高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練2-8函數(shù)與方程

核心考點·精準研析考點一判斷函數(shù)零點所在區(qū)間

1.已知實數(shù)a>1,0<b<1,則函數(shù)f(x)=ax+xb的零點所在的區(qū)間是 ()A.(2,1) B.(1,0)C.(0,1) D.(1,2)2.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTExlnx,則函數(shù)y=f(x) ()A.在區(qū)間QUOTE,(1,e)內(nèi)均有零點B.在區(qū)間QUOTE,(1,e)內(nèi)均無零點C.在區(qū)間QUOTE內(nèi)有零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點D.在區(qū)間QUOTE內(nèi)無零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點3.(2020·揚州模擬)設(shè)函數(shù)y=x2與y=QUOTE的圖像交點為(x0,y0),則x0所在區(qū)間是 ()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)4.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間 ()A.(a,b)和(b,c)內(nèi) B.(∞,a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi) D.(∞,a)和(c,+∞)內(nèi)【解析】1.選B.因為a>1,0<b<1,f(x)=ax+xb,所以f(1)=QUOTE1b<0,f(0)=1b>0,由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(1,0)上存在零點.2.選D.令f(x)=0得QUOTEx=lnx.作出函數(shù)y=QUOTEx和y=lnx的圖像,如圖,顯然y=f(x)在QUOTE內(nèi)無零點,在(1,e)內(nèi)有零點.3.選B.因為函數(shù)y=x2與y=QUOTE的圖像交點為(x0,y0),則x0是方程x2=QUOTE的解,也是函數(shù)f(x)=x2QUOTE的零點.因為函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(2)=221=3>0,f(1)=12=1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零點存在性定理可知,方程的解在(1,2)內(nèi).4.選A.因為a<b<c,所以f(a)=(ab)(ac)>0,f(b)=(bc)(ba)<0,f(c)=(ca)(cb)>0,由函數(shù)零點存在性定理可知:在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點,又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個零點;因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi).確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在性定理.(2)數(shù)形結(jié)合法.【秒殺絕招】用特殊值法可解T2.考點二確定函數(shù)零點的個數(shù)

【典例】1.函數(shù)f(x)=|x2|lnx零點的個數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.32.(2019·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=2sinxsin2x在[0,2π]的零點個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.53.已知函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù),且當x∈[1,1]時,f(x)=2|x|1,則函數(shù)F(x)=f(x)|lgx|的零點個數(shù)是 導(dǎo)學(xué)號()A.9 B.10 C.11 D.18【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由f(x)=|x2|lnx的零點,想到|x2|=lnx.2由f(x)=2sinxsin2x,想到化簡,令f(x)=0求sinx與cosx的值.3由F(x)=f(x)|lgx|的零點個數(shù),想到f(x)=|lgx|.【解析】1.選C.作出函數(shù)y=|x2|與g(x)=lnx的圖像,如圖所示.由圖像可知兩個函數(shù)的圖像有兩個交點,即函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有2個零點.2.選B.令f(x)=2sinxsin2x=2sinx2sinxcosx=2sinx(1cosx)=0,則sinx=0或cosx=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三個零點.3.選B.在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=|lgx|的大致圖像如圖,由圖像可知,它們共有10個不同的交點,因此函數(shù)F(x)=f(x)|lgx|的零點個數(shù)是10.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)直接求零點.(2)利用零點存在性定理再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定零點個數(shù).(3)利用函數(shù)圖像的交點個數(shù)判斷.1.函數(shù)f(x)=3x+x32在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.由題意知f(x)單調(diào)遞增,且f(0)=1+02=1<0,f(1)=3+12=2>0,即f(0)·f(1)<0且函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)不斷,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個零點.2.(2020·上饒模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTE函數(shù)g(x)=3f(2x),則函數(shù)y=f(x)g(x)的零點個數(shù)為 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選A.由已知條件可得g(x)=3f(2x)=QUOTE函數(shù)y=f(x)g(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖像的交點個數(shù),在平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像如圖所示.由圖可知函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有2個交點,所以函數(shù)y=f(x)g(x)的零點個數(shù)為2.3.已知f(x)=QUOTE則函數(shù)y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點個數(shù)是.

【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=QUOTE或f(x)=1,作出函數(shù)y=f(x)的圖像.由圖像知y=QUOTE與y=f(x)的圖像有2個交點,y=1與y=f(x)的圖像有3個交點.因此函數(shù)y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點有5個.答案:5考點三函數(shù)零點的應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)由函數(shù)的零點有無、個數(shù)求參數(shù)值或范圍、圖像的交點、解方程、解不等式等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:多以選擇、填空題的形式考查.3.新趨勢:以函數(shù)圖像與性質(zhì)為載體,圖像與性質(zhì)、數(shù)與形、求參數(shù)值或范圍交匯考查.學(xué)霸好方法已知函數(shù)有零點求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解.由零點的個數(shù)求參數(shù)值或范圍【典例】已知函數(shù)f(x)=QUOTEg(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是 導(dǎo)學(xué)號()A.[1,0) B.[0,+∞)C.[1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選C.畫出函數(shù)f(x)的圖像,y=ex在y軸右側(cè)的圖像去掉,再畫出直線y=x,并上下移動,可以發(fā)現(xiàn)當直線過點(0,1)時,直線與函數(shù)圖像有兩個交點,并且向下可以無限移動,都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點,即方程f(x)=xa有兩個解,也就是函數(shù)g(x)有兩個零點,此時滿足a≤1,即a≥1.已知函數(shù)零點個數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù),或兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題,再去求解.由函數(shù)有無零點求參數(shù)【典例】若函數(shù)f(x)=4x2xa,x∈[1,1]有零點,則實數(shù)a的取值范圍是. 導(dǎo)學(xué)號

【解析】因為函數(shù)f(x)=4x2xa,x∈[1,1]有零點,所以方程4x2xa=0在[1,1]上有解,即方程a=4x2x在[1,1]上有解.方程a=4x2x可變形為a=QUOTEQUOTE,因為x∈[1,1],所以2x∈QUOTE,令2x=t,t∈QUOTE,a=QUOTEQUOTE,0≤tQUOTE≤QUOTE,0≤QUOTE≤QUOTE,QUOTE≤QUOTEQUOTE≤2,所以a=QUOTEQUOTE的范圍為QUOTE,所以實數(shù)a的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE函數(shù)有(或無)零點如何求參數(shù)的范圍?提示:先分離參數(shù),再依據(jù)有(或無)零點得出等式(或不等式),最后得出結(jié)論.與函數(shù)零點有關(guān)的比較大小【典例】(2019·承德模擬)已知a是函數(shù)f(x)=2xloQUOTEx的零點,若0<x0<a,則f(x0)的值滿足 ()導(dǎo)學(xué)號A.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.f(x0)的符號不確定【解析】選C.在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=2x,y=loQUOTEx的圖像,由圖像可知,當0<x0<a時,有QUOTE<loQUOTEx0,即f(x0)<0.與函數(shù)零點有關(guān)的函數(shù)值如何比較大小?提示:在同一平面直角坐標系中畫出圖像,根據(jù)圖像所處的上下位置確定.1.若函數(shù)f(x)=|2x4|a存在兩個零點,且一個為正數(shù),另一個為負數(shù),則a的取值范圍為 ()A.(0,4) B.(0,+∞)C.(3,4) D.(3,+∞)【解析】選C.令g(x)=|2x4|,其圖像如圖所示,若f(x)=|2x4|a存在兩個零點,且一個為正數(shù),另一個為負數(shù),則a∈(3,4).2.已知函數(shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=xQUOTE1的零點分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是 ()A.x2<x1<x3 B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1【解析】選B.令y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1,因為函數(shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=xQUOTE1的零點分別為x1,x2,x3,則y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1的圖像與y=x的交點的橫坐標分別為x1,x2,x3,在同一平面直角坐標系內(nèi)分別作出函數(shù)y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1及y=x的圖像如圖,結(jié)合圖像可得x1<x2<x3.3.(2020·南通模擬)已知f(x)是定義在R上且周期為QUOTE的周期函數(shù),當x∈QUOTE時,f(x)=1|2x1|.若函數(shù)y=f(x)logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4個互不相同的零點,則實數(shù)a的值為________________.

【解析】當x∈QUOTE時,f(x)=1|2x1|=QUOTE,且f(x)是定義在R上且周期為QUOTE的周期函數(shù),因為函數(shù)y=f(x)logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4個互不相同的零點,所以函數(shù)y=f(x)與y=logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4個不同的交點,分別畫出兩函數(shù)圖像如圖所示,由圖可知,當x=QUOTE時,有l(wèi)ogaQUOTE=1,所以a=QUOTE.答案:QUOTE1.(2020·包頭模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+3x8的零點x0∈[a,b],且ba=1,a,b∈N*,則a+b= ()A.0 B.2 C.5 D.7【解析】選C.因為f(2)=ln2+68=ln22<0,f(3)=ln