中考數(shù)學解題技巧 25 面積定值、等值問題

面積定值、等值問題一、方法突破定值問題【問題描述】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，拋物線在線段BC上方部分取一點P，連接PB、PC，若△PBC面積為3，求點P坐標．思路1：鉛垂法列方程解．根據(jù)B、C兩點坐標得直線BC解析式：y=-x+3，設(shè)點P坐標為，過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，則點Q坐標為（m，-m+3），，，分類討論去絕對值解方程即可得m的值．

思路2：構(gòu)造等積變形同底等高三角形面積相等．取BC作水平寬可知水平寬為3，根據(jù)△PBC面積為3，可知鉛垂高為2，在y軸上取點Q使得CQ=2，過點Q作BC的平行線，交點即為滿足條件的P點．當點Q坐標為（0,5）時，PQ解析式為：y=-x+5，聯(lián)立方程：，解之即可．當點Q坐標為（0,1）時，PQ解析式為：y=-x+1，聯(lián)立方程：，解之即可．等值問題【問題描述】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，拋物線上存在一點P使得△PBC的面積等于△BOC的面積，求點P坐標．思路1：鉛垂法計算出△BOC面積，將“等積問題”轉(zhuǎn)化為“定積問題”，用鉛垂法可解．思路2：構(gòu)造等積變形過點O作BC的平行線，與拋物線交點即為所求P點，另外作點O關(guān)于點C的對稱點M，過點M作BC平行線與拋物線的交點亦為所求P點．先求直線解析式，再聯(lián)立方程即可求得P點坐標．二、典例精析例一：在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點、．（1）求、滿足的關(guān)系式及的值．（2）如圖，當時，在拋物線上是否存在點，使的面積為1？若存在，請求出符合條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）點A坐標為（-2,0），點B坐標為（0,2），代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0（2）考慮A、B水平距離為2，△PAB的面積為1，故對應(yīng)的鉛垂高為1．當a=-1時，可得b=-1，拋物線解析式為y=-x2-x+2．取點C（0,3）作AB的平行線，其解析式為：y=x+3，聯(lián)立方程-x2-x+2=x+3，解得x=-1，故點坐標為（-1,2）取點D（0,1）作AB的平行線，其解析式為：y=x+1，聯(lián)立方程-x2-x+2=x+1，解得，．點坐標為、點坐標為．例二：拋物線L：經(jīng)過點A（0,1），與它的對稱軸直線x=1交于點B．（1）直接寫出拋物線L的解析式；（2）如圖1，過定點的直線與拋物線L交于點M、N．若△BMN的面積等于1，求的值．【分析】（1）解析式：；（2）考慮到直線過定點Q（1,4），且M、N均為動點，故考慮用割補法．，分別過M、N作對稱軸的垂線，垂足分別記為G、H，，考慮：聯(lián)立方程：，化簡得，，∴，解得：，（舍）．故k的值為-3．例三：如圖，拋物線的圖象過點、、．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得的周長最小，若存在，請求出點的坐標及的周長；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，在軸上方的拋物線上是否存在點（不與點重合），使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）拋物線解析式為：y=-x2+2x+3；（2）將軍飲馬問題，作點C關(guān)于對稱軸的對稱點C’（2,3），連接AC’，與對稱軸交點即為所求P點，可得P點坐標為（1,2），△PAC的周長亦可求．（3）過點C作AP平行線與拋物線交點即為M點，聯(lián)立方程得解；記AP與y軸交點為Q點，作點C關(guān)于Q點的對稱點點D，過點D作AP的平行線，與拋物線在x軸上方部分的交點即為所求M點，聯(lián)立方程得解．三、中考真題對決1．（2021?南通）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點是函數(shù)的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數(shù)，的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)，的圖象的“等值點”分別為點，，過點作軸，垂足為．當?shù)拿娣e為3時，求的值；解：（1）在中，令，得不成立，函數(shù)的圖象上不存在“等值點”；在中，令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或；（2）在函數(shù)中，令，解得：，，，在函數(shù)中，令，解得：，，，軸，，，，的面積為3，，當時，，解得，當時，，△，方程沒有實數(shù)根，當時，，解得：，綜上所述，的值為或；2．（2021?武漢）拋物線交軸于，兩點在的左邊）．（1）的頂點在軸的正半軸上，頂點在軸右側(cè)的拋物線上；①如圖（1），若點的坐標是，點的橫坐標是，直接寫出點，的坐標．②如圖（2），若點在拋物線上，且的面積是12，求點的坐標．解：（1）對于，令，解得，令，則，故點、的坐標分別為、，頂點坐標為，①當時，，由點、的坐標知，點向右平移1個單位向上平移3個單位得到點，四邊形為平行四邊形，故點向右平移1個單位向上平移3個單位得到點，則，，故點的坐標為，；②設(shè)點，點的坐標為，同理可得，點的坐標為，將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得，故點的坐標為；連接，過點作軸的平行線交軸于點，交過點與軸的平行線與點，則，解得（舍去）或2，故點的坐標為；3．（2021?海南）已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且點的坐標為、點的坐標為．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（3）如圖2，有兩動點、在的邊上運動，速度均為每秒1個單位長度，它們分別從點和點同時出發(fā)，點沿折線按方向向終點運動，點沿線段按方向向終點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒，請解答下列問題：①當為何值時，的面積等于；解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點，，解得，該拋物線的函數(shù)表達式為；（3）①在中，，當動點運動到終點時，另一個動點也停止運動，，，在中，，，當運動時間為秒時，，如圖，過點作軸，垂足為，則，，，，點的坐標為，，下面分兩種情形討論：Ⅰ、當點在線段上運動時，，此時，點的坐標為，，當時，，解得（舍去），，；Ⅱ、如圖，當點在線段上運動時，，，，，當時，，解得，，又，，綜上所述，當或時，；4．（2021?鞍山）如圖，拋物線交軸于點，，是拋物線的頂點，是拋物線上的動點，點的橫坐標為，交直線于點，交于點，交軸于點．（1）求拋物線的表達式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當時，求點的坐標；解：（1）拋物線交軸于點，，將、坐標分別代入拋物線解析式得：，解得：，拋物線的表達式為：；（2）如圖，是拋物線的頂點，拋物線的表達式為：，，交直線于點，是拋物線上的動點，點的橫坐標為，，設(shè)，，又的面積為，的面積為，，，，，即點分別是、的中點，又，，，，由中點坐標公式得：，解得：（與“”不符，應(yīng)舍去），，，，，，；5．（2021?山西）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接，．（1）求、，三點的坐標并直接寫出直線，的函數(shù)表達式．（2）點是直線下方拋物線上的一個動點，過點作的平行線，交線段于點．①試探究：在直線上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；②設(shè)拋物線的對稱軸與直線交于點，與直線交于點．當時，請直接寫出的長．解：（1）當時，，解得，，，，當時，，，，，直線的函數(shù)表達式為，，，直線的函數(shù)表達式為；（2）①存在：設(shè)點的坐標為，其中，，，，，，，當時，以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，分兩種情況：如圖，當時，四邊形為菱形，，，解得：，（舍去），點的坐標為，點的坐標為；如圖，當時，四邊形為菱形，，，解得：，（舍去），點的坐標為，，點的坐標為，；綜上，存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形為菱形，點的坐標為或，；②設(shè)點的坐標為，其中，，，拋物線的對稱軸為直線，直線的函數(shù)表達式為，直線，設(shè)直線的解析式為，點的坐標，，，拋物線的對稱軸與直線交于點．，，，，整理得：，解得：，（舍去），點的坐標為，點的坐標為，，答：的長為．6．（2021?連云港）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，已知．（1）求的值和直線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）為拋物線上一點，若，請直接寫出點的坐標；解：（1）將代入