數(shù)學期望及其應用

本科畢業(yè)論文本科生畢業(yè)論文題目:數(shù)學期望的計算方法與實際應用專業(yè)代碼:070101原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明:所提交的學位論文是本人在導師指導下,獨立進行研究取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,論文中不含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果,也不包含為獲得聊城大學或其他教育機構(gòu)的學位證書而使用過的材料.對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體,均已在文中以明確方式標明.本人承擔本聲明的相應責任.學位論文作者簽名:日期指導教師簽名:日期目錄1.引言 12.數(shù)學期望的定義及其性質(zhì) 22.1數(shù)學期望的定義 22.2數(shù)學期望的基本性質(zhì) 22.3數(shù)學期望的計算方法 33數(shù)學期望在實際生活中的應用 73.1在醫(yī)學疾病普查中的應用 73.2數(shù)學期望在體育比賽中應用 83.3數(shù)學期望在經(jīng)濟問題中的應用 103.3.1免費抽獎問題 103.3.2保險公司獲利問題 113.3.3決定生產(chǎn)批量問題 113.3.4機器故障問題 123.3.5最佳進貨量問題 133.3.6求職決策問題 144結(jié)論 15參考文獻 16致謝 17

摘要數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值，是概率論中一項重要的數(shù)字特征，它代表了隨機變量總體取值的平均水平。數(shù)學期望的涉及面非常之大，廣泛應用于實際生活中的各個領(lǐng)域。在實際生活中，有許多問題都可以直接或間接的利用數(shù)學期望來解決。其意義是運用對實踐中抽象出來的數(shù)學模型進行分析的方法，從而達到認識客觀世界規(guī)律的目的，為進一步的決策分析等提供準確的理論依據(jù)。本文從數(shù)學期望的內(nèi)涵出發(fā)，介紹了數(shù)學期望的定義、性質(zhì)，介紹了數(shù)學期望的幾種計算方法并舉以實例，通過數(shù)學期望在醫(yī)學疾病普查、體育比賽和經(jīng)濟問題中的應用的探討。特別是在經(jīng)濟問題方面，本文又詳細分為免費抽獎問題、保險公司獲利問題、決定生產(chǎn)批量問題、機器故障問題、最佳進貨量問題和求職決策問題，試圖初步說明數(shù)學期望在實際生活中的重要作用，幾個例子將數(shù)學期望與實際問題結(jié)合，用具體實例說明利用數(shù)學期望方法解決實際問題的可行性，體現(xiàn)了數(shù)學期望在生活中的應用。關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計；數(shù)學期望；性質(zhì)；計算方法；應用AbstractMathematicalexpectationorexpectations,alsoknownasaverage,isveryimportantdigitalfeaturesinthetheoryofprobability,anditrepresentstheoverallaveragevaluerandomvariables.Mathematicalexpectationisverybig,widelyappliedinallfieldsinactuallife.Inreallife,therearealotofproblemscanbedirectlyorindirectlysolvedbyusingthemathematicalexpectation.Itsmeaningistousemathematicalmodeltocarryontheanalysisofpracticeofabstractingmethod,soastoachievethepurposeofunderstandingtheobjectiveworldrule,inordertoprovideaccuratetheoreticalbasissuchasdecisionanalysis.Basedontheconnotationofmathematicalexpectation,thispaperintroducesthedefinitionandpropertiesofmathematicalexpectation,andintroducesseveralcalculationmethodsofmathematicalexpectationandwithexamples,throughthemathematicalexpectationinthemedicaldiseasecensus,sports,anddiscussedtheapplicationofeconomicproblems.Especiallyintermsofeconomy,thispaperisdividedintofreesweepstakesproblem,insurancecompanyprofits,decidedtoproductionbatchproblems,machinefailureproblem,bestcarriedoutandcoverdecisionproblem,andattemptstopreliminarilyillustratetheimportantroleofmathematicalexpectationintheactuallife,andafewexamplescombinemathematicalexpectationandactualproblem,withspecificexampleisgiventoillustratethefeasibilityofsolvingpracticalproblemswithmathematicalexpectationmethod,andembodiestheapplicationofmathematicalexpectationinlife.Keywords：Probabilityandmathematicalstatistics;Mathematicalexpectation;Properties;Calculationmethod;applicationPAGE1數(shù)學期望的計算方法與實際應用1.引言知識來源于人類的實踐活動，又反過來運用到改造世界的實踐活動中去，其價值也就在于此.面對當今信息時代的要求，我們應當思維活躍，富于創(chuàng)新，既要學習數(shù)學知識，更應該重視對所學知識的應用.在現(xiàn)實生活中，我們常常需要研究各種各樣的隨機變量.對于一個隨機變量，如果掌握了它的概率分布，當然就可以對它進行全面的分析，但是在實際問題中要求出一個隨機變量的概率分布往往不是一件容易事.有時甚至是不可能，而有些實際問題我們也不一定非要掌握一個隨機變量的概率分布，而只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了，因此并不需要求出它的分布函數(shù).這些特征就是隨機變量的數(shù)字特征，是隨機變量的分布所決定的常數(shù)，刻畫了隨機變量某一方面的性質(zhì)。例如比較不同班級的某次統(tǒng)考的成績，通常就是比較各班的平均分；考察某種大批量生產(chǎn)的元件的壽命往往只需知道元件的平均壽命；評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，經(jīng)?？紤]平均畝產(chǎn)量；對一射手進行技術(shù)評定時，經(jīng)?？疾焐鋼裘协h(huán)數(shù)的平均值；檢查一批棉花的質(zhì)量時，關(guān)心的是棉花纖維的平均長度等.這個重要的數(shù)字特征就是數(shù)學期望，它是現(xiàn)實生活中“平均值”概念的推廣，在現(xiàn)實生活中有重要的作用.盛驟等人在文獻[1]中給我們系統(tǒng)地介紹了數(shù)學期望的定義、基本性質(zhì)等，文獻[2——5]中介紹了用特征函數(shù)、逐項微分、特殊積分等求解數(shù)學期望的方法，解法各具特色，張艷娥等在文獻[6]中討論了數(shù)學期望理論在疾病普查中的應用，楊先偉在文獻[7]中對數(shù)學期望在體育比賽中的應用作了研究，文獻[8——12]通過幾個例子研究了數(shù)學期望在某些經(jīng)濟問題中的應用，內(nèi)容包括免費抽獎問題、保險公司獲利問題、決定生產(chǎn)批量問題、機器故障問題等.本文介紹了數(shù)學期望的定義、性質(zhì)及其計算方法與技巧，并從數(shù)學期望的內(nèi)涵出發(fā)，通過幾個例子將數(shù)學期望與實際問題結(jié)合，用具體實例說明利用數(shù)學期望方法解決實際問題的可行性，體現(xiàn)了數(shù)學期望在生活中的廣泛應用.2.數(shù)學期望的定義及其性質(zhì)2.1數(shù)學期望的定義擲一枚質(zhì)地均勻的骰子次，觀察每次出現(xiàn)點數(shù).它是一個隨機變量，如果用、、、、、表示出現(xiàn)1、2、3、4、5、6點的次數(shù)，那么每次投擲骰子出現(xiàn)點數(shù)的平均值為表示事件投擲骰子出現(xiàn)點的頻率，由于頻率具有波動性，因此該平均值也具有波動性，并不能代表每次投擲骰子出現(xiàn)點數(shù)的平均值，當很大時，應穩(wěn)定于，故該平均值也應該穩(wěn)定于那么，這使得平均值是真正的每次投擲骰子出現(xiàn)點數(shù)的平均值，他是隨機變量的可能取值與所對應的概率乘積的總和，這是一個常數(shù)，可以用來描述隨機變量的數(shù)學特征，稱之為的數(shù)學期望，記作.定義1若離散型隨機變量可能取值為，其分布列為，則當<時，則稱存在數(shù)學期望，并且數(shù)學期望為，如果，則數(shù)學期望不存在.定義2設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為,若積分是一個有限值，則稱積分為的數(shù)學期望，記作，即.2.2數(shù)學期望的基本性質(zhì)設(shè)C、a、b為常數(shù)，為隨機變量，則有如下性質(zhì)：性質(zhì)1常數(shù)的數(shù)學期望等于本身：.證明：以離散隨機變量為例來證明，對于連續(xù)隨機變量可類似地證明.下同，把常數(shù)視為概率1取本身值的離散隨機變量，即得.性質(zhì)2證明：設(shè)隨機變量的概率分布為=,（=1,2,…）則.性質(zhì)3.證明：.性質(zhì)4.證明：利用前三個性質(zhì)得.2.3數(shù)學期望的計算方法方法一：利用數(shù)學期望的定義，即定義法此法是計算數(shù)學期望最常用的一種方法.它是先通過數(shù)學手段將轉(zhuǎn)化成組合數(shù)公式、二項式定理或特殊級數(shù)的形式，然后求和獲解.該方法思路明確，但有時計算比較麻煩.例1設(shè)X~U(a,b),求E(X).解X的概率分布為X的數(shù)學期望為方法二：公式法對于實際問題中的隨機變量，假如我能夠判定它服從某重點性分布特征（如二項分布，泊松分布，超幾何分布等），則我們就可以直接利用典型分布的數(shù)學期望公式來求此隨機變量的期望.二點分布：，則二項分布：，，則幾何分布：,則有泊松分布：，有超幾何分布：,有方法三：性質(zhì)法當一個隨機變量的分布較為復雜時，若直接求它的數(shù)學期望會很困難，我們可以通過將它轉(zhuǎn)化成比較常見的簡單的隨機變量之和來解決．主要是利用數(shù)學期望的性質(zhì)來使問題簡單化．例2將n個球隨機地放入M個盒子中去，設(shè)每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望．解記，i=1,2,3，…，M,則。，所以因而所以方法四：利用逐項微分法這種方法是對于概率分布中含有參數(shù)的隨機變量而言的，我們可以通過逐項求微分的方法求解出隨機變量的數(shù)學期望，關(guān)鍵步驟是對分布列的性質(zhì)兩邊關(guān)于參數(shù)進行求導，從而解出數(shù)學期望.例3設(shè)隨機變量X服從幾何分布，求.解兩邊對p求導數(shù)得即方法五：利用條件數(shù)學期望公式法條件分布的數(shù)學期望稱為條件數(shù)學期望，它主要應用于二維隨機變量.在為二維離散隨機變量場合下，其計算公式為：或在連續(xù)型隨機變量場合下，條件數(shù)學期望同樣適用，其計算公式為例4設(shè)質(zhì)量與加速度是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為，試求外力F=ma的均值.解例5設(shè)~，當時，~，求.解由題意，于是方法六：特殊積分法連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望為，在計算連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望時，常常會用到一些特殊的求積分的性質(zhì)和方法，如奇函數(shù)在對稱區(qū)間的積分值為，還有第一換元積分等，都會給我們的計算帶來簡便.例6設(shè)隨機變量,證明.證在的積分表達式中做變換，即上式右端第一個積分的被積函數(shù)為奇函數(shù)，故其積分為0，第二個積分恰為.方法七：利用特征函數(shù)特征函數(shù)的定義：設(shè)是一個隨機變量，稱,，為的特征函數(shù)，設(shè)連續(xù)隨機變量有密度函數(shù)，則的特征函數(shù)為根據(jù)上式，我們可以求出隨機變量分布的特征函數(shù)，然后利用特征函數(shù)的性質(zhì)：求出數(shù)學期望，即．例7設(shè)隨機變量,求.解因為隨機變量,則X的特征函數(shù)為，其一階導數(shù)為則，由特征函數(shù)的性質(zhì)得3數(shù)學期望在實際生活中的應用3.1在醫(yī)學疾病普查中的應用醫(yī)療系統(tǒng)的檢驗人員在實際工作中經(jīng)常遇到大量人群中普查某種疾病.如甲肝的普查就需要對某地區(qū)大量人進行血檢.假設(shè)需要檢查個人的血，如果逐人驗血，則共需要檢驗次，平均每人一次.若把這個人大致分為組，每組個人，把這個人的血樣混合，首先檢驗混合血樣，平均每人次，如果結(jié)果呈陽性，則在逐個檢驗，即共需+1次，平均每人需次，當被普查人數(shù)眾多時，應用分組檢驗的方法能大大減少檢驗的次數(shù).例某地區(qū)的群眾患有肝炎的概率為0.004左右，假若要對該地區(qū)5000人進行肝炎感染的普查，問用分組檢驗方法是否比逐人檢驗減少檢查次數(shù).解將這5000人分成組，每組個人，每人所需檢驗的次數(shù)為隨機變量，則的概率分布為：每人的平均所需檢驗次數(shù)的期望為：（）=+=+1-+-=1+-易見，當=1，2，3，4,…時，，即每人平均所需次數(shù)小于1，這比逐人檢查的次數(shù)要少.并且由數(shù)學分析的知識可知當取16時，最小.即將5000人大致分為每組16人檢驗即可.3.2數(shù)學期望在體育比賽中應用隨著姚明和易建聯(lián)在NBA中取得成功，現(xiàn)在NBA比賽越來越多地受到中國人的青睞.而由于體育比賽結(jié)果的偶然性，使得大家對比賽結(jié)果的預測越來越感興趣.以2008年爵士隊和火箭隊在季后賽的第一輪相遇為例.根據(jù)規(guī)則，比賽是七場四勝制.現(xiàn)在我們就可以提出這樣一個問題，假設(shè)火箭隊爵士每場比賽的獲勝率都為50%，那么第一輪比賽結(jié)束時兩隊所需要比賽的場數(shù)是多少.很容易想到，兩個隊比賽結(jié)束的前提就是其中一個對已經(jīng)獲得了4場比賽的勝利.所以上述問題可能的結(jié)果又4、5、6、7場四種結(jié)果.我們下面應用數(shù)學期望的知識進行預測.首先，計算四種結(jié)果所對應的概率.由于每場比賽雙方獲勝概率一樣，所以只需計算其中一對最后乘以二即可.以兩隊比賽結(jié)束時共賽5場為例，假設(shè)火箭最終勝利.即火箭第五場勝利，且前四場恰好勝3場，又火箭每場勝率為50%，應用二項式定律可知，前面四場火箭恰好勝三場的概率為：；應用概率論中的乘法公式，可知賽五場而火箭獲勝的概率為：；所以，第一輪比賽恰好賽五場結(jié)束的概率為：.類似的方法，我們可以將另外三個結(jié)果對應的概率算出.結(jié)束時賽四場的概率為=0.125；賽六場的概率為：；賽七場的概率為：.設(shè)隨機變量為比賽場數(shù)，則可建立的分布律：45670.1250.250.31250.3125應用數(shù)學期望公式，計算的數(shù)學期望：所以，火箭和爵士季后賽第一輪比賽結(jié)束估計要賽六場.眾所周知，乒乓球是我們得的國球，中國隊在這項運動中具有絕對的優(yōu)勢.現(xiàn)就乒乓球比賽的安排提出一個問題：假設(shè)韓國隊和中國隊比賽，賽制有兩種，一種是雙方各出3人，三場兩勝制，一種是雙方各出5人，五場三勝制，哪一種賽制對中國隊更有利？由于中國隊在這項比賽中的優(yōu)勢，我們不妨設(shè)中國隊每一位隊員對韓國隊員的勝率都為60%.根據(jù)前面的分析，下面我們只需比較兩隊的數(shù)學期望即可.在五場三勝制中，中國隊要取得勝利，獲勝的場數(shù)有3、4、5三種結(jié)果.我們計算三種結(jié)果所對應的概率、應用二項式定律可知，恰好獲得三場勝利對應的概率：；恰好獲得四場對應的概率：；五場全勝得概率：.設(shè)隨機變量X為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數(shù)，則可建立X的分布律：3450.34650.25920.07776計算隨機變量X的數(shù)學期望：在三場兩勝制中，中國隊取得勝利，獲勝的場數(shù)有2、3兩種結(jié)果.勝兩場對應的概率為；三場全勝的概率為.設(shè)隨機變量Y為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數(shù)，則可建立Y的分布律230.4320.216（）=20.432+30.216=1.152比較兩個期望值，（）>(),所以我們可以得出結(jié)論，五場三勝制對中國隊更有利.3.3數(shù)學期望在經(jīng)濟問題中的應用3.3.1免費抽獎問題袋中裝有大小相同的球20個，10個10分，10個5分，從中摸出10個球，摸出的10個球分數(shù)之和即為中獎分數(shù)，獲獎如下：一等獎：100分，家電一件，價值2500元二等獎：50分，家電一件，價值1000元三等獎：95分，洗發(fā)精8瓶，價值176元四等獎：55分，洗發(fā)精2瓶，價值88元五等獎：60分，洗發(fā)精2瓶，價值44元六等獎：65分，牙膏一盒，價值8元七等獎：70分，洗衣粉一袋，價值5元八等獎：85分，香皂一塊，價值3元九等獎：90分，毛巾一條，價值2元十等獎：75分與80分為優(yōu)惠獎，僅收成本22元，你將得到洗發(fā)精一瓶.在解答該問題時，表面上看整個活動對顧客有利，一等獎到9等獎是白得的，只有十等獎收費，但也僅收回成本.事實上，我們用概率只是來分析一下：摸出10個球的分值只有11種情況，用表示摸獎者獲得的獎勵金額數(shù)，一等獎即得分100分，對應事件（=2500），該事件的概率服從超幾何分布，，取值分別為2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22，其概率可以類似求出如下表：用的平均值就可以看出獲利者，求出數(shù)學期望即可.250010001768844（）0.0000050.0000050.0005410.0005410.010968532-22（=）0.0779410.2386930.0779410.010960.582411，表明商家在平均一次的抽獎中，獲得10.098元錢.而平均每個抽獎者將花10.098元錢來享受這種免費抽獎，卻沒有機會獲得大獎.3.3.2保險公司獲利問題一年中一個家庭萬元被盜的概率是0.01，保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產(chǎn)保險，參加者需要繳納保險費100元，若在一年內(nèi)，萬元以上財產(chǎn)被盜，保險公司賠償元（<100），試問如何確定，才能使保險公司期望獲利？解只考慮保險公司對任意一家參保家庭的獲利情況，設(shè)表示保險公司對任一參保家庭的收益，則的取值為100或100-，其分布列為：100100-0.990.01根據(jù)題意，（）=1000.99+（100-）0.01=100-0.01>0解得<10000，又>100，所以（100，10000）時保險公司才能期望獲利.3.3.3決定生產(chǎn)批量問題決定生產(chǎn)批量問題是風險型經(jīng)濟決策問題.這種經(jīng)濟決策問題是物流企業(yè)進行生產(chǎn)決策經(jīng)常遇到的.選擇何種方案，多少產(chǎn)量直接關(guān)系到企業(yè)成本的控制，收益的高低，這些問題都是關(guān)系到企業(yè)管理和運營的重大問題，同時也困擾很多管理者.簡易可行的解決方法就是利用期望收益最大的原則進行方案選擇：即進行備選方案的收益(或損失)比較，選擇收益(或損失)最大(最小)的方案.例某工廠決定今后5年內(nèi)生產(chǎn)某電子產(chǎn)品的生產(chǎn)批量，以便及早做好生產(chǎn)前的各項準備工作，根據(jù)以往銷售統(tǒng)計資料及市場調(diào)查和預測知：未來市場出現(xiàn)銷路好、銷路一般、銷路差三種狀態(tài)的概率分別為0.3、0.5和0.2，若按大、中、小三種不同生產(chǎn)批量投產(chǎn)，今后5年不同銷售狀態(tài)下的益損值如下所示：狀狀態(tài)概率益損方案銷路好銷路一般銷路差0.30.50.2大批量益損2014-2中批量益損121712小批量益損81010試做出分析，以確定最佳生產(chǎn)批量.解比較期望益損法是常用的決策方法之一，下面算出每一方案的期望益損：比和均大，所以認為選擇中批量生產(chǎn)方案為優(yōu).3.3.4機器故障問題一部機器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.2，機器發(fā)生故障則全天停工，如果一周5個工作日均無故障，工廠可獲利潤10萬元，發(fā)生一次故障可獲利5萬元，發(fā)生三次或三次以上的故障，則要虧損2萬元，求這個工廠每周的期望利潤.解以表示一周內(nèi)機器發(fā)生故障的天數(shù)，則是=5時的二項分布（5，0.2），（=0，1，2，3，4，5），以表示工廠一周內(nèi)所獲得利潤，則的概率分布為：1050-20.3280.4100.2050.057故工廠一周的期望利潤是5.216萬元.3.3.5最佳進貨量問題設(shè)某一超市經(jīng)銷的某種商品，每周的需求量在10至30范圍內(nèi)等可能取值，該商品的進貨量也在10至30范圍內(nèi)等可能取值（每周只在周前進一次貨）超市每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應求，可從外單位調(diào)撥，此時一單位商品可獲利300元.試測算進貨量多少時，超市可獲得最佳利潤？并求出最大利潤的期望值.分析：由于該商品的需求量（銷售量）是一個隨機變量，它在區(qū)間上均勻分布，而銷售該商品的利潤值也是隨機變量，它是的函數(shù)，稱為隨機變量的函數(shù).本問題涉及的最佳利潤只能是利潤的數(shù)學期望即平均利潤的最大值.因此，本問題的解算過程是先確定與的函數(shù)關(guān)系，再求出的期望.最后利用極值法求出的極大值點及最大值.先假設(shè)每周的進貨量為，則利潤的數(shù)學期望為：的最大值元由計算結(jié)果可知，周最佳進貨量為23.33（單位），最大利潤的期望值為9333.3元.3.3.6求職決策問題有三家公司為大學畢業(yè)生甲提供應聘機會，按面試的時間順序，這三家公司分別記為、、，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位.每家公司根據(jù)面試情況決定給求職者何種職位或拒絕提供職位.按規(guī)定，雙方在面試后要立即做出決定提供，接受或拒絕某種職位，且不許毀約.咨詢專家在為甲的學業(yè)成績和綜合素質(zhì)進行評估后，認為甲獲得極好、好和一般的可能性依次為0.2、0.3和0.4.三家公司的工資承諾如表：公司極好好一般350030002200390029502500400030002500如果甲把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時，對該公司提供的各種職位應作何種選擇？分析：由于面試從公司開始，甲在選擇公司三種職位是必須考慮后面、公司提供的工資待遇，同樣在公司面試后，也必須考慮公司的待遇.因此我們先從公司開始討論.由于公司工資期望值為：再考慮公司，由于公司一般職位工資只有2500，低于公司的平均工資，因此甲在面對公司時，只接受極好和好兩種職位，否則去公司.如此決策時加工資的期望值為：元最后考慮公司，公司只有極好職位工資超過3015，因此甲只接受公司的極好職位.否則去公司.甲的整體決策應該如此：先去公司應聘，若公司提供極好職位就接受之.否則去公司，若公司提供極好或好的職位就接受之，否則去公司應聘任意一種職位.在這一決策下，甲工資的期望值為：元4結(jié)論本文重點討論了幾種簡化計算數(shù)學期望的方法和技巧，解法各具特色,但不是全部，除了上述一些求期望的方法外，還有“利用重期望公式法”，“利用α函數(shù)或β函數(shù)法”，“待定系數(shù)法”，“利用母函數(shù)法”，“利用分布的對稱性”等，應該根據(jù)具體情況選擇相應的方法，應靈活應用.然而，只要對數(shù)學期望的基本定義和隨機變量分布形式的特點有了透徹的理解，那么，對各種簡化計算方法和技巧的應用就會游韌有余了.本文利用數(shù)學期望解決了生活中的一些問題，比如疾病普查問題、抽獎問題、經(jīng)濟決策問題、生產(chǎn)