2024年高考第二次模擬考試數(shù)學試題（新高考Ⅱ卷01）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12024年高考第二次模擬考試（新高考Ⅱ卷01）數(shù)學第I卷（選擇題）一、單項選擇題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，或，所以，故選：B2．已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限〖答案〗B〖解析〗復數(shù),故，則對應(yīng)的點在第二象限，故選：B3．已知向量，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．〖答案〗D〖解析〗依題意，，解得，則，所以，故，故選：D．4．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且在恒成立，所以，，解得所以，實數(shù)的取值范圍為。故選：D5．已知圓：，過直線：上的一點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，即則（當且僅當時等號成立），故選：A.6．已知是數(shù)列的前項和，則“”是“數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗已知，所以，當時，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；當數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列時，因為不知首項，所以數(shù)列的前n項和不確定，所以是充分不必要條件，故選A7．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗所以，所以故選:B.8．已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因為雙曲線的離心率為，所以，所以，又因為的漸近線方程為，且，所以漸近線方程為，故選A.二、多項選擇題9．某校有名同學參加國家安全知識競賽，甲同學得知其他名同學的成績單位：分分別為，若這名同學的平均成績?yōu)?，則下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學的競賽成績?yōu)锽．這名同學競賽成績的方差為C．這名同學競賽成績的第百分位數(shù)是D．從這名同學中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)題意，依次分析選項：對于A中，設(shè)甲的成績?yōu)?，則有，解可得，所以A正確；對于B中，甲的成績?yōu)椋瑒t這名同學競賽成績的方差，所以B正確；對于C中，五人的成績從小到大排列，依次為：、、、、，因為，則其第百分位數(shù)是，所以C錯誤；對于D中，五人的成績中，高于平均分的有人，則從這名同學中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為，所以D錯誤．故選：AB．10．牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)值）A．若，則B．若，則紅茶下降到所需時間大約為6分鐘C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22D．紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間多〖答案〗AC〖解析〗由題知，A選項：若，即，所以，則，A正確；B選項：若，則，則，兩邊同時取對數(shù)得，所以，所以紅茶下降到所需時間大約為7分鐘，B錯誤；C選項：5分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，故C正確；D選項：為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時間（）比從下降到所需的時間（）少，故D錯誤．故選：AC．11．已知函數(shù)的定義域為R，且對任意，都有，且當時，恒成立，則（

）A．函數(shù)是R上的減函數(shù) B．函數(shù)是奇函數(shù)C．若，則的解集為 D．函數(shù)()+為偶函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)，且，，則，而，又當時，恒成立，即，，函數(shù)是R上的減函數(shù)，A正確；由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函數(shù)的定義域為R，故函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；令可得，解得，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，由，可得，因為函數(shù)是R上的減函數(shù)，所以，C正確；令，易知定義域為R，因為，顯然不恒成立，所以不是偶函數(shù)，D錯誤.故選：ABC.12．已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則以下結(jié)論正確的是（

）A．圓錐底面圓的半徑為2cmB．該圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面在圓錐的側(cè)面上）的側(cè)面積的最大值為C．該圓錐的內(nèi)接圓柱的體積的最大值時，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為D．該圓錐的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)圓錐底面圓的半徑為，母線長為，依題意得，所以，根據(jù)圓錐的表面積為，解得cm,所以A正確;如圖為圓錐和內(nèi)接圓柱體的軸截面，由題可知，，設(shè)由相似關(guān)系得,即，解得，則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于，當時側(cè)面積最大，等于，所以B正確;內(nèi)接圓柱的體積等于，，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,所以當時圓柱體積最大，此時圓柱的高為，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為，所以C正確;設(shè)內(nèi)切圓的圓心為半徑為，因為,即所以因為圓錐的內(nèi)切球的半徑等于，所以內(nèi)切球的體積等于，所以D錯誤.故選:ABC.第II卷（非選擇題）三、填空題13.陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一（如圖），一個倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為10cm，圓柱部分高度為7cm，該陀螺由密度為0.8g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為96g，則此陀螺圓柱底面的面積．

〖答案〗15〖解析〗依題意，該陀螺的總體積為，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，則，解得，所以此陀螺圓柱底面的面積為.14．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有種〖答案〗14〖解析〗按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個，剩下四人中選取三人進入天和核心艙即可，則有種可能；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有6+8=14種可能.15．已知函數(shù),若函數(shù)的一個零點到最值點對應(yīng)的橫坐標距離的最小值為,則的值為.〖答案〗〖解析〗因為相鄰的最值點與零點之間的區(qū)間長度為,也是函數(shù)的一個零點到最值點距離的最小值,從而,所以,.16．已知Q為拋物線C：上的動點，動點M滿足到點的距離與到點F（F是C的焦點）的距離之比為則的最小值是.〖答案〗〖解析〗由題意得，等于點到準線的距離，過點作垂直準線于點，則，設(shè)動點，則，整理得，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以，所以當四點共線時，最小，故.四、解答題17．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.(1)求及；(2)若，求邊上的高.解：(1)因為，由正弦定理得，所以，又，所以，又，則.因為，即，又，所以，因為，所以.(2)由(1)及余弦定理，得.將，代入，得，解得或（舍去），則.因為，所以，設(shè)邊上的高為，則.18．如圖，在直三棱柱中，點分別是中點，平面平面．(1)證明：；(2)若，平面平面，求直線與平面所成角的余弦值．(1)證明：取中點G，連接，，∵分別是，中點∴且又∵且，∴∴四邊形為平行四邊形∴平面平面∴平面，∵平面，平面平面，∴(2)解：由三棱柱為直棱柱得平面，平面，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，平面，∴，∴，即，取棱中點，中點，連接,∵由三棱柱為直棱柱得平面，平面，∴，∵，∵，∵，平面,∴平面，∵點分別是中點,∴，∴平面．由(1)可知，∴為所求線面角記為，．在中．在中，∴，∴直線l與平面所成角的余弦值為19．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明:.(1)解：，若，，即，此時在R上單調(diào)遞減．若，解得，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明：∵，設(shè)，

，設(shè)

，∴在上單調(diào)遞增，，．∴，在上單調(diào)遞增．∴．∴．20．在數(shù)列中，，且對任意大于1的正整數(shù)，點在直線上．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，試比較與的大小．解：(1)在數(shù)列中，，且對任意大于1的正整數(shù)，點在直線上，，即，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，.所以數(shù)列的通項公式為.(2)當時，，當時，，因為滿足，所以.，.21．已知有一道有四個選項的單項選擇題和一道有四個選項的多項選擇題，小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項.但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.這樣，小明在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項.(1)如果小明不知道單項選擇題的正確〖答案〗，就作隨機猜測.已知小明知道單項選擇題的正確〖答案〗和隨機猜測概率都是，在他做完單項選擇題后，從卷面上看，在題答對的情況下，求他知道單項選擇題正確〖答案〗的概率；(2)假設(shè)小明在做該道多項選擇題時，基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為.已知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇.記表示小明做完該道多項選擇題后所得的分數(shù).求的分布列.解：(1)記事件A為“題目答對了”，事件B為“知道正確〖答案〗”，則，，，由全概率公式：，所求概率為.(2)設(shè)事件表示小明選擇了i個選項，，表示選到的選項都是正確的.可能取值為0，2，5，，，.隨機變量的分布列為02522．已知橢圓方程為（），離心率為且過點.(1)求橢圓方程；(2)動點在橢圓上，過原點的直線交橢圓于A，兩點，證明：直線、的斜率乘積為定值；(3)過左焦點的直線交橢圓于，兩點，是否存在實數(shù)，