江蘇省寶應中學2024年高考數(shù)學押題試卷含解析

江蘇省寶應中學2024年高考數(shù)學押題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則下列不等關系正確的是（）A． B．C． D．2．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線，垂足為，且，設拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．3．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元4．已知斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為，則斜率k的取值范圍是（）A． B． C． D．5．閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的判斷框內可填寫的條件是（）A． B． C． D．6．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，存在實數(shù)，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．8．若雙曲線：繞其對稱中心旋轉后可得某一函數(shù)的圖象，則的離心率等于（）A． B． C．2或 D．2或9．在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A．或 B． C． D．或10．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．11．設為等差數(shù)列的前項和，若，則A． B．C． D．12．等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A．-2 B．2 C．4 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，點是邊的中點，則__________，________.14．已知一個正四棱錐的側棱與底面所成的角為，側面積為，則該棱錐的體積為__________．15．設直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.16．在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.18．（12分）已知點，直線與拋物線交于不同兩點、，直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、，連接，點關于直線的對稱點為點，連接、．（1）證明：；（2）若的面積，求的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若，且，證明：.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．21．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設點，直線與曲線相交于，，求的值．22．（10分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用函數(shù)的單調性得到的大小關系，再利用不等式的性質，即可得答案.【詳解】∵在R上單調遞增，且，∴.∵的符號無法判斷，故與，與的大小不確定，對A，當時，，故A錯誤；對C，當時，，故C錯誤；對D，當時，，故D錯誤；對B，對，則，故B正確.故選：B.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調性、不等式性質的運用，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎題.2、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質求出點坐標和焦點坐標，進而求出點的坐標，代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為，由題意知，焦點,準線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標為，代入斜率公式可得，.故選：A【點睛】本題考查拋物線的性質，考查運算求解能力；屬于基礎題.3、D【解析】

設目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結果即可．【詳解】設目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題，屬于基礎題．4、C【解析】

設，，，，設直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由△得，利用韋達定理結合已知條件得，，代入上式即可求出的取值范圍．【詳解】設直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程，消去得：，△，，且，，，線段的中點為,，，，，，，，把代入，得，，，故選：【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，考查了韋達定理的應用，屬于中檔題．5、C【解析】

根據(jù)循環(huán)結構的程序框圖，帶入依次計算可得輸出為25時的值，進而得判斷框內容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，則，，，，，此時輸出，因而不符合條件框的內容，但符合條件框內容，結合選項可知C為正確選項，故選：C.【點睛】本題考查了循環(huán)結構程序框圖的簡單應用，完善程序框圖，屬于基礎題.6、B【解析】

設，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結合基本不等式的性質求出的最大值時的點坐標，結合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．7、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)性質探究中的應用，考查了學生數(shù)形結合，轉化劃歸，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.8、C【解析】

由雙曲線的幾何性質與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，所以或，由離心率公式即可算出結果.【詳解】由雙曲線的幾何性質與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，又雙曲線的焦點既可在軸，又可在軸上，所以或，或.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學思想.9、D【解析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡得到答案.【詳解】由，得，∴，∴或，∴或．故選：【點睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學生的計算能力.10、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題．11、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質可得，即，所以，故選C．12、B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質求得，再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為，則則故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關系求公差，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中，，，可得因為點是邊的中點，所以故答案為：；.【點睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應用，考查計算能力，屬于中檔題.14、【解析】

如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設，根據(jù)正四棱錐的側面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設，，，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐的側面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力.15、【解析】

不妨設雙曲線，焦點，令，由的長為實軸的二倍能夠推導出的離心率.【詳解】不妨設雙曲線，焦點，對稱軸，由題設知，因為的長為實軸的二倍，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的等式，從而求出的值.16、【解析】

先確定球心的位置，結合勾股定理可求球的半徑，進而可得球的面積.【詳解】取的外心為，設為球心，連接，則平面，取的中點，連接，，過做于點，易知四邊形為矩形，連接，，設，.連接，則，，三點共線，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半徑；二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、特征值為1，特征向量為．【解析】

設出矩陣M結合矩陣運算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用可求特征值的另一個特征向量.【詳解】設矩陣M＝，則AM＝，所以，解得，所以M＝，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設特征值的特征向量為，則，即，解得x＝0，所以屬于特征值的的一個特征向量為．【點睛】本題主要考查矩陣的運算及特征量的求解，矩陣運算的關鍵是明確其運算規(guī)則，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).18、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）設點、，求出直線、的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，利用直線、的斜率相等證明出；（2）設點到直線、的距離分別為、，求出，利用相似得出，可得出的邊上的高，并利用弦長公式計算出，即可得出關于的表達式，結合不等式可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設點、，則，直線的方程為：，由，消去并整理得，由韋達定理可知，，，代入直線的方程，得，解得，同理，可得，，，,代入得，因此，；（2）設點到直線、的距離分別為、，則，由（1）知，，，，，，同理，得，，由，整理得，由韋達定理得，，，得，設點到直線的高為，則，，，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與直線平行的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線的斜率等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是難題．19、（1）極大值為；極小值為；（2）見解析【解析】

（1）對函數(shù)求導,進而可求出單調性,從而可求出函數(shù)的極值;（2）構造函數(shù),求導并判斷單調性可得,從而在上恒成立,再結合,,可得到,即可證明結論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為,,所以當時,;當時,,則的單調遞增區(qū)間為和,單調遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.（2）證明:由（1）知,設函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調遞增,故,又,則,即在上恒成立.因為,所以,又,則,因為,且在上單調遞減,所以,故.【點睛】本題考查函數(shù)的單調性與極值,考查了利用導數(shù)證明不等式,構造函數(shù)是解決本題的關鍵,屬于難題.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導數(shù)，問題轉化為在上恒成立，利用導數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設切點橫坐標為，利用導數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數(shù)在上單調遞增等價于在上恒成立．令，得，所以在單調遞減，在單調遞增，則．因為，則在上恒成立等價于在上恒成立；又，所以，即．（2）設的切點橫坐標為，則切線方程為……①設的切點橫坐標為，則，切線方程為……②若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由①②得消去得即令，則所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，，使得時總有又時，在上總有解綜上，函數(shù)與總存在公切線．【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)證明方程有解，屬于難題.21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數(shù)）直接消去參數(shù)，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結合，可得曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）把代入，化為關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）把代入，得．設，兩點對應的參數(shù)分別為，則，．不妨設，，∴．【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程