2024屆全國百強名校領(lǐng)軍考試高二年級上冊數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆全國百強名校領(lǐng)軍考試高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知圓。的方程為d+y2+2x—4y—4=0,則圓心。的坐標(biāo)為()

A.(-l,2)B.(l,-2)

C.(-2,4)D.(2,-4)

2.幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點”、N是銳角NAQ3的一邊QA上的兩點，試在邊上找一點P,

使得NMPN最大的."如圖，其結(jié)論是：點P為過河、N兩點且和射線相切的圓的切點.根據(jù)以上結(jié)論解決一

下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOv中，給定兩點M(-L2),N(l,4),點p在x軸上移動，當(dāng)NMPN取最大值時，點P

的橫坐標(biāo)是()

B.2

C.1或-7

D.2或-7

1__

3.在一ABC中,NA、DB、NC所對的邊分別為。、b、c,若乙4=§,。=出，b=6，則NB=()

4.曲線y=/(x)在％=1處的切線如圖所示，則/。)一/(1)=()

5.觀察數(shù)列工（）,-士，!，。L的特點，則括號中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）

262030

1111

A.—,------

124012540

111

D.—,

1242

6.已知雙曲線C：13=1（?！?,匕＞0）的一條漸近線被圓（*一2）2+丁2=4所截得的弦長為2,的C的離

a

心率為()

A.0B.6

C.2D.非

22

7.方程上一+上一=1表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則左的取值范圍是（）

4一kk-1

,,5

A.1<上<一

2

5,“

C.左<1或左>4D.-<人<4

2

8.設(shè)是區(qū)間切上的連續(xù)函數(shù)，且在（a,與內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是。

A.f（x）的極值點一定是最值點

B./。）的最值點一定是極值點

C./（x）在區(qū)間［a,b\上可能沒有極值點

D./（x）在區(qū)間［a,可上可能沒有最值點

9.已知函數(shù)〃尤）及其導(dǎo)函數(shù)尸（龍），若存在/使得/&）=/'（%）,則稱/是〃%）的一個“巧值點”.下列選項中

沒有“巧值點”的函數(shù)是0

A./(%)=x2B./(x)=lnx

C.D./(x)=cosx

10.某機構(gòu)通過抽樣調(diào)查，利用2x2列聯(lián)表和K?統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān)，計算得K?=3.305,經(jīng)查對臨

界值表知。(片之2.706卜0.10,尸(片23.841)。0.05,現(xiàn)給出四個結(jié)論，其中正確的是()

A.因為K2>2.706，故有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”

B.因為K2<3.841,故有95%把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”

C.因為K2>2.706，故有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無關(guān)”

D.因為K?<3.841,故有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無關(guān)”

11.已知函數(shù)/⑺=xlnx+Mx—a)2(aeR),若對任意xe1,2,都有礦(尤)>“力成立，則a的取值范圍為

()

93

A.(-oo,-)B.(-co,-)

C.(-oo,V2)D.(-oo,3)

12.已知直線/1：%=-1,l2:x-^3y+5=0,點P是拋物線/=4x上一點，則點尸到直線4和4的距離之和的最

小值為()

5

A.2B.-

2

7

C.3D.-

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知正方形ABC。的邊長為2,對部分以為軸進行翻折，A翻折到4,使二面角A--C的平

面角為直二面角，則A'B-CD=?

2

14.數(shù)列｛4｝的前n項和S“滿足：Sn=n-ln-1,則

15.曲線y=xsinx在尤=,處的切線方程為.

16.過拋物線丁=2px(p〉0)的焦點E作直線交拋物線于A3兩點，。為坐標(biāo)原點，記直線。A03的斜率分別為

kvk2,則匕-k2=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知二次函數(shù)y=x?+2ax+2.

(1)若時，不等式y(tǒng)>3以恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

(2)解關(guān)于x的不等式+x>f+2ax+2(其中aeR).

18.(12分)記數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,已知點(〃,')在函數(shù)/(%)=/+2》的圖像上

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)2=-----,求數(shù)列也｝的前9項和

aM+i

19.(12分)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為

V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該

蓄水池的總建造成本為12000n元(n為圓周率)

(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域；

(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大

20.(12分)已知點4(—3,0),5(1,0),線段A3是圓"的直徑.

(1)求圓的方程；

(2)過點(0,2)的直線/與圓M相交于￡),E兩點,且|￡)國=26，求直線/的方程.

22

21.(12分)已知橢圓C:j+==l(a〉6〉0)的右頂點為A,上頂點為8.離心率為:，|48|=夕.

a1)一

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M,N是橢圓。上異于長軸端點的兩點(MN斜率不為0),已知直線/x=4,且跖垂足為M1,

NNJF垂足為若。且?！?乂的面積是面積的5倍，求面積的最大值.

22.(10分)已知橢圓C：9x2+j2=m2(/n>0),直線/不過原點。且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個交點A,B,線段

A5的中點為M

(1)證明：直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值；

VY1

(2)若/過點(了,加)，延長線段OM與C交于點尸，四邊形。4尸5能否為平行四邊形？若能，求此時/的斜率，若

不能，說明理由

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓心坐標(biāo).

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+iy+（y—2）2=9,圓心C的坐標(biāo)為（—1,2）.

故選：A.

2、A

【解析】根據(jù)米勒問題的結(jié)論，P點應(yīng)該為過點M、N的圓與x軸的切點，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（。力），寫出圓的方

程，并將點M、N的坐標(biāo)代入可求出點P的橫坐標(biāo).

【詳解】解：設(shè)圓心。的坐標(biāo)為（。*），則圓的方程為（％—aY+（y—5）2=/,

(-l-a)2+(2-b)2=b2

將點M、N的坐標(biāo)代入圓的方程得

(一『+(4

a—\a=—7

解得7C或7（舍去），因此，點尸的橫坐標(biāo)為1，

b=2[b=10

故選:A.

3、B

【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結(jié)合正弦定理，即可求得比

,A/30

nh------=______

【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理一^=」；，可得：石一sinB，

sinAsinB

2

解得sin5考,故可得”或Y，

冗

由〃〉/?,可得故8=—

4

故選：B.

4、C

【解析】由圖示求出直線方程，然后求出/(i)=-g,r(i)=1,即可求解.

【詳解】由直線經(jīng)過(0,-1),(2,0),可求出直線方程為：x—2丁一2=。

；丁=/(%)在兀=1處的切線

x-211

??/(D=-=/⑴=5

???八1)小)=;-1!=i

故選：c

【點睛】用導(dǎo)數(shù)求切線方程常見類型：

(1)在「(%,%)出的切線：「(%,%)為切點，直接寫出切線方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)；

⑵過出的切線：&%,%)不是切點，先設(shè)切點，聯(lián)立方程組，求出切點坐標(biāo)(%,％)，再寫出切線方程:

＞一%=/'(%)。一再).

5、D

/,\"+11

【解析】利用觀察法可得可=一1(即得.

/\n+l1

【詳解】由題可得數(shù)列的通項公式為4=-1(

_11

,"運"6=一行

故選：D

6、C

【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程，根據(jù)直線和圓相交弦長可得圓心到直線的距離，進而可得34=加，

結(jié)合儲+82=。2,可得離心率.

h

【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=—x,即云-@=0,被圓(x—2)9+/=4所截得的弦長為2,所以圓心(2,0)

a

到直線的距離為JF=7=舊,

d=

=I,2>解得3a2=/,e=±=叵L=2

7a~+aa

故選：C

【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點到直線距離等基本知識，考查了運算求解能力

和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.

7、D

【解析】根據(jù)曲線為焦點在y軸上的橢圓可得出答案.

22

【詳解】因為方程二一+二二=1表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，

4-kk-1

所以左一1>4—左>0,解得』<左<4.

2

故選：D.

8、C

【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關(guān)系即可判斷

【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，Ax)的極值點不一定是最值點，A*)的最值點不一定是極值點.可能是

區(qū)間的端點，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A,B,D都不正確，若函數(shù)/(元)在區(qū)間切上單調(diào)，

則函數(shù)f(x)在區(qū)間勿上沒有極值點，所以C正確

故選：C.

【點睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題

9、C

【解析】利用新定義：存在內(nèi)使得/(%)=/'(/)，則稱/是/(X)的一個“巧點”，對四個選項中的函數(shù)進行一一的

判斷即可

【詳解】對于A,f(x)=x2,則((x)=2x,令必=2%，解得x=0或X=2,即尸(幻=/(幻有解，故選項A的

函數(shù)有“巧值點”，不符合題意；

對于B,/(x)=lnx,貝！|f(x)=L令lnx=L,令g(x)=lnx-L(x>0),則g(x)在x>0時為增函數(shù)，；g(l)=-l<0,

xx尤

g(e)=l-->0,由零點的存在性定理可得，g(x)在(l,e)上存在唯一零點，即方程/'(%)=/(%)有解，故選項B的

e

函數(shù)有“巧值點”，不符合題意；

對于C,/(x)=eT,則r(x)=-令e-*=-e-x，故方程無解，故選項C的函數(shù)沒有“巧值點”，符合題意;

對于D,/(x)=cosx,貝!]r(尤)=-sin尤，

令一sinx=cosx,

則sinx+cosx=0=>V2sinx+—=0=>x+—==-,A:eZ.

I4J44

???方程/'(x)=/(x)有解，故選項D的函數(shù)有“巧值點”，不符合題意

故選：C

10、A

【解析】根據(jù)給定條件利用獨立性檢驗的知識直接判斷作答.

【詳解】因K?=3.305,且3.305>2.706,由臨界值表知，P(^2>2.706)-0.10,1-0.1=90%,

所以有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”，則A正確，C不正確；.

因臨界值3.841>3.305,則不能確定有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”，

也不能確定有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無關(guān)”，即B,D都不正確.

故選：A

11、C

【解析】求出函數(shù)/(%)的導(dǎo)數(shù)，再對給定不等式等價變形，分離參數(shù)借助均值不等式計算作答.

【詳解】對函數(shù)/(x)=xlnx+x(x-6/)2求導(dǎo)得：/'(犬)=1+lux+(x-a)2+2x(x-a),

VXG[-,2],礦(x)>〃x)ox[l+lnx+(x—a)2+2x(%—〃)]>xlnx+x(x—a)2,

2

則X/xwd,2],2a<2x+~,而2x+、2=2近,當(dāng)且僅當(dāng)2%=1，即》時，，=",

2xxVxx2

于是得2a<20，解得a<Ji，

所以。的取值范圍為(-叫、歷).

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.

12、C

【解析】由拋物線的定義可知點P到直線4和4的距離之和的最小值即為焦點/(1,0)到直線4的距離.

【詳解】解：由題意，拋物線的焦點為b(1,0),準(zhǔn)線為4：x=-i,

所以根據(jù)拋物線的定義可得點p到直線4的距離等于|母|,

|l-^xO+5l

所以點p到直線4和i,的距離之和的最小值即為焦點/(1,0)到直線4的距離d=I/冒=3，

故選：c.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-2

【解析】根據(jù)之)=最，則4>Bcb=4%?原，根據(jù)條件求得向量夾角即可求得結(jié)果.

【詳解】由題知，CD=BA'取8。的中點。連接如圖所示，

則AO，5D,4O，5。，又二面角A-BD-C的平面角為直二面角，

則？AO490°,又AO=A'O=0,

ff2萬

則A4'=2,八W為等邊三角形，從而<4昆比1>=3-,

——tt27r

則A'BCZ>=A'B3A=2x2xcos—=-2,

3

故答案為：-2

；-2,n=l

14、\

2n-3,n>2

【解析】利用“當(dāng)〃=1時，4=耳；當(dāng)時，a〃=S“一S“T”即可得出.

22

[詳解】當(dāng)“22時，??=5?-5?_1=H-2n-l-[(n-l)-2(n-l)-l]=2n-3,

當(dāng)九=1時，q=S]=l-2-l=-2,不適合上式,

-2,(n=l)

數(shù)列｛4｝的通項公式4=<

2〃一3,(〃>1)

-2,n=l

故答案為：<

2n-3,n>2

15、,=%

【解析】先求出函數(shù)y=%sinx的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】解：由y=xsinx,

得y'=sinx+xcosx,

則y'U，

2

即當(dāng)尤=工時，y>

2-2

所以切線方程為：丁=龍，

故答案為：y=%.

【點睛】本題考查了曲線在某點處的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.

16、-4

【解析】過焦點歹作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進行分類討論.

【詳解】拋物線r=2px(p>0)的焦點F(1,0)

當(dāng)過焦點R的直線斜率不存在時，直線方程可設(shè)為％=券，不妨令A(yù)(W，p),B(g,—p)

k=B=2k=—=-2

則％二故匕.&=2x(—2)=_4

當(dāng)過焦點e的直線斜率存在時，直線方程可設(shè)為y=k(x-g),令4(西,%),3(々,%)

由<y=以*一萬)整理得442/_4p(k?+2)x+k~p~=0

y=2px

貝！I%+x2=P*2+2),xtx2=—，

k4

2

X%=左2(X]—g?--1)=kxxx2_，(玉+X2)+

—歐a+%)+止.以^^21g

12

占此=&x涯=里=P+24=E+———￡-------=-4

%x2xrx2xxx2p~

T

綜上，匕?42=—4

故答案為：—4

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)。<20；(2)答案見解析.

【解析】(1)結(jié)合分離常數(shù)法、基本不等式求得a的取值范圍.

(2)將原不等式轉(zhuǎn)化為(1-2)(疑+1)>0,對。進行分類討論，由此求得不等式的解集.

【詳解】(1)不等式/(力>3依即為：x2-ax+2>0,

rix2+22/2)

當(dāng)XG1,5時，可變形為：a<^—^=x+~,即a<X+—.

XXIX人ni

XX+|>2^|=2A/2,當(dāng)且僅當(dāng)X=2,即尤=041,5］時，等號成立,x+2]=2。,即a<2萬

xJmin

二實數(shù)a的取值范圍是：a<26.

(2)不等式(Q+l)f+%>/(%),即(a+l)f+%>x2+26a+2,

等價于av?+(l-2^)x-2>0,即(％—2)(依+1)>。,

①當(dāng)。=0時，不等式整理為x—2>0,解得：x>2；

當(dāng)awO時，方程(x—2)(ta+l)=0的兩根為：石=—：，x2=2.

②當(dāng)a>0時，可得—：<0<2,解不等式(％—2)(依+1)>0得：x<—：或x>2；

③當(dāng)—g<a<0時，因為—!〉2,解不等式(x—2)(ta+l)>0得：2<%<-!；

④當(dāng)。=—g時，因為一：=2,不等式(％—2)(依+1)>0的解集為0；

⑤當(dāng)a<—萬時，因為—<2,解不等式(x—2)(<zx+1)>0得：—<x<2

綜上所述，不等式的解集為:

①當(dāng)a=0時，不等式解集為(2,+8)；

②當(dāng)a>0時，不等式解集為Ju(2,+oo)；

③當(dāng)一，<“<0時，不等式解集為(2,—，］；

2<a)

④當(dāng)。=—工時，不等式解集為0;

2

⑤當(dāng)。<一工時，不等式解集為1-，,21.

2a)

18、(1)an=2n+l

⑵-

7

【解析】(1)利用乙,S"的關(guān)系可求4=2"+1.

(2)利用裂項相消法可求數(shù)列｛2｝的前9項和

【小問1詳解】

由題意知色=/+2"

當(dāng)時，an=Sn-Sn_}=2n+\-

當(dāng)”=1時，q=Si=3,適合上式

所以4=2〃+1

【小問2詳解】

2_2_]1

ctnan+x(2n+1)(2〃+3)2幾+12〃+3

…71111111162

貝!]&+仇++7a=----------1------------F-\--------------------------————

935571921321217

19、(1)V(r)=—(300r-4r3)(0,5?)

5

(2)見解析

【解析】(D先由圓柱的側(cè)面積及底面積計算公式計算出側(cè)面積及底面積，進而得出總造價，依條件得等式

200?不泌+160乃/=12000萬，從中算出丸=」-(300—4/),進而可計算

5r

1JT

V(r)=nr2h=7vr2x—(300-4r2)=-(300r-4r3),再由廠>0,丸>0可得0<r<5百；(2)通過求導(dǎo)

5r5

Vf(r)=|(300-12r2),求出函數(shù)V(r)在0<r<56內(nèi)的極值點，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而得出丫取

得最大值時廠,〃的值.

(1)???蓄水池的側(cè)面積的建造成本為200?%明元，底面積成本為160萬/元

二蓄水池的總建造成本為200-萬泌+160萬/元

所以即200?乃歷+160乃/=12(X)0乃

1

.,"=丁(300-4產(chǎn)9)

1JT

：.V(r)=7rr2h=Tz-r2x—(300-4r2)=-(300r-4r3)

5r5

又由廠>0,/z>0可得0<r<56

故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5百)

⑵由⑴中V(r)=3300—47),0<廠<5百

可得V'⑺=g(300—12/)(0<廠<5白)

jr

令V，(r)=《(300—12/)=0,則r=5

.?.當(dāng)re(0,5)時，口(廠)>0,函數(shù)丫⑺為增函數(shù)

當(dāng)re(5,5石),V'⑺<0,函數(shù)丫⑺為減函數(shù)

所以當(dāng)廠=5,〃=8時該蓄水池的體積最大

考點：1.函數(shù)的應(yīng)用問題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).

20、(1)(x+l)2+y2=4；

(2)x=0或3x-4y+8=0.

【解析】(DAB兩點的中點為圓心，AB兩點距離的一半為半徑；

⑵分斜率存在和不存在，根據(jù)垂徑定理即可求解.

【小問1詳解】

已知點4—3,0),8(1,0),線段A3是圓M的直徑，

則圓心M坐標(biāo)為(―1,0),.,.半徑忸M=2,.?.圓M的方程為(x+l)2+y2=4；

【小問2詳解】

由⑴可知圓M的圓心M(T,O),半徑為2.

設(shè)N為。石中點，則\DN\=\EN\=12C=g,

2

則巾=也-(回=i.

當(dāng)/的斜率不存在時，/的方程為％=0,此時|MN|=1,符合題意;

當(dāng)/的斜率存在時，設(shè)/的方程為y=H+2,即依一y+2=0,

\-k+2\,3

則一/2，=1，解得k=一,

4

3

故直線’的方程為尸片+2,即31尹8"

綜上，直線/的方程為％=0或3x—4y+8=0.

22

21、(1)。二=1

43

3

(2)面積的最大值為一

4

c1

e=-=—

a2

【解析】(1)由離心率為|AB|=",得或2+,=幣,解得",02,進而可得答案

-c2=a2-b2

(2)設(shè)直線MN的方程為尤=陽+〃，M(X，%),N(%,%)，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理可得

113

M+%，%%，由弦長公式可得|MN|,點。到直線MN的距離d，則5麗=51“仙/二萬|乂-%川耳-川，

135

L叫萬)=/乂一%1，由0MN］的面積是DW面積的5倍，解得〃，再計算

131

SDMN二萬1M-，2川萬一川=/%-、2?的最大值，即可

【小問1詳解】

解：因為離心率為:，|AB\=yfl,

c1

e----

a2

Ja1+b2=y/1,

所以

c2=a2-b2

解得/=4，b2=39c2=19

22

所以工+匕=1

43

【小問2詳解】

解：設(shè)直線的方程為》=四+〃，〃（石，％）,N%,%），

x=my+n

聯(lián)立22得(3根之+4)y2+6mny+3n2-12=0,

—%+—y=1i

143

6mn3n2-12

所以％+%=-

3m2+4

所以IMNI=Ji+病|%一

\--n\

點。到直線肋V的距離”「金，

71+m2

仁已〔〔______