福建省三明市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得：或，即，因，故.故選：C.2.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意.故選：A.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)，的定義域?yàn)榍覇握{(diào)遞增，又，，∴零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.4.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓交于點(diǎn)，且為第二象限角，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，所以.故選：D.5.函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值是（）A.3 B. C.3或 D.5或〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，解得：；即實(shí)數(shù)的取值是5或.故選：D.6.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然關(guān)于原點(diǎn)對稱，由可知函數(shù)是偶函數(shù)，故排除A，B兩項(xiàng)；因當(dāng)時，，如圖，則，即，故排除D項(xiàng)，則C項(xiàng)正確.故選：C.7.2023年8月24日，日本政府無視國內(nèi)外反對呼聲，違背應(yīng)履行的國際義務(wù)，單方面強(qiáng)行啟動福島核污染水排海．福島核污染水中的放射性元素“鍶90”的半衰期為30年，即“鍶90”含量每經(jīng)過30年衰減為原來的一半．若“鍶90”的剩余量不高于原有的8%，則至少經(jīng)過（參考數(shù)據(jù)：）（）A.110年 B.115年C.112年 D.120年〖答案〗A〖解析〗設(shè)至少經(jīng)過年（是正整數(shù)），“鍶90”的剩余量不高于原有的8%，原有“鍶90”含量為1，則，解得，即，若“鍶90”的剩余量不高于原有的8%，則至少經(jīng)過110年.故選：A.8.“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱”的充要條件是“對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有”．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則函數(shù)與在內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為（）A.196 B.198 C.199 D.200〖答案〗B〖解析〗由題意，在中，不妨令，得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以，所以，如圖所示：由于與都是奇函數(shù)，先考慮時的交點(diǎn)個數(shù)，由圖可知時，與的交點(diǎn)分布在這49個區(qū)間內(nèi)，且每個區(qū)間內(nèi)都有2個交點(diǎn)，同理時，與的交點(diǎn)分布在這50個區(qū)間內(nèi)，且每個區(qū)間內(nèi)都有2個交點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)與在內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為：.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.若則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故A錯誤；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，故B錯誤；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，兩邊同乘，得到，故C對；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，故，D對.故選：CD.10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C.當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)镈.與表示同一個函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗對于A項(xiàng)，帶量詞的命題的否定，包括否定量詞和否定結(jié)論，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，不等式對一切實(shí)數(shù)都成立包括兩種情況：①時，不等式為顯然恒成立；②時，恒成立等價于解之得：，綜上可得：數(shù)的取值范圍為，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即函數(shù)的值域?yàn)?，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，兩函數(shù)定義域都是R，但與的對應(yīng)法則不同，故兩個函數(shù)不是同一函數(shù)，故D項(xiàng)錯誤.故選：ABC.11.函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.圖象關(guān)于軸對稱 B.在上單調(diào)遞減C.的值域?yàn)?D.若，則的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以在上不具備單調(diào)性，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，若，則，且，解得，則的取值范圍為，故D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是周期函數(shù)B.函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增C.若，則D.不等式的解集為〖答案〗ABD〖解析〗因可知函數(shù)定義域?yàn)镽，由可知函數(shù)為偶函數(shù)，且，故有一個為，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，當(dāng)時，，，則函數(shù)上單調(diào)遞增，由奇偶性知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因，，，則，但是，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，先求不等式在一個周期內(nèi)的解集，取區(qū)間，由不等式可得，即，即(*)，由B項(xiàng)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，因，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，同理函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，如圖.結(jié)合圖象，由（*）可得：，則在整個定義域上有，解得：，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，所以，則.故〖答案〗為：.14.函數(shù)的定義域?yàn)開____________________．〖答案〗〖解析〗由題意，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故〖答案〗為：.15.中國折扇有著深厚的文化底蘊(yùn)，這類折扇上的扇環(huán)部分的作品構(gòu)思奇巧，顯出清新雅致的特點(diǎn)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為50cm，內(nèi)弧線的長為15cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段的長均為14cm，則該扇環(huán)的面積為______．〖答案〗455〖解析〗如圖，作出包含扇環(huán)的兩個扇形和，依題意，的長為50cm，的長為15cm，cm，不妨設(shè)扇形的半徑為，則扇形的半徑為，設(shè)圓心角，則，解得：，于是扇環(huán)的面積為：.故〖答案〗為：455.16.已知函數(shù)，若方程有2個實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是__________________________．〖答案〗〖解析〗由題分析：令，已知函數(shù)，依題意與圖象有2個不同的交點(diǎn)，當(dāng)時，與圖象有1個交點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象如圖所示，兩個函數(shù)圖象始終有2個交點(diǎn)，所以，符合題意，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象如圖所示，因?yàn)椋?，所以，，解得，所以，，綜上所述，的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知.（1）求的值；（2）已知，求的值．解：（1）由誘導(dǎo)公式得：，所以．（2）由（1）得，由，得，所以．18.集合，或，且．（1）求，的值；（2）若集合，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，或，所以是方程的根，所以，由可得或，所以或，又因?yàn)?，或，所以，．?）因?yàn)榛?，所以，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，當(dāng)時滿足題意，此時，即，當(dāng)時，此時或，則，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：00200（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的〖解析〗式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，關(guān)于的方程恰有兩個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時，，則，所以，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再將圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則，函數(shù)圖象如下，如圖，當(dāng)時，方程恰有兩個實(shí)數(shù)根，等價于函數(shù)，的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，故可得：．20.某地區(qū)不同身高未成年男性體重平均值如下表：身高8090100110120130140150160170體重10121517202731455067根據(jù)表中數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖，為了能近似地反映該地區(qū)未成年男性平均體重與身高的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型提供選擇：①，②，③.（1）你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型是哪個（說明理由）？并利用，，這三組數(shù)據(jù)求出此函數(shù)模型的〖解析〗式；（2）若某男性體重超過同一地區(qū)相同身高男性體重平均值1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)一名身高為164cm，體重為62kg的未成年男性的體重是否正常？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）選擇模型①，因?yàn)轶w重隨著身高的增大而增大，并且增長的速度越來越快，屬于指數(shù)爆炸性增長模型，把，，這三組數(shù)據(jù)分別代入，可得（Ⅰ）消去，可得（Ⅱ）將兩式相除可得：，將其代入（Ⅰ）式，可得：解得：，故．（2）由（1）得，所以，當(dāng)時，由可得：，所以，所以，因，故該未成年男性的體重正常．21.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，又因?yàn)椋?，所以，所?（2）由（1）可知，令，因?yàn)椋瑒t，所以，存在，使得成立，則，所以