模型02含彈簧的物理模型

模型二、含彈簧的物理模型【模型概述】縱觀歷年的高考試題，和彈簧有關(guān)的物理試題占有相當(dāng)大的比重。高考命題者常以彈簧為載體設(shè)計出各類試題，這類試題涉及靜力學(xué)問題、動力學(xué)問題、動量守恒和能量守恒問題、振動問題、功能問題等，幾乎貫穿了整個力學(xué)的知識體系，能很好能很好地考查學(xué)生的綜合分析能力?！灸Ｐ吞攸c(diǎn)】中學(xué)物理中的

“彈簣”和“橡皮繩”也是理想化模型，具有如下幾個特性:

(1)彈力遵循胡克定律F=kx，其中x是彈簧的形變量。

(2)輕:即彈簧(或橡皮繩)的重力可視為零。

(3)彈簧既能受拉力，也能受壓力(沿著彈簧的軸線)，橡皮繩只能受拉力，不能受壓力。(4)由于彈簧和橡皮繩受力時，其形變較大，發(fā)生形變需要一段時間，所以彈簧和橡皮繩中的彈力不能突變。但是，當(dāng)彈簧和橡皮繩被剪斷時，它們產(chǎn)生的彈力立即消失?！灸Ｐ徒忸}】胡克定律、牛頓第二定律、動能定理、機(jī)械能守恒定律、動量定理、動量守恒定律【模型訓(xùn)練】【例1】如圖所示，一勁度系數(shù)為k、原長為l0的輕彈簧，上端固定在天花板上，下端懸掛一個質(zhì)量為m的小球，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。彈簧的形變在彈性限度內(nèi)。已知重力加速度為g。下列判斷中正確的是（）A．彈簧的伸長量為 B．彈簧的伸長量為mgkC．彈簧的總長度為l0+mgk D．彈簧的總長度為【答案】A【詳解】AB．由小球靜止，可知彈簧的彈力F=mg根據(jù)胡克定律，得彈簧的伸長量故A正確，B錯誤；CD．彈簧的總長度為故CD錯誤。故選A。變式1.1如圖所示，將一輕彈簧上端懸掛在天花板上，下端連接物體A，A下面再用棉線掛一物體B，A、B質(zhì)量相等，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。燒斷棉線，下列說法中正確的是（）A．燒斷棉線瞬間，A的加速度大小為gB．燒斷棉線之后，A向上一直加速C．燒斷棉線之后，A在運(yùn)動中機(jī)械能守恒D．在最高點(diǎn)彈簧彈力等于mg【答案】A【詳解】A.設(shè)A、B質(zhì)量均為m，燒斷棉線前，對A、B整體受力分析，知彈簧的彈力F=2mg燒斷棉線瞬間，彈簧的彈力不變，對A，根據(jù)牛頓第二定律可得Fmg=maA解得aA=g故A正確；B.燒斷棉線后，A在彈力和重力的作用下向上運(yùn)動，彈力先大于重力，后小于重力，所以物體A向上先加速后減速，故B錯誤；C.燒斷棉線后，彈簧彈力對A做功，故A的機(jī)械能不守恒，故C錯誤；D.燒斷棉線后，A在重力和彈力的作用下做簡諧運(yùn)動，在最低點(diǎn)回復(fù)力大小為F=2mgmg=mg方向向上，根據(jù)對稱性可知，在最高點(diǎn)回復(fù)力大小為F'=mg方向向下，即mgF彈=mg解得F彈=0故在最高點(diǎn),速度為零時，彈簧彈力為零，即彈簧恢復(fù)原長，故D錯誤。故選A。變式1.2兩根相同的輕彈簧的原長均為l，將兩彈簧與兩相同物體按如圖所示的方式連接并懸掛于天花板上，靜止時兩根彈簧的總長為2.6l，現(xiàn)用手托著B物體，使下面的彈簧2恢復(fù)到原長，則下面說法正確的有（

）A．懸掛穩(wěn)定時彈簧1的長度為1.2l，彈簧2的長度為1.4lB．彈簧2恢復(fù)原長時彈簧1長度為1.4lC．物體A上升的距離為0.4lD．物體B上升的距離為0.4l【答案】D【詳解】A．懸掛穩(wěn)定時，彈簧1的彈力等于A、B兩個物體的總重量，而彈簧2的彈力等于B物體的重量，根據(jù)平衡條件而解得，因此彈簧1的長度為1.4l，彈簧2的長度為1.2l，A錯誤；BCD．彈簧2恢復(fù)原長時，彈簧1的彈力等于A物體的重力，彈簧1的伸長量變?yōu)?.2l，因此長度變?yōu)?.2l，這樣A物體上升的距離為0.2l，B物體上升的距離為0.4l，BC錯誤，D正確。故選D?！纠?】如圖所示，內(nèi)壁光滑的半球形容器固定在水平面上。將一輕彈簧的一端固定在半球形容器底部處，為球心。當(dāng)彈簧另一端與質(zhì)量為的小球相連時，小球靜止于點(diǎn)。已知與水平方向的夾角為，則半球形容器對球的支持力和彈簧的彈力分別為（）（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】作出小球的受力分析圖，由相似三角形法可得其中可得支持力彈簧的彈力故選B。變式2.1如圖所示，質(zhì)量均為m的A、B兩球，由一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接靜止于半徑為R的光滑半球形碗中，彈簧水平，兩球間距為R且球半徑遠(yuǎn)小于碗的半徑．則彈簧的原長為（

）A．＋RB．＋RC．＋RD．＋R【答案】D【詳解】以A球為研究對象，小球受三個力：重力、彈力和球殼的支持力如圖所示由平衡條件，得到解得根據(jù)幾何關(guān)系得則所以故彈簧原長故選D變式2.2如圖所示，在半徑為R的光滑半球形碗中，一根水平放置的輕彈簧兩端連接A、B兩球，兩球靜止于半球形碗中。已知A、B球質(zhì)量均為m，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B兩球之間的距離為R，球的半徑遠(yuǎn)小于碗的半徑，求：（1）半球形碗對A球的支持力大?。唬?）彈簧的原長?！敬鸢浮浚?）；（2）【詳解】（1）如圖，設(shè)，半球形碗對A球的支持力大小為N，彈簧的原長為，形變量為由幾何關(guān)系得由平衡條件得聯(lián)立得（2）由平衡條件得聯(lián)立得【例3】如圖所示，質(zhì)量分別為m1和m2的兩塊方木中間以輕彈簧相連，在空中設(shè)法使彈簧處于自然長度（即其中沒有彈力）后，給它們相同的初速度，向上拋出。在空中時，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)始終保持豎直，且彈簧長度保持自然長度?？諝庾枇Σ挥嫛t（）A．m1一定等于m2B．m1一定大于m2C．m1一定小于m2D．不能通過該現(xiàn)象判斷m1和m2的大小關(guān)系【答案】D【詳解】兩塊方木以相同的初速度，向上拋出，彈簧沒有彈力，只受重力作用解得具有相同的重力加速度，同步做豎直上拋運(yùn)動，與質(zhì)量大小無關(guān)，不能通過該現(xiàn)象判斷m1和m2的大小關(guān)系。故選D。變式3.1如圖所示，一小球從空中下落，從它剛接觸彈簧到把彈簧壓縮至最短的過程中，若不計空氣阻力，則關(guān)于小球能量的變化，下列判斷正確的是（）A．動能一直減小 B．動能先增加后減小C．機(jī)械能先增加后減小 D．機(jī)械能保持不變【答案】B【詳解】AB．從接觸彈簧到壓縮至最短的過程中，彈簧的彈力逐漸增大，小球所受重力不變，開始小球受到的合力豎直向下，合力大小逐漸減小，則小球的加速度減小，速度增加；當(dāng)彈力大于重力后小球所受合力方向豎直向上，合力大小逐漸增大，即加速度向上增加，速度減小，即動能先增加后減小，故A錯誤，B正確。CD．整個過程中，彈簧的彈力一直對小球做負(fù)功，則小球的機(jī)械能一直減小，選項CD錯誤。故選B。變式3.2如圖所示，用輕彈簧將質(zhì)量均為m=1kg的物塊A和B連接起來，將它們固定在空中，彈簧處于原長狀態(tài)，A距地面的高度h1=0.15m．同時釋放兩物塊，設(shè)A與地面碰撞后速度立即變?yōu)榱?，由于B壓縮彈簧后被反彈，使A剛好能離開地面（但不繼續(xù)上升）．已知彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m，取g=10m/s2．求：（1）物塊A剛到達(dá)地面的速度；（2）物塊B反彈到最高點(diǎn)時，彈簧的彈性勢能；（3）若將B物塊換為質(zhì)量為2m的物塊C（圖中未畫出），仍將它與A固定在空中且彈簧處于原長，從A距地面的高度為h2處同時釋放，C壓縮彈簧被反彈后，A也剛好能離開地面，此時h2的大?。敬鸢浮浚?）1.73m/s；（2）0.5J；（3）0.125m【詳解】試題分析：（1）依題意，AB兩物塊一起做自由落體運(yùn)動①（1分）設(shè)A物塊落地時速度為v1，此時B的速度也為v1則有②（1分）（2）設(shè)A剛好離地時，彈簧的形變量為x，此時B物塊到達(dá)最高點(diǎn)對A物塊，有③（1分）A落地后到A剛好離開地面的過程中，對于A、B及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有④（3分）由②③④可得：⑤（1分）（3）換成C后，設(shè)A落地時，C的速度為v2，則有⑥（1分）A落地后到A剛好離開地面的過程中，A、C及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有⑦（3分）聯(lián)立解得（1分）【例4】如圖所示，一質(zhì)量不計的彈簧原長為x0=12cm，一端固定于質(zhì)量m=3kg的物體上，另一端一水平拉力F。物體與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.225，當(dāng)彈簧拉長至x1=16.5cm時，物體恰好向右勻速運(yùn)動（設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，）；（1）若將彈簧壓縮至x2=8cm，求物體受到的摩擦力大小及方向。（2）若將彈簧拉長至x3=18cm，求物體體受到的摩擦力大小及方向?！敬鸢浮浚?）6N，方向向右；（2）6.75N，方向向左【詳解】（1）勻速運(yùn)動時，根據(jù)平衡條件得解得最大靜摩擦力為若將彈簧壓縮至x2=8cm，彈簧的彈力為則物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，物體所受的摩擦力為靜摩擦力，大小為6N，彈力方向向左，摩擦力方向向右；（2）若將彈簧拉長至x3=18cm，彈簧的彈力為物體向右運(yùn)動，物體受到滑動摩擦力，大小為6.75N，方向向左。變式4.1如圖所示，一質(zhì)量m=3kg的物體靜止在水平面上，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)，原長的輕質(zhì)彈簧一端固定于物體上，另一端施一水平拉力F。已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度g取。（1）當(dāng)彈簧長度為21cm時，物體恰好向右勻速運(yùn)動，求彈簧的勁度系數(shù)；（2）當(dāng)彈簧長度為12cm時，求物體受到的摩擦力；（3）當(dāng)彈簧長度為23cm時，求物體受到的摩擦力?！敬鸢浮浚?）400N/m；（2）12N，方向向右；（3）24N，方向向左【詳解】（1）滑動摩擦力f=μmg=0.8×3×10N=24N物體勻速運(yùn)動時，由平衡條件可知F1=f=24N根據(jù)胡克定律彈力F1=k（x1x0）代入數(shù)據(jù)可得k=400N/m（2）若將彈簧壓縮至12cm，彈力的大小F2=k（x0x2）=400×（0.150.12）N=12N＜f=24N可知物體仍然靜止，受到向右的靜摩擦力，大小等于彈簧的彈力，為12N。（3）若將彈簧拉長至23cm，彈力的大小F3=k（x3x0）=400×（0.230.15）N=32N＞f=24N物體不能保持靜止，所以物體受到的摩擦力為向左的滑動摩擦力，大小是24N。變式4.2如圖所示，兩木塊A、B質(zhì)量分別為、，中間由水平輕質(zhì)彈簧相連，彈簧勁度系數(shù)，彈簧允許的最大形變量為15cm，水平拉力作用在木塊A上，系統(tǒng)恰好在水平面上做勻速直線運(yùn)動，重力加速度大小g取，已知木塊A、B與水平面間的動摩擦因數(shù)相同且均為μ（大小未知）。求：（1）μ的值；（2）彈簧的伸長量為多少；（3）若將另一木塊C放置在木塊B上，施加拉力，使系統(tǒng)仍做勻速運(yùn)動（彈簧在彈性限度內(nèi)），拉力的最大值是多少？木塊C的質(zhì)量是多少？【答案】（1）；（2）；（3），【詳解】（1）設(shè)木塊與水平面間動摩擦因數(shù)為μ，選AB整體為研究對象，系統(tǒng)做勻速運(yùn)動，則有解得（2）設(shè)彈簧伸長量為，選B為研究對象，B做勻速運(yùn)動，則有解得（3）選A為研究對象選B和C整體為研究對象解得，【例5】如圖所示，傾角為的斜面固定在水平地面上，輕彈簧的一端固定在斜面的底端，彈簧處于原長時另一端與斜面上的點(diǎn)平齊。質(zhì)量為的小滑塊從斜面上的點(diǎn)由靜止下滑，滑塊在點(diǎn)接觸彈簧并壓縮彈簧到點(diǎn)時開始彈回。已知、間的距離為0.4m，、間的距離為0.2m，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度取，取3.87。（1）若斜面光滑，求滑塊運(yùn)動中彈簧彈性勢能的最大值：（2）若滑塊第1次離開彈簧后，沿斜面上升的最高點(diǎn)位于、的中點(diǎn)，求滑塊第2次經(jīng)過點(diǎn)時的速度大小。（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）【答案】（1）；（2）【詳解】（1）若斜面光滑，滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則當(dāng)滑塊壓縮彈簧到點(diǎn)時彈簧的彈性勢能最大，由能量守恒定律可得解得（2）設(shè)滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為，滑塊由點(diǎn)下滑，壓縮彈簧彈回后運(yùn)動到、中點(diǎn)的過程，由動能定理有對滑塊由點(diǎn)下滑到第2次經(jīng)過點(diǎn)過程，由動能定理可得聯(lián)立解得變式5.1如圖所示，一輕彈簧一端固定在傾角為θ=37o的固定斜面的底端，另一端拴住質(zhì)量為m1=6kg的物體P，Q為一質(zhì)量m2=10kg的物體，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧的壓縮量x0=0.16m?，F(xiàn)給物體Q施加一個方向沿斜面向上的力F，使它從靜止開始沿斜面向上做勻加速運(yùn)動，已知在前0.2s時間內(nèi)，F(xiàn)為變力，0.2s以后F為恒力。已知斜面光滑且足夠長，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2求：（1）彈簧的勁度系數(shù)k；（2）物體Q做勻加速運(yùn)動的加速度大小a；（3）前0.2s內(nèi)拉力F做的功?！敬鸢浮浚?）600N/m；（2）；（3）J【詳解】（1）開始時，對整體受力分析，平行斜面方向有代入數(shù)據(jù)，解得k=600N/m（2）前0.2s時間內(nèi)F為變力，之后為恒力，表明0.2s時刻兩物體分離，此時P、Q之間的彈力為零且加速度大小相等，設(shè)此時彈簧的壓縮量為x1，對物體P，有前0.2s時間內(nèi)兩物體的位移聯(lián)立解得（3）前0.2s內(nèi)，對P、Q整體根據(jù)動能定理其中速度v=at位移代入數(shù)據(jù)得WF=J變式5.2如圖所示，質(zhì)量的物塊放在豎直彈簧上端并緊挨著豎直墻壁，水平向左、大小的力作用在物塊上，物塊恰好不下滑，此時彈簧的長度。已知彈簧的勁度系數(shù)、原長，物塊與豎直墻壁之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度大小，求：（1）彈簧對物塊的彈力大?。唬?）豎直墻壁對物塊的摩擦力大小和方向；（3）物塊與豎直墻壁之間的動摩擦因數(shù)?！敬鸢浮浚?）；（2），方向豎直向上；（3）【詳解】（1）根據(jù)胡克定律有解得（2）對物塊受力分析，豎直方向上有解得方向豎直向上。（3）物塊在水平方向上有物塊與豎直墻壁之間的動摩擦因數(shù)解得【例6】如圖所示，質(zhì)量為10kg的物體M放在傾角為的固定斜面上，M與斜面間動摩擦因數(shù)，M用平行于斜面的輕繩繞過光滑定滑輪與質(zhì)量為8kg的物塊m相連。勁度系數(shù)k＝200N/m的彈簧與m相連，也與地面相連，設(shè)最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等，重力加速度取，求：（1）若M靜止在斜面上，彈簧伸長量為8cm，求M所受到的摩擦力；（2）若M剛要開始運(yùn)動，求此時彈簧對物塊的彈力的大小?！敬鸢浮浚?）36N，方向沿斜面向下；（2）30N或70N【詳解】（1）對物塊m分析受力情況如圖1所示根據(jù)平衡條件可得解得聯(lián)立解得輕繩的拉力為T＝96N以物體M為研究對象，受到重力、支持力、輕繩拉力，由于，摩擦力方向沿斜面向下，沿斜面方向的平衡方程為代入數(shù)據(jù)解得f＝36N摩擦力的大小為36N，方向沿斜面向下（2）物體M與斜面間的最大靜摩擦力為物體M剛要向上運(yùn)動時，設(shè)輕繩的拉力為，對物體M沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得解得對物塊m，根據(jù)平衡條件可得解得物體M剛要向下運(yùn)動時，設(shè)輕繩的拉力為，沿斜面方向的平衡方程為解得對物塊m，根據(jù)平衡條件可得解得變式6.1如圖所示，質(zhì)量為m的小球甲穿過一豎直固定的光滑桿拴在輕彈簧上，質(zhì)量為4m的物體乙用輕繩跨過光滑的定滑輪與小球甲連接，開始用手托住物體乙，輕繩剛好伸直，滑輪左側(cè)繩豎直，右側(cè)繩與水平方向夾角為，某時刻由靜止釋放物體乙（足夠高），經(jīng)過一段時間小球甲運(yùn)動到Q點(diǎn)，O、Q兩點(diǎn)的連線水平，，且小球甲在P、Q兩點(diǎn)處時彈簧的彈力大小相等。已知重力加速度為g，，。求：（1）彈簧的勁度系數(shù)k；（2）小球甲位于Q點(diǎn)時的速度大小v；（3）在小球甲從P點(diǎn)上升到PQ中點(diǎn)的過程中，彈簧彈力做的功W?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3）【詳解】（1）由幾何關(guān)系知則小球位于P點(diǎn)時彈簧的壓縮量為對P點(diǎn)的小球由力的平衡條件可知解得（2）當(dāng)小球運(yùn)動到Q點(diǎn)時，小球甲的速度與繩子OQ垂直，所以物體乙的速度為零，又小球、物體和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則由機(jī)械能守恒定律得解得（3）在小球甲從P點(diǎn)上升到PQ中點(diǎn)的過程中，彈簧彈力做的功變式6.2如圖所示，質(zhì)量為10kg的物體M放在傾角為的斜面上，M與斜面間摩擦因數(shù)，M用平行于斜面的輕繩繞過光滑定滑輪與質(zhì)量為5kg的物塊m相連。勁度系數(shù)k＝200N/m的彈簧與m相連，也與地面相連，設(shè)最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等。（1）若M靜止在斜面上，彈簧伸長量為8cm，求此時繩子上的拉力大小；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，求M所受到的摩擦力的大小和方向；（3）若M剛要開始運(yùn)動，求此時彈簧彈力的大小。【答案】（1）；（2）6N，方向沿斜面向下；（3）40N，20N【詳解】（1）對物塊m分析受力：根據(jù)平衡條件可得根據(jù)胡克定律可得其中解得聯(lián)立解得輕繩的拉力為（2）以物體M為研究對象，受到重力、支持力、輕繩拉力，假設(shè)摩擦力方向沿斜面向下，沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得代入數(shù)據(jù)解得假設(shè)正確，所以摩擦力方向沿斜面向下；（3）物體M與斜面間的最大靜摩擦力為①物體M剛要向上運(yùn)動時，設(shè)輕繩的拉力為，對物體M沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得：對物塊m,根據(jù)平衡條件可得解得此時彈簧處于伸長狀態(tài)②物體M剛要向下運(yùn)動時，設(shè)輕繩的拉力為，對物體M沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得：對物塊m，根據(jù)平衡條件可得解得此時彈簧處于壓縮狀態(tài).【例7】如圖所示，粗糙水平面長為，與豎直面內(nèi)半徑為的光滑半圓形軌道在點(diǎn)相接。質(zhì)量為的物體甲（可視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮到點(diǎn)后由靜止釋放，甲脫離彈簧后，在水平面滑行一段距離后滑上豎直軌道，并恰好能通過點(diǎn)。已知甲與水平面間的動摩擦因數(shù)，重力加速度為。（1）求甲通過點(diǎn)時的速度大??；（2）求彈簧被壓縮到點(diǎn)時的彈性勢能；（3）若在點(diǎn)放置另一個質(zhì)量為的物體乙（可視為質(zhì)點(diǎn)，圖中未畫出），使甲把彈簧仍然壓縮到點(diǎn)，由靜止釋放甲，甲、乙發(fā)生彈性正碰后，撤去甲，此后乙沿半圓形軌道運(yùn)動，通過計算說明乙離開半圓形軌道后將如何運(yùn)動?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3）見解析【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)物體甲從點(diǎn)飛出時的速度為，由牛頓第二定律有解得（2）對物體甲，從點(diǎn)到點(diǎn)的過程，依據(jù)動能定理有由功能關(guān)系，可知彈簧初始狀態(tài)時的彈性勢能（3）不放置乙時，甲從到，由動能定理有解得甲、乙發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)動量守恒、總動能不變，物體乙的質(zhì)量，由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有解得乙碰后的速度以地面為勢能零點(diǎn)，乙在軌道上運(yùn)動時機(jī)械能守恒，假設(shè)最高點(diǎn)高度為，則有解得可見，乙在軌道上的最高點(diǎn)低于與圓心等高的點(diǎn)，之后乙將沿軌道原路返回，直到經(jīng)過點(diǎn)離開半圓軌道，之后將在摩擦力的作用下做勻減速直線運(yùn)動。變式7.1一光滑水平面與豎直面內(nèi)的圓形粗糙軌道在B點(diǎn)相切，軌道半徑，一個質(zhì)量的小物塊在A處壓縮一輕質(zhì)彈簧，彈簧與小物塊不拴接。用手擋住小物塊不動，此時彈簧彈性勢能。如圖所示，放手后小物塊向右運(yùn)動脫離彈簧，沿圓形軌道向上運(yùn)動恰能通過最高點(diǎn)C，不計空氣阻力，。求：（1）物塊在B點(diǎn)時半圓軌道對它的支持力大小；（2）小物塊從B到C過程，阻力做的功