答案〗或〖解析〗由題意，，由，得，∴當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，則的極大值點為或，∵，，∴當，即或時，取最大值為．故〖答案〗為：或；.15.設(shè)，函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，存在最大值；③當時，直線與曲線恰有3個交點；④存在正數(shù)及點和，使.其中所有正確結(jié)論的序號是______.〖答案〗①②④〖解析〗對于①，當時，在上單調(diào)遞減，此時.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減顯然成立；當時，當時，在單調(diào)遞減，此時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故①成立；對于②，如圖，當時，當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時的最大值為；當時，在上單調(diào)遞減，此時的最大值為，所以存在最大值，最大值為，故②正確；對于③，當時，在R上單調(diào)遞減，當時，，當時，在單調(diào)遞增，此時的最大值為，所以直線與曲線沒有交點；當時，，設(shè)，由，解得，當時，，如圖，此時直線與曲線恰有2個交點，故③錯誤；對于④，當時，當時，，當時，；當時，，，如圖，取，時，，所以存在正數(shù)及點和使成立，故④正確.故〖答案〗為：①②④.三、解答題16.已知函數(shù)的圖象過原點.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求正數(shù)的最大值.解：（1）由得.所以.所以的最小正周期為.（2）由（），得（）.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，此時，所以，故的最大值為.17.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點為中點．（1）求證：//平面；（2）點為棱上一點，直線與平面所成角的正弦值為，求的值．（1）證明：因為正方形中，．因為平面，平面，所以平面．（2）解：因為底面，正方形中，分別以的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖不妨設(shè)，因為，點為的中點，點為棱上一點，則，，，，，．所以，，．設(shè)為平面的法向量，則，．所以，令，得，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，因為，所以，所以．18.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系.解：（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.設(shè)表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，則.（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012所以.（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進行6場比賽，而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，所以，，故.19.已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）過點的直線交于點（點與點不重合）.設(shè)的中點為，連接并延長交于點.若恰為的中點，求直線的方程.解：（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.(2）若直線與軸重合，則與原點重合，符合題意，此時直線的方程為.若直線與軸不重合，設(shè)其方程為，由消去并化簡得，，設(shè)，則，則.因為是的中點，所以.因為，所以，整理得，解得，此時直線經(jīng)過點，不符合題意，舍去.綜上所述，直線的方程為.20.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線為軸，求的值；（2）討論在區(qū)間內(nèi)極值點的個數(shù)；（3）若在區(qū)間內(nèi)有零點，求證：.（1）解：由得：，依題意，，得.經(jīng)驗證，在點處的切線為，所以.（2）解：由題得.（i）若，當時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以無極值點.（ii）若，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以為的極小值點，且無極大值點.綜上，當時，在區(qū)間內(nèi)的極值點個數(shù)為0；當時，在區(qū)間內(nèi)的極值點個數(shù)為1.（3）證明：由（2）知當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間內(nèi)無零點.當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以.若在區(qū)間內(nèi)有零點，則.而，設(shè)，則.設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.又，所以.21.給定正整數(shù)，已知項數(shù)為且無重復項的數(shù)對序列：滿足如下三個性質(zhì)：①，且；②；③與不同時在數(shù)對序列中.（1）當，時，寫出所有滿足的數(shù)對序列；（2）當時，證明：；（3）當為奇數(shù)時，記的最大值為，求.（1）解：依題意，當，時有：或.（2）證明：當時，因為與不同時在數(shù)對序列中，所以，所以每個數(shù)至多出現(xiàn)次，又因為，所以只有對應的數(shù)可以出現(xiàn)次，所以.（3）解：當為奇數(shù)時，先證明.因為與不同時在數(shù)對序列中