中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)函數(shù)24 利用二次函數(shù)比較大小與解不等式（組）（教師版）

專題24利用二次函數(shù)比較大小與解不等式(組)

1知識(shí)對(duì)接

考點(diǎn)一、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系

aχ2+bx+c>0(a∕0)的解集U二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于X軸上方部分對(duì)應(yīng)自變量的取值

范圍；

aχ2+bx+c<0(a翔)的解集=二次函數(shù)y≈ax2+bx+c的圖象位于X軸下方部分對(duì)應(yīng)自變量的取值

范圍.

要點(diǎn)補(bǔ)充：

考點(diǎn)二、函數(shù)及其圖象

1、拋物線y=4χ2+?χ+c中，a,》,C的作用

(I)a決定開口方向及開口大小，這與y=a∕中的&完全一樣.

(2)匕和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線

bh

X=------,故：①b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②一〉0(即〃同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸

2aa

在y軸左側(cè)；③2<0(即a、b異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

a

(3)C的大小決定拋物線y=aχ2+0χ+c與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x=()時(shí)，y=c,拋物線y=+AV+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(O,c)：

①c=(),拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c>(),與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半

軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí).，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則-<0.

a

2、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y-ax2x=0(y軸)(0,0)

y-ax2+kx=0(y軸)(0,k)

y=Q(X-∕zFX=h(〃,0)

當(dāng)Q>0時(shí)

y=Q(X-∕z)2+Z開口向上X=h(h,k)

當(dāng)時(shí)

y=ax1+bx+ca<0bb4ac-b2

X=------(——，------------)

開口向下2a2a4a

項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，拋物線y=0γ2+c與直線V=皿+”交于A(T,p),3(3,4)兩點(diǎn)，則不等式

Or2+c>wx+”的解集為()

D.XCT或x>3

【答案】D

【分析】

觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：拋物線y=ατ2+c?與宜線y=znr+”交于A(-1,p),B(3,q)兩點(diǎn)，

由圖可知：拋物線y=0r2+c在直線,y=mr+"上方時(shí)，

X的范圍是：x<-l或x>3,

即ax2+c>nιx+n的解集是x<-l或x>3,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)與不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

2.如圖是二次函數(shù)X="x'+fox+c(a≠())和一次函數(shù)%=如+"。"Ro)的圖象.則下列結(jié)

論正確的是()

A.若點(diǎn)肛-2,4）,唱4）,外2,4）在二次函數(shù)圖像上，則4<出</

B.當(dāng)》<一；或x>3時(shí)，

C.2a-b=0

D.當(dāng)χ=∕+2（4為實(shí)數(shù)）時(shí)，M≤c

【答案】D

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，觀察圖象即可判斷.

【詳解】

解：：拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線廣1,且卜2-l∣>∣2-l∣>,

Λrf∣<?<?,故A錯(cuò)誤；

無法求得兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，故B錯(cuò)誤；

???拋物線對(duì)稱軸為直線k1,

b

...---=11,

2a

.?.2a+b=Q,故C錯(cuò)誤；

：拋物線對(duì)稱軸為直線戶1,

???點(diǎn)（O,C）與點(diǎn)（2,C）故對(duì)稱軸對(duì)稱，

.?.當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)+2（k為實(shí)數(shù)）時(shí)，y∣≤c,故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線和雙曲線交點(diǎn)的問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.已知函數(shù)y=-V+2"，當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)值隨X增大而增大，且對(duì)任意的l≤%≤α+l和

l<x2<a+l,%、X2相應(yīng)的函數(shù)值%、%總滿足|乂-對(duì)<9,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.2≤α≤4B.-2<a≤4C.a≥2D.2<a≤3

【答案】A

【分析】

對(duì)任意的l≤xSα+l和15≤α+l,?i.&相應(yīng)的函數(shù)值y””總滿足IyI-”∣≤9,只需最大值與

最小值的差小于等于9即可，進(jìn)而求解.

【詳解】

解：函數(shù)的對(duì)稱軸為x=α,

而爛2時(shí)，函數(shù)值隨X增大而增大，故”≥2;

Vl<x∣<a+l和l≤T2≤α+l,

.?.χ=”時(shí)，開口向下，函數(shù)的最大值=〃，

故函數(shù)的最大值在和4a+l中產(chǎn)生，

則X=1,X=α+l那個(gè)距Λ="遠(yuǎn)，函數(shù)就在那一邊取得最小值，

'：a>2,

6f-l>l,而α+l-α=l,

???I距離。更遠(yuǎn)，

Λx=l時(shí)，函數(shù)取得最小值為：-l+2α,

：對(duì)任意的0ι≤a+l和l≤x2Wa+l,Xi,X2相應(yīng)的函數(shù)值)1,”總滿足∣j∣-y2∣W9,

只需最大值與最小值的差小于等于9即可，

Λ,a2-(-l+2α)<9,

31)2=9,

解得-3Wa-IW3,而定2,

.,.2<a<4,

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，M-)，把3轉(zhuǎn)換為最大值與最小值的差小于等于3,

是解題的關(guān)鍵.

l

4.已知二次函數(shù)y∣=0χ2+αx-l,y2=x+bx+?,令h=b-a,()

A.若∕7=l,α<l,貝∣J%>y∣B.若〃=2,4<：，則%>)1

C.若∕z=3,α<0,貝!J%)％D.若〃=4,α<--∣,貝!I%>X

【答案】B

【分析】

建立%-乂=(1一。)/+?！ú?2,結(jié)合A,8,C,。選項(xiàng)的條件，分別計(jì)算▲，利用函數(shù)與龍

軸的交點(diǎn)情況，再分別判斷48,C,/)選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】

解：當(dāng)人=1,a<?,則6-α=l,l-a>0,

而2z

y2~y?=(l-fl)x+(?-6t)x+2=(l-α)x+JC+2,

.-.Λ=l-8(l-α)=8α-7,

無法判斷3與O的大小，故無法判斷加%的大小，

故A錯(cuò)誤，不符合題意；

當(dāng)∕z=2,“<,時(shí)，則∕>=α+2,?-a>—,

22

而22

y2-y↑=(l-α)x+(?-α)x+2=(l-β)x+2x+2,

,?,i=4-4(l-α)×2=8α-4<0,

而函數(shù)圖像的開口向上，

,。,

32-y∣>

故正確，符合題意：

???J2>?i-8

當(dāng)力=3,?<0,貝IJ〃一。=3』一。>1,

而％-乂=(l-α)χ2+(6-α)χ+2=(l-α)χ2+3x+2,

.?.=9-8(l-α)=8a+l,

無法判斷.,與O的大小，故無法判斷加義的大小，故C錯(cuò)誤，不符合題意；

當(dāng)〃=4,a<--,則b-α=4,l-α>3,

22

而22

y2~y?=(l-a)jr+(?-β)x+2=(l-iz)x+4x+2,

16-8(1—α)=8a+8,

無法判斷。與。的大小，故無法判斷加當(dāng)?shù)拇笮。?。錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)情況，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷

函數(shù)值的大小是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，己知拋物線y=6(x+f)(a*O)經(jīng)過點(diǎn)4-3,-3),f≠O.當(dāng)拋物線的開口向上時(shí)，

f的取值范圍是()

A.r>3B.t>-3C.f>3或f<-3D.t<-3

【答案】A

【分析】

根據(jù)拋物線丫=依(》+。(?！?)經(jīng)過點(diǎn)4(-3,-3),求出f=3+L由拋物線的開口向上，可得

a

?>0,可得f=3+,>3即可.

aa

【詳解】

解：Y拋物線y=ax(x+t)(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-3),

Λ-3=α(-3)(-3+O(α≠O),f=3+L

a

:拋物線的開口向上，

；?α>O,—>O,

a

1?f=3+—>3.

a

故選擇4.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線性質(zhì)，利用拋物線經(jīng)過點(diǎn)求出關(guān)于f的代數(shù)式，利用拋物線開口方向確定

工>0是解題關(guān)鍵.

a

6.已知拋物線y=(m+l)f-2g+m-2與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)(％,0)G,0),現(xiàn)有如下結(jié)論:①

此拋物線過定點(diǎn)(LT)；②若拋物線開口向下，則〃?的取值范圍是③若小>-1

21

時(shí),有-2<%<-1,1<9〈2,則加的取值范圍是-：<加<；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

94

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

txtU)'解方程組的

把函數(shù)變形y-尤2+2=?1*2-2尤+1),由111為任意數(shù)，可得

JV=]

一，可判定①，由拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可求小>-2且機(jī)#-1,山拋物線開口向下,

J=T

AΠ÷1<0,結(jié)合拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，機(jī)>-2且加工-1,可判定②，若〃?>-1時(shí)，拋

物線開口向上,當(dāng)x=2,y>0,g,y<0,可得C。,解得一觸4,

(w+1)-2m+/7?-2<O

當(dāng)x=l,,y<0,當(dāng)x=2,y>0,可得《解得加>-2,求公共部分即

4(zn+l)-4m+m-2>O

可.

【詳解】

解:把函數(shù)變形y-χ2+2=zn,-2x+l),由m為任意數(shù)

.Jχ2-2χ+l=0

y-χ2+2=O'

解得｛x=l,.

Iy=T

拋物線過定點(diǎn)(i,-i),

①此拋物線過定點(diǎn)(1,-1)正確；

拋物線y=G"+l)χ2-2皿+,"-2與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)('MG,。)，

(m+l)x2—2/ttx+m—2-0,

m+l≠O

(-2m)2-4(m+l)(zn-2)>0

解得機(jī)〉-2且〃2W-1,

V拋物線開口向下，

/.m+1<O,

解得加<-1,

又Vιn>-2^Lm≠-l?

.*.-2<m<-l;

②若拋物線開口向下,則m的取值范圍是-2VmVT正確,

若〃?>-1時(shí)，m+l>0,拋物線開口向匕，

拋物線y=0n+l)f-2小+小-2與％軸有兩個(gè)交點(diǎn)(％,0)G,0)，

-2<%<—1,

當(dāng)x=-2,,y>0,當(dāng)x=-l,y<0,

4(機(jī)+1)+4/n+fn-2>O

即

m+1+2/n+/n-2<O

解得一21

5<W7<I'

?<x2<2,

.?.當(dāng)x=l,,y<0,當(dāng)x=2,y>0,

(/77+1)-2/77÷W-2<O

即<

4(m+l)-4"z+機(jī)一2>0

解得m>-2，

21

.?.有一2<玉<一1,1<々<2,則用的取值范圍是一XCm.

94

21

③若〃7>-1時(shí)，有一2<X]V-1,1<X<2,則膽的取值范圍是一二<加<:正確，

294

所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有3個(gè).

故選擇D.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線過定點(diǎn)，拋物線開口方向，拋物線與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，拋物線與X軸兩交點(diǎn)

位置，求范圍，掌握拋物線過定點(diǎn)把函數(shù)變形構(gòu)造方程組，拋物線開口方向，拋物線與X

軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)歸結(jié)判別式的符號(hào)，拋物線與X軸兩交點(diǎn)位置，利用函數(shù)值的符號(hào)列不等式組

是解題關(guān)鍵.

7.二次函數(shù)y=(x-b)2+b+l的圖象與一次函數(shù)y=τ+5(-l≤x≤5)的圖象沒有交點(diǎn)，則人

的取值范圍是()

171717

A.b<—4B.h>—C.b<—4或b>—D.—4<h<—

888

【答案】C

【分析】

先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出X=T和x=5時(shí)，>的值，再分b<-l,-l≤h≤5和b>5三

種情況，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式，然后求解即可得.

【詳解】

對(duì)于一次函數(shù)y=r+5(T≤x≤5),

當(dāng)X=-1時(shí)，y=l+5=6,

當(dāng)％=5時(shí)，y=-5+5=0,

二次函數(shù)y=(χ-∕√+∕j+ι的對(duì)稱軸為χ=b,

由題意，分以下三種情況：

(1)當(dāng)。<一1時(shí)，

若兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則當(dāng)x=T時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值大于6；或當(dāng)x=5時(shí)，二次

函數(shù)的函數(shù)值小于0，

即(-l-?)2+?+l>6≡K(5-?)2+?+l<0,

不等式(-l-4+b+ι>6可化為〃+勸一4>o,

利用因式分解法解方程匕2+3〃_4=0得：4=1也=Y,

由二次函數(shù)z=〃+3〃-4的性質(zhì)可知，當(dāng)z>0時(shí)，6<→4或6>1(舍去)，

同理可得：不等式(5-b)2+6+]<o無解，

綜上，此時(shí)〃的取值范圍為6<T；

(2)當(dāng)T≤6≤5時(shí),

若兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則卜=C"b[+b+l無解，

[y=-x+5

即關(guān)于X的方程X2+(1-2勿工+/+6-4=0無解，

則方程的根的判別式△=(1-2))2-4(從+?-4)<0,

解得b>1[7,

O

17

則此時(shí)b的取值范圍為?<匕45；

O

(3)當(dāng)3>5時(shí),

o23

當(dāng)x=5時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值為y=(5-力2+Hl=S-?∣)2+γ>0,

所以二次函數(shù)的圖象與次函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，

則此時(shí)b的取值范圍為力>5；

綜上，b的取值范圍為％<Y或〃>[,

O

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)以一次函數(shù)的綜合，根據(jù)一?次函數(shù)的X取值范圍，正確分三種情況討論

是解題關(guān)鍵.

8.對(duì)于題目：“線段y=-%+#1#X3)與拋物線尸加-2??0)有唯一公共點(diǎn)，確定。

的取值范圍“、甲的結(jié)果是乙3的結(jié)果是α>3=,則()

22

A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確

C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確

【答案】D

【分析】

根據(jù)拋物線和線段的位置關(guān)系，找到臨界點(diǎn)，確定。的值，即可求解.

【詳解】

解：線段，=-++21#X3)與拋物線y=2∕x(α?())有唯一公共點(diǎn)，

OQ

??._A.+=幺2_2八(-1#X3)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

44

BP:加+去-2α2χ-言=0在T≤X≤3范圍內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

44

.?.函數(shù)在T≤X≤3范圍與工軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

???且端點(diǎn)與端點(diǎn)內(nèi)，不存在同時(shí)為0的情況，

Λ(2a2+a-3)(-6π2+9π)?0

.?a(a-l)(2α+3)(2/?3)?0

33

.*.a≤——或0≤α≤l或α≥二且〃wθ,

22

3

經(jīng)驗(yàn)證，QWl且〃≠=,

2

33

?a<——或0<。<1或〃>二，

22

，甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)性質(zhì)和圖象，根據(jù)拋物線和線段的位置關(guān)系，找到臨界點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

9.平面直角坐標(biāo)系中有兩條拋物線4：y=++云+。與"：必=。/+/^+〃，其中

a>c>O,下列三個(gè)結(jié)論中：

①如果拋物線4與X軸的一個(gè)交點(diǎn)為(〃?,0),那么(,,0)是拋物線4與X軸的一個(gè)交點(diǎn)；

m

②如果當(dāng)x>0時(shí)》隨X的增大而增大，那么當(dāng)x>0時(shí)％也隨X的增大而增大；

③如果y<%,那么X的取值范圍為-ICX<ι.

其中正確結(jié)論是()

A.φ(2)B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】

將（九0）代入X=K2+灰+c?變形即可判斷①，開口向上的拋物線x>0隨X的增大而增大則

對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，判斷方對(duì)稱軸即可判斷②，解/+bx+cV52+fcv+α即可判斷③.

【詳解】

解：將（加,0）代入X=Q尤2+"+c得：0=am2+bm+c,

VoO,

?、機(jī)wO,兩邊同除以加2得：O=a+b---FC?（—）2,即一是Cr2+Zzx+q=O的根，

mtntn

??.（?,θ）是拋物線/,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)，①正確；

m

：當(dāng)x>0時(shí),隨X的增大而增大，Ha>0（開口向上），

對(duì)稱軸X=-二在y軸左側(cè)，即一二<0,

la2a

Va>c>O,

.?.-^-<o,即然對(duì)稱軸也在y軸左側(cè)，開口向上，

2c

，當(dāng)x〉O時(shí)內(nèi)也隨X的增大而增大，②正確；

22μ2

ax+bx+c<ex?vbx?vaΓW（6f—c）x<a-cf

Va>c>O,

?*?X2<1,B[J-l<x<l,③正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出式子適當(dāng)變形.

10.給出下列命題及函數(shù)y=—X,y=-V,y=-_L的圖象.①如果“<τ那么

Xa

②如果一lvα<O,那么一>-a；③如果Oea<1,那么一/>-a>--；④如果

aa

那么」〃，則正確命題的序號(hào)是（）

a

A.（D@B.②③C.①③D.③④

【答案】C

【分析】

先畫出函數(shù)尸-X,）=-1,產(chǎn)工的圖象，確定它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后觀察圖象的位置得到當(dāng)X

.X

<_]時(shí)，當(dāng)-l<χ<O時(shí)，當(dāng)O<χ<l時(shí)，當(dāng)x>l時(shí)函數(shù)值的大小，可得結(jié)果.

【詳解】

解：分別令T=T2,解得：aO或4I,

則尸一X與尸.2的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,（1,一1）,

令—X=—，解得：-T=-I或X=1,

X

則v=?x與y=-L的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,1）,（1,-1）?

X

令一丁二一2_,解得：x=l,

X

則）=-χ2與尸-，的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）；

X

當(dāng)XV-I時(shí)，_工>」>-2,

X

當(dāng)/VxVO時(shí)，-!>r>-f,

X

2

當(dāng)OVX<1時(shí)，-x>-x>--f

X

當(dāng)x>1時(shí)，-L>-X>-X2,

X

???①③正確，②④錯(cuò)誤，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部

分組成,題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”

形式.有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理.也考查了觀察函數(shù)圖象

的能力.

二、填空題

II.已知函數(shù)y=一二+20W2)的圖象如圖所示，觀察圖象，則當(dāng)函數(shù)值a-6時(shí)，對(duì)應(yīng)

-2x(X>2)

的自變量X的取值范圍是.

【答案】-2√2<r<3

【分析】

根據(jù)圖象以及不等式解法，分別解不等式，得出自變量的取值范圍即可.

【詳解】

當(dāng)函數(shù)值比-6時(shí)，分兩種情況：

①右2時(shí)，-》2+2々-6,

x2<8,

結(jié)合圖象可以得出：-2√∑≤r≤2,

此時(shí)爛2,

所以-2立三爛2,

②x>2時(shí)，當(dāng)函數(shù)值比-6時(shí)，

-2x≥-6,

解得：Λ≤3,

此時(shí)x>2,

所以2<x≤3.

綜上所述，y≥-6時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量X的取值范圍是：-2√2≤x≤3，

故答案為-2&SE3.

【點(diǎn)睛】

此題考查依據(jù)圖象及函數(shù)值求自變量的取值范圍，列一元一次不等式解決問題，正確理解題

意及函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，拋物線y=-χ2+2x+,"+l交X軸于點(diǎn)A(a,0)和B(b,0),交V軸于點(diǎn)C,拋物線的

頂點(diǎn)為。.下列四個(gè)命題：①當(dāng)x>0時(shí)，y>0;②若α=T,則6=4；③拋物線上有兩點(diǎn)

「(西,苗)和。(毛，％)，若玉<1<々，且x∣+W>2,則y∣>y?;④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的

對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)G、F分別在X軸和y軸上，當(dāng)〃?=2時(shí)，四邊形EDFG周長的最小值為

6√2.其中真命題的序號(hào)是.

【答案】③

【分析】

①根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出y的符號(hào)：

②根據(jù)48關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求出b的值；

③根據(jù)號(hào)>1，得到M<1<X2,從而得到。點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出》>)，2；

④作。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)。'，E關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)E，，連接沙￡,與。E的和即為四邊

形EQFG周長的最小值.求出。、E、。、￡的坐標(biāo)即可解答.

【詳解】

①當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)圖象過一四象限，當(dāng)0<xV〃時(shí)，>,>0；當(dāng)x>人時(shí)，y<0,故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤；

②二次函數(shù)對(duì)稱軸為)=不工;=當(dāng)時(shí)有Ξ解得匕故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2x(-1)1，”=-1?22=1，=3,

③?."∣+X2>2,

...宥>],

又「Xi-IV0<X2-l,

???。點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，

,?y∣>y2,故本選項(xiàng)正確；

④如圖，作。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)少，E關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)E,

連接D'E',Z)E與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值.

當(dāng)，”=2時(shí)，二次函數(shù)為y=-χ2+2r+3,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為廣一∣+2+3E,力為(1,4),則。為(-1,

4)；C點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,3)；貝IJE為(2,3),E為(2,-3)；

2222

則DE=√(2-I)+(3-4)=√2;DE=λ∕(-l-2)+(-3-4)=√58.

四邊形EDFG周長的最小值為α+病，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

正確的有1個(gè).

故答案為：③.

【點(diǎn)睛】

考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與不等式的關(guān)系、二次函數(shù)的對(duì)稱軸、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)特征、軸對(duì)稱一最短路徑問題等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

13.如圖，拋物線y=ax2+c與直線y=-mx+n交于A(-1,p),B(3,q)兩點(diǎn)，則不

等式ax2+mx+c>n的解集是.

【答案】x<-1或x>3.

【分析】

觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：拋物線y=0γ2+c與直線>=-,nr+“交于A(-I,p),B(3,q)兩點(diǎn)，

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)XV-I或x>3時(shí)，直線y=-Mtr+”在拋物線y=αχ2+c的下方，

，不等式"2+c>-mx+n的解集為x<-1或x>3,

即不等式Or2+M+C>ZJ的解集是X<-1或x>3.

故答案為：XV-1或x>3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)去求不等式的解集,解題的關(guān)鍵在于能

夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

14.如圖，拋物線y=0χ2+?r+c(存0)的對(duì)稱軸為直線x=l,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-

1,0）,與）'軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：

①2n+b=0;

②心-44cV0;

③方程0χ2+bχ+c=o的兩個(gè)根是X]=-|,X2-2?

④將y=α∕先向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位可得到>="2+法+。的圖象;

⑤當(dāng)y>0時(shí)，尤的取值范圍是-l<x<3

其中正確的結(jié)論是.（填序號(hào)）

【答案】①④⑤

【分析】

由拋物線y=0χ2+bχ+c（存0）的對(duì)稱軸為直線χ=l,得-9=1，即可判斷①正確；由拋

物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可判斷②不正確；根據(jù)拋物線y=，*+6x+c（"翔）的對(duì)稱軸為直

線x=l,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,可得拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）,

可判斷③不正確：根據(jù)拋物線過（-1,0）、（3,0）、（0,3）三點(diǎn)，可求得拋物線為丫=-丁+2》+3,

a=-1,則拋物線y=0√為y=-χ2,將y=-χ2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位

得到的拋物線為y=-（x-l>+4,化簡得y=-f+2χ+3,可判斷④正確；根據(jù)當(dāng)-l<x<3

時(shí)，拋物線在X軸上方，可判斷⑤正確.

【詳解】

解：：拋物線y=αχ2+?v+c（存0）的對(duì)稱軸為直線x=l,

—?=1,B∣J2α+?=0>故①正確：

2a

?.?拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

ΛΔ>0,B∣Jb2-4ac>0,故②不正確；

；拋物線y=αχ2+?r+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=l,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,

二拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）,

，方程ΛT2+∕M+C=0的兩個(gè)根是Xl=-1,X2=3,故③不正確；

：拋物線過（-1,0）、（3,0）、（0,3）三點(diǎn)

<7-?+C=0a=-↑

則9q+3Z?+C=0,解得<b=2

c=3c=3

.?.拋物線y=-χ2+2χ+3

則拋物線y=αr2為y=-J,

將y=-/先向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到的拋物線為y=-(x-iy+4,化

筒得y=-f+2χ+3,故④正確；

?.?當(dāng)-l<x<3時(shí)，拋物線在X軸上方，

Λy>O,故⑤正確，

故答案為：①④⑤.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)圖像的變換、與一元二次方程的聯(lián)系等,

熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，拋物線y=0γ2+c與直線y=?x+/,交于A(-1,m),B(2,")兩點(diǎn)，則不等

式ax2-kx+c<b的解集是.

【答案】-l<x<2

【分析】

根據(jù)不等式αr2-H+cV6可變形為以2+c<fcc+z,,進(jìn)而得出誰大誰的函數(shù)圖象在上面，

進(jìn)而求出X取值范圍即可.

【詳解】

解：?；不等式Or2-"+c?<b可變形為Ori+c<fcv+3,

???圖象上拋物線在直線下方時(shí)對(duì)應(yīng)X的范圍即為不等式的解集，

觀察函數(shù)圖象可知：'"L1<X<2時(shí)，拋物線y=a√+c在直線y="+b的下方，

不等式Or2-kx+c<b的解集為-1<x<2,

故答案為：-l<x<2.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)與不等式(組)的知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵在于對(duì)圖像得理解，誰大誰的圖

象在E≡.

三、解答題

16.如圖，拋物線y=∕-2x+c與），軸交點(diǎn)為C,與X軸交點(diǎn)為A,B,點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè),

目OB=3Q4,點(diǎn)尸為拋物線的頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)戶的坐標(biāo)：

（2）若經(jīng)過點(diǎn)B,C的直線解析式為y=京+6,則不等式/-2x+c≤丘+6的解集為.

【答案】（I）y=x2-2x-3,頂點(diǎn)尸為（LT）：（2）0≤x≤3.

【分析】

（1）根據(jù)OB=3Q4,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（τ%0）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3相,0）,列方程求m的值，

即可求出拋物線的解析式及頂點(diǎn)戶的坐標(biāo)；

（2）畫出直線BC圖象，f一2χ+c≤履+/,的解集即為拋物線y=f-2x+c的圖象在直線

BC圖象下方所對(duì)應(yīng)的.r的取值范圍，根據(jù)圖象可得結(jié)果.

【詳解】

（I）'：OB=30A,

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（τn,0）,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3肛0）.

?'?nr+2m+c=9m2-6m+c-

解得叫=1,w2=O（舍去）.

?*?l+2÷c=0.

C=-3.

拋物線解析式為y=√-2x-3.

頂點(diǎn)尸為（L-4）.

（2）由（1）可知，8點(diǎn)坐標(biāo)（3,0）,C點(diǎn)坐標(biāo)（0,-3）

不等式f-2x+c≤"+匕的解集，即拋物線y=∕-2x+c?的圖象在直線5C圖象卜方所對(duì)應(yīng)

的X的取值范圍，

由圖象可知：0≤x≤3.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù).設(shè)計(jì)一元二次方程的的求解，求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與不等

式之間的關(guān)系.

17.已知拋物線y=,nr?+2,nr+3”——4.

(1)該拋物線的對(duì)稱軸為；

(2)若該拋物線的頂點(diǎn)在X軸上，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)設(shè)點(diǎn)M(",y)?N(2,%)在該拋物線上，若X>%，求〃的取值范圍.

【答案】(1)直線X=-1;(2)y=-χ2-2x-l或y=gχ2+gx+g；(3)當(dāng)α>O時(shí)，〃<-4

或〃>2；當(dāng)“<O時(shí)，-4<rt<2.

【分析】

(1)利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式即可求得.

(2)根據(jù)題意可知頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式.

(3)分類討論當(dāng)〃7>0時(shí)和，”<0時(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出〃的取值范圍.

【詳解】

解：(1)利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式可知對(duì)稱軸χ=-∣^=-l.

2m

故答案為：x=-l.

(2)?.?拋物線頂點(diǎn)在X軸上，對(duì)稱軸為X=T,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).

將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得：0=m(-iy+2mχ(-1)+3^2-4,

整理得：(加+1)(3，"-4)=(),

解得：∕n=-l或雨=；

.?.拋物線解析式為y=*-2x-l或廣4產(chǎn)+“R+不4

(3)?.?對(duì)稱軸為直線x=—1,

.?.點(diǎn)N(2,%)關(guān)于直線X=T的對(duì)稱點(diǎn)為M(T,,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論.

(i)當(dāng)，〃>0時(shí)，拋物線開口向上，若)〕>”，即點(diǎn)M在點(diǎn)N或N'的上方，兩點(diǎn)NN外

側(cè)，則〃<-4或〃>2：

(i?)當(dāng)加<0時(shí)，拋物線開∏向下，若yi>”，即點(diǎn)M在點(diǎn)N或N'的上方，兩點(diǎn)內(nèi)部，

則-4<〃<2.

【點(diǎn)睛】

本題為二次函數(shù)綜合題,二次函數(shù)對(duì)稱軸，待定系數(shù)法求：次函數(shù)解析式，比較函數(shù)值大小，

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知二次函數(shù)y=∕+?x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4,5)與點(diǎn)8(0,-3),且與X軸交于點(diǎn)

C、D.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式，以及與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)Q(m,")在該二次函數(shù)圖象上，

①求〃的最小值；

②若點(diǎn)。到X軸的距離小于3,請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出m的取值范圍.

【答案】(1)J=X2-2X-3,C(-l,0),0(3,0)；(2)①-4,②l-√7<∕n<0或2<m<l+√7

【分析】

(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求解；

(2)①由y=∕-2x-3=(x-l)2-4…-4,即可求解；

②令I(lǐng)yl=IX2-2X-3∣=3,解得X=2或1±√7,即可求解.

【詳解】

fs=16+4b÷Cf?=—2

(1)將點(diǎn)A、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得?,解得.

[c=-3[c=-3

故拋物線的表達(dá)式為y=∕-2x-3,

令y=χ2-2x-3=0,解得x=3或-1,

故拋物線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)、(-1,0)：

(2)①y=χ2-2x-3=(x-lf-4…-4,

故”的最小值為T;

②令I(lǐng)yHX2-2X-3∣=3,解得尸0、x=2或1±√7,

故機(jī)的取值范圍的l-√7<m<0或2<〃?<1+夕.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是拋物線與X軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、點(diǎn)的對(duì)稱性等，利

用軸對(duì)稱確定最短路線是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，已知二次函數(shù)y=αχ2+?r+c的圖象過點(diǎn)A（TO）和點(diǎn)C（O,3）,對(duì)稱軸為直線X=L

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）結(jié)合圖象，當(dāng)y<3時(shí);直接寫出X的取值范圍.

【答案】（I）y=-∕+2x+3,（1,4）；（2）x<0或x>2

【分析】

（1）把A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=αr2+?χ+c?得到兩個(gè)方程，再加上對(duì)稱軸方程即可得到三元

方程組，然后解方程組求出。、氏C即可得到拋物線解析式，再把解析式配成頂點(diǎn)式即可得

到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先計(jì)算出函數(shù)值為3所對(duì)應(yīng)的自變量的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出y<3時(shí)，X

的取值范圍.

【詳解】

解：（1）根據(jù)題意得：

6z-?+c=0a=-↑

<c=3,解得：?=2,

bc=3

-------=11I

.2a

所以二次函數(shù)關(guān)系式為）=-∕+2χ+3,

因?yàn)閥=-（X-I）2+4,

所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）；

(2)當(dāng)y=3時(shí),-%2+2r+3=3,解得Λ=0或2,

所以當(dāng)y<3時(shí)，XVO或x>2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根

據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物

線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解：當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)

或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)

其解析式為交點(diǎn)式來求解.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

20.如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4(2,-1),且過點(diǎn)8(0,3).

(I)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)l<x<4時(shí)，求V的取值范圍.

2

【答案】(Dy=(x-2)-li(2)-l≤y<3,

【分析】

(1)首先設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，將所給點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出字母α的值即可；

(2)求得x=4,x=l時(shí)的函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為42,-1),設(shè)該拋物線的解析式為：y=“(x-2)2-I,

；該拋物線過點(diǎn)(0,3),

：.a(0-2)2-1=3,

解得：a-?,

二拋物線的解析式為y=(χ-2)2-1；

(2)當(dāng)x=l時(shí)，y=(1-2)2-l≈0,

當(dāng)x=4時(shí);y=(4-2)2-1=3,

"."a—I,

.?.拋物線開口向上，函數(shù)最小值為-1,

.?.當(dāng)l<x<4時(shí)，求y的取值范圍是-lSy<3.

【點(diǎn)睛】

主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法來求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是靈活設(shè)

出二次函數(shù)的解析式準(zhǔn)確求解，注意該函數(shù)最小值為頂點(diǎn)縱坐標(biāo).

21.己知二次函數(shù)的圖像如圖所示.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)該二次函數(shù)圖像與

y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；(3)寫出當(dāng)y>o時(shí)自變量X的取值范圍.

2

【答案】(I)y=(x+l)-4i(2)(0,-3)；(3)x<-3或x>l

【分析】

(1)根據(jù)函數(shù)圖象可設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)式，即可得解：

(2)令X=O即可得解；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象求解即可;

【詳解】

解：(1)由圖像可知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4),

可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=α(x+l)2-4,

把(1,0)代入表達(dá)式可得α=l,

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(*+7尸-4：

(2)令X=0,可得尸-3,

??.與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)；

(3)令y=o,即(x+I)2-4=0,

解得：X∣=1,工2=-3,

???拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),

,觀察圖象得：y>0時(shí)，x<-3或x>l.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同時(shí)考查了用拋物線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，判斷函數(shù)

值在某一范圍時(shí)自變量的取值范圍的方法.利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

22.已知，點(diǎn)P為二次函數(shù)了=-。-〃?)2-2加+1圖象的頂點(diǎn)，直線y=區(qū)+2分別交X軸的

負(fù)半軸和y軸于點(diǎn)A,點(diǎn)B.

(1)若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B,求二次函數(shù)的解析式.

(2)如圖，若點(diǎn)A坐標(biāo)為(YO),且點(diǎn)尸在AOB內(nèi)部(不包含邊界).

①求機(jī)的取值范圍；

②若點(diǎn)c1-?∣,yj,。(提%)都在二次函數(shù)圖象上，試比較%與力的大小

2

【答案】(i)y=-(χ+ιy+3;(2)①-g<m<o