2023初中函數(shù)與幾何題解析(共25題)

初中函數(shù)與幾何題解析（25題）

一、填空題

1.（2023.四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系，中，點8的坐標為（-8,6）,過點8分別作

x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C、點A,直線y=-2x-6與A8交于點D與y軸交于點E.動點M在線

段BC上，動點N在直線y=-2x-6上，若AMN是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，則點M的坐標

為________

【答案】例（一8,6）或用,8。）

【分析】如圖，由SMN是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，可得N在以AM為直徑的圓H上，

MN=AN,可得N是圓H與直線了=-2*-6的交點，當重合時，符合題意，可得M（-8,6）,當N在40

的上方時,，如圖，過N作軸于J,延長MB交BJ于K,則NNZ4=47KN=90。，JK=AB=8,證

睨：.MNK”.NAJ,設(shè)N（x,-2x-6）,可得MK=N/=-x,A7V=A7=-2x-6-6=-2x-12,而K/=AB=8,

則-2x-12-x=8,再解方程可得答案.

【詳解】解：如圖，

是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，

二N在以AM為直徑的圓〃上，MN=AN,

N是圓H與直線y=-2x-6的交點，

”（-8,6）,則H（-4,3）,

:.MH=AH=NH=4,符合題意，

M（-8,6）,

當N在AM的上方時，如圖，過N作W_Ly軸于J,延長MB交BJ于K,則NN/A=NMKN=90。,

JK=AB=8,

,:AN=MN,ZAMW=90°,

JZMVK+ZAA（/=90。,

JZMNK=ANAJ,

:?二MNKMLNAJ,設(shè)N（x,—2x—6）,

:?MK=NJ=—x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-l2,

而AV=AB=8,

??—2x—12—x=8,

解得：戶-手20，則—2元-6=?22

22202

:?CM=CK-MK=-------=-,

333

-8,|;

綜上：M（—8,6）或加18,|）.

故答案為：/（-8,6）或例［-8,|）.

【點睛】本題考查的是坐標與圖形，-次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于A,B兩點，點。是線段

AB上一動點，點〃是直線y=-gx+2上的一動點，動點E（m,0）,F（m+3,0）,連接BE,DF,HD.當

3E+。尸取最小值時，33〃+5?！钡淖钚≈凳?/p>

【分析】作出點。（3，-2）,作CDLAB于點。，交x軸于點F,此時8E+D尸的最小值為CO的長，利用解

直角三角形求得尸利用待定系數(shù)法求得直線C。的解析式，聯(lián)立即可求得點。的坐標，過點。作

。6，，軸于點6,此時38"+5。”的最小值是5OG的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???直線y=-§x+2與x軸，y軸分別交于4,8兩點,

.?.8(0,2),4(6,0),

作點8關(guān)于x軸的對稱點9(0，-2),把點B'向右平移3個單位得到C(3,-2),

作CZ)_L43于點O,交x軸于點F,過點夕作交x軸于點E,則四邊形EFCB'是平行四邊形,

此時，BE=BE=CF,

：.BE+DE=CF+DF=C￡）有最小值,

作CPLx軸于點P,

則CP=2,OP=3,

"：NCFP=ZAFD,

：.NFCP=NFAD,

tanZ.FCP=tanZ.FAD,

.PFOBPF2

??---=---,即----=一

PCOA26

=則嗒，o），

設(shè)直線8的解析式為y=

3%+b=-2

k=3

則,解得

—k+b=0b=-\\

3

???直線CD的解析式為y=3x-ll,

39

y=3x-llx——

10

聯(lián)立,1c，解得，

y=——x+27

3y=—

10

即。

過點。作￡>G，y軸于點G,

直線y=_gx+2與X軸的交點為則吟“行+加

3

???sinZOB2=^=f=-,

BQ55

2

3

???HG=BHsinNGBH=-BH,

??.3BH+5DH=5^BH+DH^=5（HG+DH）=5DG,

3939

即33"+5。”的最小值是5OG=5x===，

102

故答案為：.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學(xué)知識解決問題.

3.(2023?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題)二次函數(shù)〉=a(x-l)(x-5)，>￡|的圖像與％軸交于點A、B,與軸

交于點C,過點〃(3，1)的直線將JWC分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，貝!］。的值

為.

【答案】白或竺包或叵比

1052

【分析】先求得A(l,0),3(5,0),C((),5a),直線BM解析式為y=-^+|,直線AM的解析式為y=,

1)、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線，則①如圖1,直線AM過BC

中點，②如圖2,直線8M過AC中點，直線BM解析式為y=-gx+|,4c中點坐標為待入直

Q

線求得a=而；③如圖3,直線CM過A3中點，A3中點坐標為(3,0),直線MB與>軸平行，必不成立；2)

當分成三角形和梯形時，過點〃的直線必與一一邊平行，所以必有“A”型相似，因為平分面積，所以

相似比為1:血.④如圖4,直線AB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；⑤如圖5,直線ME〃AC,

AE1

⑥如圖6,直線陞〃8C,同理可得7r正,進而根據(jù)tan=tan/C8O,即可求解.

【詳解】解：由y=a(x-l)(x-5),令x=0,解得：y=5a,令y=0,解得：為=1,々=5,

/.A(1,O),8(5,0),C(0,5a),

設(shè)直線BM解析式為y=k.y+h,

15上+b=0

(3%+)=1

解得：

h=-

2

直線BM解析式為丫=一；*+1,當x=0時，y=|,則直線BM與y軸交于

*.*ci>一,

2

5ci>一,

2

???點/必在JlBC內(nèi)部.

1）、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線

設(shè)直線AM的解析式為y=mx+n

.］左+。=0

u，［3k+b=\

1

m=—

2

解得：］

n=——

2

則直線A"的解析式為y=gx-；

①如圖1,直線4W過8C中點，，

BC中點坐標為住手），代入直線求得a=不成立；

乙乙）IUN

②如圖2,直線過AC中點，直線BM解析式為），=-；》+|,AC中點坐標為待入直線求得

9

a--；

10

③如圖3,直線C0過A3中點，A5中點坐標為（3,0）,

.,?直線MB與＞軸平行必不成立;

2）、當分成三角形和梯形時，過點M的直線必與jABC-邊平行，所以必有型相似，因為平分面積,

所以相似比為1：血.

④如圖4,直線&0〃A3,

:…CENs；.cOA

?_C_E___C__N___1_

**CO-C4-72

.5"1二1

~,

5a5/2

BE1

.??茄=&,又AB=4,

BE=2>/2,

'''BN=5-3=2<2應(yīng),

...不成立；

AE1

⑥如圖6,直線ME〃BC,同理可得而=屹，

:?AE=2五,NE=2叵一2,tanZMEN=tanZCBO,

綜上所述‘人得或?qū)W或年.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識,

并分類討論是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

4.(2023?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，YA5C。的頂點B,C在x軸上，D

在y軸上，OB,OC的長是方程/-6x+8=0的兩個根(O8>OC).請解答下列問題：

(1)求點B的坐標；

(2)若。。:OC=2:1,直線N=-x+b分別交x軸、>軸、A。于點E,F,M,且M是AD的中點，直線EF交

DC延長線于點M求tanZMND的值；

(3)在(2)的條件下，點P在y軸上，在直線EF上是否存在點Q,使△NPQ是腰長為5的等腰三角形？若

存在，請直接寫出等腰三角形的個數(shù)和其中兩個點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)3(7,0)

(2)tanNMNQ=g

(3)存在，等腰三角形的個數(shù)是8個，Qj色芋，吟心］,Q,(4,-3),0(T,3)

\7\/

【分析】(1)解方程得到OB,OC的長，從而得到點B的坐標；

(2)由?！?:OC=2:1,OC=2,得OD=4.由AD=BC=6,M是AO中點，得到點用的坐標，代入直

線y=_x+b中，求得6的值，從而得到直線的解析式，進而求得點E,點尸的坐標，由坐標特點可得

NFEO=45。.過點。作。“上砒于“，過點N作NKLBC于K.從而ADOCsANKC,

DO:OC=NK:CK=2:\,進而得到NK=2CK,易證NKEN=NKNE=45。,可得EK=NK=2CK,因此

EC=CK,由EC=OC—OE=2-1=1可得CK=1,NK=2,EK=2,從而通過解直角三角形在Rt_ENK中，

得到EN=-EK=2應(yīng),在RtZ^ECH中，CH=EH=ECcosACEH=—,因此求得

cosNKEN2

NH=EN-EH=,最終可得結(jié)果tan乙MND=-=:；

2NH3

(3)分PN=PQ,PN=NQ,PQ=NQ三大類求解，共有8種情況.

【詳解】（）解方程得再

16X+8=0,=4,X2=2.

OB>OC,

.\OB=4,OC=2.

??.B（Y,O）；

（2）00:00=2:1,OC=2

:.OD=4.

四邊形458是平行四邊形，

..AD//BC,AD=BC=6.

股是A3中點，

:.MD=3.

將”（一3,4）代入y=T+b,得3+人=4.

A￡（1,0）,尸（0,1）.

"￡0=45。.

過點。作C”,硒于從過點N作NKLBC于K.

△DOCs/\NKC,DO:OC=NK:CK=2：］.

：.NK=2CK

/KEN"FEO=45。

JZKNE=90。一/KEN=45。

???/KEN=/KNE

：.EK=NK=2CK

：.EC=CK

EC=OC-OE=2-1=\

:?CK=1,NK=2,EK=2

EK

???在Rt.ENK中，EN=--二20

cos4KENcos45°

在RtA￡CH中，CH=EH=EC-cosNCEH=l-cos45°=—

2

/.NH=EW-EH=2^--=—

（3）解：由（2）知：直線E尸解析式為y=-x+l,N（3,—2）,

設(shè)尸（O,P），。（4，-4+1），

①當小=?？?5時—，

(3-0)2+(-2-p)2=52,(3-？)2+(-2+^-1)2=52,

竽或g6-5&

解得P=-6或p=2,q=

2

"6-5725a-4、50+4、

，爪0,-6),2(0,2),

-2~-2-

如圖，YQ"、PQN、鳥QW、..當2N都是以5為腰的等腰三角形,

"6-55/25&-4、6+5應(yīng)5五+4

由①知：Q-2-，-2-Q?~2~

..6+50.

,---------->5，

2

???PQ不可能等于5,

由①知：4（0,-6）,￡（0,2）,

當尸（0,-6）時，（O—gf+iw+qTyMS,

解得4=3（舍去），%=4,

.?4,-3）,

解得名=3（舍去），％=-4,

如圖，

綜上，等腰三角形的個數(shù)是8個，

符合題意的Q坐標為Q［七|立，義|心］,Q/"箸，一封|處］,a（4,-3）,2（Y,3）

\7\/

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)與平行四邊形，等腰三角形的綜合問題，數(shù)形結(jié)合

思想是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，點A,B,C在。上運動，滿足A8?=次丁+AC?,延長AC至點D,

使得N￡>BC=NCM,點E是弦AC上一動點（不與點A,C重合），過點E作弦A3的垂線，交AB于點色

交8C的延長線于點M交。于點〃（點M在劣弧4c上）.

（1）8。是:？。的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明：

（2）記.即C,ABC,AQ3的面積分別為SPS2,S,若S「S=（Sj2,求（tan。）？的值；

（3）若。的半徑為1,設(shè)FE-FN-.—5—+—!—=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出

VBCBNAEAC

自變量x的取值范圍.

【答案】（1）3。是,。的切線，證明見解析

2

(3)y=x(0<x<l)

【分析】(1)依據(jù)題意，由勾股定理，首先求出NACB=9()。，從而NC43+NABC=90。，然后根據(jù)

4DBC=NCAB,可以得解；

(2)由題意，據(jù)S「S=(S,y得8(C￡>+AC)=AC2,再由tanNO=^=tan/4BC=^,進而進行變形

CDBC

利用方程的思想可以得解；

(3)依據(jù)題意，連接OM,分別在RjOFM、Rt_AFE,Rt_3RN中，找出邊之間的關(guān)系，進而由

FEFN-J~--+—--=y,可以得解.

VBCBNAEAC'

【詳解】(1)解：BD是。的切線.

證明：如圖，在一ABC中，AB2=BC2+AC2,

：.ZACB=90°.

又點A,B,C在O上，

??.A3是。的直徑.

ZACB=9Q°,

：.ZCAB+ZABC=90°.

又NDBC=NCAB,

：.ZDBC+ZABC=90°.

，？ABD90?.

BD是:,。的切線.

(2)由題意得，S,=^BCCD,S2=^BCAC,S=^ADBC.

"”=6)2,

：.-BCCD-ADBC=[-BCAc\.

22U)

CD*AD=AC2.

：.CD(CD+AC)=AC2.

XVZD+ZDBC=90°,ZA8C+ZA=90。，NDBC=ZA,

ZD=ZABC.

?,?tanNZ)=BC=tanN/A8nC-=AC.

CDBC

BC2

?.?CADx---------

AC

又CD(C￡>+AC)=AC2,

/.^y+BC2=AC2.

，BC"+AC2-BC2=AC4.

由題意，設(shè)（tanZ）y=m,

l+m=m2.

?1土布

??in=-----?

2

Vm>0,

.1+石

??fn=-----.

2

(tanD)2=1+￡.

(3)設(shè)NA=a,

*/ZA+ZABC=ZABC+ZDBC=ZABC+Z7V=90。，

???ZA=ZDBC=ZN=a.

???在RtZ\O尸M中，OF=yJOM2-FM2=-

BF=BO+OF=]+y/l-x2?AF=OA-OF=\-y]\-x2?

AF1-Vl-x2

???在Rt..AFE中,EF=AFtana=?tana,

cosacosa

在RtAABC中，5C=ABsina=2sina.(r=1,**.AB=2)

AC=ABcos<2=2cosa.

在RtZiB/W中，BN=-^-=—X-X-FN—J+N

sinasinatanatana

~i-

y=FE?FN-----------H------------

BCBNAEAC

=x~2?

212-2d1-+2+2yl1-%2

tX4-4(l-x2)

=x2-

X

=x.

即y=%.

FMLAB,

JEW最大值為尸與。重合時，即為1.

0<x<l.

綜上，y=x(0<x41).

【點睛】本題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，切線的判定定理，求角的正切值，解題時要熟練掌握并靈活運用.

6.(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)乂+優(yōu)x+q與%=。/2+%》+02同時滿

足用=W+他+始2+h-4|=0,4-后您工0,則稱函數(shù)%與函數(shù)必互為“美美與共”函數(shù).根據(jù)該約定，

解答下列問題：

⑴若關(guān)于x的二次函數(shù)％=2/+履+3與必=加^+》+〃互為“美美與共”函數(shù)，求如〃的值；

(2)對于任意非零實數(shù)r,s,點尸土,，)與點。(s,f)(rws)始終在關(guān)于x的函數(shù)y=W+2rx+s的圖像上運動,

函數(shù)*與乃互為“美美與共”函數(shù).

①求函數(shù)為的圖像的對稱軸;

②函數(shù)為的圖像是否經(jīng)過某兩個定點？若經(jīng)過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由：

（3）在同一平面直角坐標系中，若關(guān)于X的二次函數(shù),=取2+汝+。與它的“美美與共”函數(shù)為的圖像頂點分

別為點4點B,函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點C,D,函數(shù)丫2的圖像與x軸交于不同兩點E,F.當CD=EF

時，以A,B,C,。為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理

由.

【答案】（1法的值為-1,"的值為3,〃的值為2

⑵①函數(shù)”的圖像的對稱軸為*=-；：②函數(shù)必的圖像過兩個定點（。,1）,「■!』），理由見解析

（3）能構(gòu)成正方形，此時S>2

【分析】（1）根據(jù)題意得到生=4=即可解答；

22

（2）①求出的對稱軸，得到s=-3r,表示出>'2的解析式即可求解;②％=-3^-2rr+1=-（3x+2x）r+1,

令3f+2x=0求解即可；

（3）由題意可知X=以2+6x+c,,2="2-法+a得至!IA、8的坐標，表示出CDEF,根據(jù)C￡>=EF且

b2-4ac>0,得到|a|=|c|,分。=-。和a=c兩種情況求解即可.

【詳解】（1）解：由題意可知：?2=c2,a,=c2,4=-優(yōu)力0,

???機=3,n=2,k=—\.

答：%的值為-1，機的值為3,〃的值為2.

（2）解：①?.?點尸6,。與點Q（S,t）（r*s）始終在關(guān)于X的函數(shù)y=/+2rr+s的圖像上運動,

r-4-c2r

，對稱軸為"二守"一三，

/.s=-3r,

2

y2=sx-2rx+l,

.??對稱軸為x=-—?2r=￡r=-1：.

2ss3

答：函數(shù)為的圖像的對稱軸為x=-g.

②必=-3次2-2加+1=-（3/+2工）r+1,令3f+2x=0,解得玉=。多=-§,

，過定點（o,。，1.

答：函數(shù)V的圖像過定點(0，1)，

2

(3)解：由題意可知y=o?+法+。，y2=cx-bx+a,

..(b4ac-b2Jb4ac-b2}

..A\-----,----------

I2a4aJ

.yJb2-4ac\Jb2-4ac

??CD=——7-——,EF=---------

同|n。|

*：CD=EFSLb2-4ac>0,

?'?kl=ld

22

①若a=_c,則y=ax+bx-a,y2=-ax-bx+a,

要使以A,B,C,。為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形,

則4c40,「C3O為等腰直角三角形，

*'?。。=2回|，

.揚+4。2r4a2一〃I

\a\4〃

2-Jb2+4a2=b2+4cz2，

b1+4A2=4>

1-c，1b--4ac1b2+4a22

;-=----—=-r

-2CD-=-2------a-22a2a2

V^2=4-4a2>0>A0<a2<l,^^>2；

②若。=c,則A、8關(guān)于y軸對稱，以4B,C,O為頂點的四邊形不能構(gòu)成正方形,

綜上，以4,B,C,。為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形，此時S>2.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思

想解決問題.

7.（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A3CZ）是邊長為4的菱形，N4=6O。，點。為C￡）的中點,

戶為線段43上的動點，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB'C'Q.

（1）當NQPB=45。時，求四邊形法TCC的面積；

（2）當點尸在線段A8上移動時，設(shè)=四邊形88'C'C的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達式.

【答案】(D46+8

(2)S=32^X+4^

x+12

【分析】（1）連接8。、BQ,根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得8DC為等邊三角形，根據(jù)NQP8=45°,

可得P8。為等腰直角三角形，則PB=27LPQ=2娓,根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得NW>8'=90。，PB=PB',

則BB'=2",PE=指;同理CQ=2,CC'=2&，。尸=也；進而根據(jù)S四邊形所因=2S秘形的2-5加歹+S0紂,

即可求解；

（2）等積法求得BE=/,則QE=/F根據(jù)三角形的面積公式可得5。稔=畢晝，證明

VX2+12VX2+12QEBX2+12

.8EQ~_QFC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出s“c=:環(huán)，根據(jù)S=2（S2EB+SB”+S8c）即可求解.

【詳解】（l）如圖，連接50、BQ,

四邊形ABCD為菱形，

CB=CD=4,ZA=ZC=60°,

二?一的為等邊三角形.

。為C￡＞中點，

CQ=2,BQ工CD,

BQ=2y/3,QBA.PB.

NQPB=45°,

PB。為等腰直角三角形，

■■■PB=2百,PQ=2娓,

翻折，

；./BP?=90。,PB=P&,

；.BB'=2?,PE=&;.

同理CQ=2,

CC'=2V2-QF=6,

[12]

,?S四邊形BB,CC=2S梯形Me。_S尸BP+SCM=2x/x（2+26）x26—于（26）+—x22=4-73+8；

（2）如圖2,連接BQ、B'Q,延長PQ交CC'于點尸.

圖2

PB=x,BQ=2^3,NPBQ=90°,

PQ=g+12.

,?SPBQ=gPQxBE=gpBxBQ

,.BQxPB2?

??DDIrL——t

PQ77712

QE=-r^

+12

_I2y[3x12_12。

G￡8=2X777HX^7T7=^H-

ZBEQ=ZBQC=NQFC=90°,則NEQB=90°-NCQF=NFCQ,

：.\BEQ~3C,

_4瓜

'QFC~V^n'

VSBec=1x2x2x/3=2>/3,

，S=2（S網(wǎng)+5地c+S°.c）=2（籌+2有+篝卜篝+46.

【點睛】本題考查了菱形與折疊問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形

的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平而直角坐標系中，二次函數(shù)丫=-底2+2后的圖象與x軸

分別交于點。，A,頂點為B.連接。8/8,將線段AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC,連接BC.點

D,E分別在線段OB,BC上，連接AD,DE,EA,DE與AB交于點、F,ZDEA=60。.

⑴求點A，8的坐標：

(2)隨著點E在線段8c上運動.

①N￡ZM的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

②線段BF的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由;

(3)當線段DE的中點在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時，_皮龍的面積為一

【答案】⑴A(2,0),即用;

(2)①N￡DA的大小不變，理由見解析；②線段BF的長度存在最大值為g；

⑶至

9

【分析】(1)y=0得-6/+2岳=0,解方程即可求得A的坐標，把丫=-&?+2小化為頂點式即可求

得點8的坐標；

(2)①在AB上取點"，使得=連接EM,證明人血＞是等邊三角形即可得出結(jié)論；②由

BM=AB-AF=2-AF,得當A尸最小時，8尸的長最大，即當時，8斤的長最大，進而解直角三

角形即可求解；

(3)設(shè)。E的中點為點〃，連接A",過點。作DHVBN于點H，證四邊形。4C3是菱形，得。4，

進而證明仝MWD得=再證.陰叱_附加，得桀=竺=粵即=__=也=百，結(jié)合

BMBEMEBMBE

三角形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：；y=-&+2&=-圾1-1)2+6,

二頂點為網(wǎng)1，句,

令y=0，-后+2后=0,

解得x=0或x=2,

/.A(2,0)；

(2)解：①NED4的大小不變，理由如下：

在A8上取點M,使得BM=BE,連接EM,

拋物線對稱軸為x=l,即ON=1,

???將線段A8繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC,

/.^SAC=60°,AB=ACf

84。是等邊三角形，

AAB=AC=BC,/C=60。，

???A(2,0),41，6),0(0,0),ON=\,

???OA=2,可=2,A5="2一1『+(可=2,

:.OA=OB=AB,

??...Q4B是等邊三角形，OA=OB=AC=BC=2f

：.ZOAB=ZOBA=ZAOB=60°f

VZMBE=60°,BM=BE,

是等邊三角形，

ZBME=60°=ZABE,ME=BE=BM,

：.^AME=\SO°-^BME=120°,BD〃EM,

ZDBE=ZABO+ZABC=120°,

NDBE=NAME,

*/BD//EM,

JZFEM+ZBED=180°-120°=60°=ZAEF=ZMEA+ZFEM,

???NBED=/MEA,

:...BEg」MEA,

:、DE=EA,

又NAEQ=60。，

???_A￡D是等邊三角形，

AZADE=60°,即NZD石的大小不變；

②，VBF=AB-AF=2-AF,

???當A尸最小時，8尸的長最大，即當。EJLM時，B尸的長最大,

,?1D4E是等邊三角形，

???^DAF=-^DAE=30,

2

???ZOAD=60°-NDAF=30°,

:.ADJLO8,

，AD=OAxcosZOAD=2xcos30。=百，

3

AF=ADxcosZDAF=2xcos30°=—,

2

*'?BF=AB—AF=2——=—,即線段BF的長度存在最大值為:；

222

(3)解：設(shè)OE的中點為點連接AM,過點。作于點少,

,:OA=OB=AC=BC=2,

???四邊形。4cB是菱形，

???BC^OA,

?:DHIBN,AN1BN,

:.DH//BC//OA,

:?/MBE=NMHD,NMEB=NMDH,

O石的中點為點”，

:.MD=ME,

:—MB-jMHD,

:.DH=BE,

V^AMW=90°,

/.^MeE=180°-90o=90°=^MW,NNMA+NNAM=90。,

???。石的中點為點加，ZM石是等邊三角形，

AM±DE,

：.NAME=90。，

NBME+NNMA=180%

/.NBME=NNAM,

:?jBMEs以NAM,

.ANMNAM1MNr：

??~=Ln、r［Jl==7§，

BMBEMEBMBE

?DA/f6

3

:,MN=BN-BM=^~

3

???DH=BE=^=2,

x/33

?c_C-_121732_2^

?,SBDE=SBDM+SBEM='乂彳乂§+X號X§=—，

故答案為竿.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三

角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，題目綜合性較強，熟練掌握各知識點是

解題的關(guān)鍵.

9.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-W+3x+l交》軸于點A,直線

y=-；x+2交拋物線于B,c兩點（點B在點C的左側(cè)），交y軸于點。，交X軸于點E.

⑴求點￡>,E,C的坐標;

（2）尸是線段OE上一點（OF<EF）,連接A￡OE,CF,且A產(chǎn)+￡尸=21.

①求證：△。尸C是直角三角形；

②/QFC的平分線雁交線段OC于點K,P是直線BC上方拋物線上一動點，當3tan/PFK=l時，求點P的

坐標.

【答案】(1)C(3,1),。(0,2),E(6,0)

⑵①證明見解析，②點P的坐標為（1,3）或（近,3夕-6）

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點及一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點求解即可;

(2)①設(shè)/(帆0),然后利用勾股定理求解，1n=2,過點C作CG工x軸，垂足為G.再由等腰三角形及各

角之間的關(guān)系即可證明；②根據(jù)題意得出tan/PFK=g,設(shè)點尸的坐標為“，-產(chǎn)+3r+l),根據(jù)題意得

g<f<3.分兩種情況分析：⑴當點P在直線KF的左側(cè)拋物線上時，tanN6FK=g,g<f<2.(而)當點p

在直線K/的右側(cè)拋物線上時，tan/￡FK=g,2<f<3.求解即可.

【詳解】(1)解：；直線y=-gx+2交丁軸于點￡),交x軸于點￡,

當x=0時，y=2,

.*.0(0,2),

當y=0時，x=6,

.?.￡(6,0).

;直線y=-gx+2交拋物線于B,c兩點，

—x~+3x+1=—x+2,

3

,-.3x2-10x4-3=0，解得占=g,%=3.

?點B在點C的左側(cè)，

點C的橫坐標為3,

當x=3時，y=l.

?-.C(3,l)；

當x=0時，y=l,.

A(0,l),

:.OA=l,

在RtAOF中，ZAOF=90°,

由勾股定理得AF2=OA2+OF"

設(shè)尸(祖,0),

/.OF=tn,

N尸=1+療，

.￡(6,0),.

OE=6,

/.EF=OE—OF=6—m,

,AF2+EF2=2i,

1+tn2+(6-〃?)2=21,

/.仍=2,帆2=4,

OF<EF,

m=2,

??.O尸=2,

/.F(2,0).

.m2),

:.OD=2,

:.OD=OF.

.二。"是等腰直角三角形，

ZOFD=45°.

過點C作CGIx軸，垂足為G.

,C(3,l),

:.CG=1,OG=3,

GF=OG-OF^V

1.CG=GF,

??..CG/是等腰直角三角形，

/.ZGFC=45°,

ZDFC=90°,

.?.OQ是直角三角形.

②.FK平分/DFC,NDFC=9。。,

?,.ZDFK=/CFK=45。

ZOFK=ZOFD+ZDFK=90°,

「.FK〃y軸.

3tanNP尸K=l,

/.tanNPFK=L

3

設(shè)點P的坐標為+3f+1),根據(jù)題意得g</<3.

(力當點尸在直線K廠的左側(cè)拋物線上時，tanZ/]F/C=1,1<r<2.

過點《作軸，垂足為”.

/.利//KF/HRF=NRFK,

tan/HRF=;.

,HF=OF-OH,

:.HF=2-t,

在/中，

八HF1

tanZHP1F=

r\nj

：.P、H=3HF,

I]H=-r+3t+\,

:.—t~+3,+1=3(2—f),

r-6r+5=0,

:.tA=l,r2=5(舍去).

當，=1時，_*+3f+l=3,

.*(1,3)

(ii)當點P在直線KF的右側(cè)拋物線上時，tanZP2FK=^,2<t<3.

過點尸2作用W_L尤軸，垂足為

P1M//KF,

/.ZMP2F=ZP2FKf

tanZMP2F=^,

MF=OM-OF,

：,MF=t-2

在RtZX4M廠中，

tanNM?F=~^=L

2

P2M3

/.P2M=3MF,

,P2M=一『+3/+1,

—t~+3/+1=3(/—2),

???產(chǎn)=7,

t3=幣,t4=—A/7(舍去).

當七夕時，一產(chǎn)+3，+1=3b一6,

.?.巴(刀,3々-6)

，點P的坐標為(1,3)或(J7,3J7-6).

【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題，特殊三角形問題及解三角形，理解題意，作出相應(yīng)

輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

10.(2023?吉林?統(tǒng)考中考真題)如圖，在正方形A88中，A8=4cm,點。是對角線AC的中點，動點P,

2分別從點A,3同時出發(fā)，點P以Icm/s的速度沿邊A3向終點B勻速運動，點。以2cm/s的速度沿折線

3C-CO向終點。勻速運動.連接PO并延長交邊CO于點M,連接Q。并延長交折線D4-A8于點N,連

接尸。，QM,MN,NP,得到四邊形PQWV.設(shè)點P的運動時間為x(C(0<x<4),四邊形PQMN的

面積為>(cm2)

（1）8尸的長為cm,CM的長為cm.（用含x的代數(shù)式表示）

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

（3）當四邊形尸。MN是軸對稱圖形時，直接寫出x的值.

【答案】⑴（4—x）；x

°、_J4JC2-12X+16（0<X<2）

-4x+16（2<x<4）

/°、4r8

（3）x=-flkx=-

【分析】（1）根據(jù)正方形中心對稱的性質(zhì)得出加;^^^^^0二次「可得四邊形2^^是平行四邊形，證明

_AN乂-CQM即可；

（2）分0<x42,2<xV4兩種情況分別畫出圖形，根據(jù)正方形的面積，以及平行四邊形的性質(zhì)即可求解；

（3）根據(jù)（2）的圖形，分類討論即可求解.

【詳解】（1）解：依題意，AP=xxl=x（cm）,則依=加一”=（4一可的，

???四邊形ABC。是正方形，

/.AD//BC,NDAB=ZDCB=90°,

???點。是正方形對角線AC的中點，

/.OM=OP,OQ=ON,則四邊形尸QMN是平行四邊形，

:.MQ=PN,MQ〃NP,

：.ZPNQ=ZMQN,

又BC,

：.ZANQ=ZCQN,

：.ZANP=ZMQC,

在,&ANP,..CQM中,

/ANP=/MQC

<ZNAP=ZQCM,

NP=MQ

：..ANP^,CQM,

MC-AP=x（cm）

故答案為:（4-x）；x.

（2）解：當0vxK2時，點。在8c上,

DMC

APB

由（1）可得jAAg二CQM,

同理可得/m2且_MON,

VPB=4-x,QB=2x,MC=x1QC=4-2xf

=

則yAB，—2SMCQ-2SBPQ

=16-（4-%）x2x-x（4-2x）

=4x2-12x+16;

當2Vxs4時，如圖所示，

則AP=x.AN=CQ=2x-CB=2x-4,

PN=AP-AN=x-（2x-4）=-x^-4,

y=（+4）x4=Yx+16；

_4X2-12X+16（0<X<2）

綜上所述,A-[-4x+16（2<x<4）

（3）依題意，①如圖，當四邊形PQMN是矩形時，此時NPQM=90。,

ZPQB+ZCQM=90°,

?.,NBPQ+/PQB=90。，

/./BPQ=/CQM,

又NB=ZBCD,

—BPQfCQM,

.BPBQ

，9CQ~CMr

解得：x=-,

DMC

APB

當四邊形PQMN是菱形時，則PQ=M。，

（4-x）2+（2x『="2+（4-2x）2,

解得：x=0（舍去）；

②如圖所示，當P3=CQ時，四邊形PQMN是軸對稱圖形,

Q

4-x=2x-4,解得x=§,

當四邊形尸QMN是菱形時，則PN=PQ=4,即一x+4=4,解得：x=0（舍去）,

綜上所述，當四邊形PQMN是軸對稱圖形時?，》=三4或x=；8.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，動點問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性

質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，軸對稱圖形，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?廣東?統(tǒng)考中考真題)綜合運用

如圖1,在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，如圖2,將正方形Q4BC繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(O°<a<45。)，AB交直線丁=》于點￡,BC交y軸于點尸.

圖1

圖2圖3

(1)當旋轉(zhuǎn)角NCOF為多少度時，OE=OF；(直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程)

(2)若點A(4,3),求FC的長；

(3)如圖3,對角線AC交y軸于點交直線y=x于點N,連接FN,將△OFN與△OCF的面積分別記為

\與S?,設(shè)S=S「S2，AN=n,求S關(guān)于〃的函數(shù)表達式.

【答案】(1)22.5。

⑵/c=?

4

1,

(3)S=-?2

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)及直角三角形全等的判定及性質(zhì)得出4OG=/AOE,再由題意得出

/EOG=45。，即可求解；

(2)過點A作APLx軸，根據(jù)勾股定理及點的坐標得出OA=5,再由相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)及四點共圓條件得出。、C、F、N四點共圓，再由圓周角定理及等腰直角三角形的

判定和性質(zhì)得出RV=ON,NFNO=9Q。,過點N作G。_LBC于點G,交OA于點Q,利用全等三角形及矩

形的判定和性質(zhì)得出CG=O0,CO=QG,結(jié)合圖形分別表示出，，S],得出S=S1-S2=NQ2,再由等腰

直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：；正方形OABC,

/.OA=OC,ZA=ZC=90°,

OE=OF,

/.RtOCF^Rt.O/1E(HL),

:.NCOF=NAOE,

?：NCOF=NAOG,

：.ZAOG=ZAOE,

???AB交直線y=x于點E,

JNTOG=45。，

???^AOG=^AOE=22.5°,

即/COF=22.5。；

(2)過點4作AP，x軸，如圖所示:

???A(4,3),

??