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文檔簡介

2023屆高考數(shù)學三輪沖刺卷:棱錐的表面積與體積

一、選擇題(共20小題;)

1.已知高為3的三棱柱ABCBlCl的底面是邊長為1的正三角形,如圖所示,則三棱錐當-

ABC的體積為()

Airc-------ΛCX

2.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是(

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

3.如圖,一個簡單空間幾何體的三視圖其正視圖與側(cè)視圖都是邊長為2的正三角形,其俯視圖輪廓

為正方形,其體積是()

怔視窗側(cè)視圖

區(qū)

C.經(jīng)

4.棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1:2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分,那

么這個截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于()

A.1:9C.1:4D.1:3

5.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()

3

VA

側(cè)視圖

B.1c?lD.3

6.已知棱長為1的正方體被兩個平行平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖所示,則剩余部分

的表面積為()

俯視圖

A.∣B.3+√3C.竽D.2√3

7.已知正方體4BCD-4/iCi£)i,點P在線段4G上,當NBPD最大時,四棱錐P-ABC。的體

積與正方體的體積之比為()

8.如圖,將邊長為√I的正方形48CD沿對角線BD折起,使得4C=1,則三棱錐A-BCD的體積

為()

C心D.-

23

9.三棱錐P-ABC的底面△ABC是邊長為√3的等邊三角形,該三棱錐的所有頂點均在半徑為2的

球上,則三棱錐P-ABC的體積最大值為()

.2√3-33小3+2√3C9+6√3

A.--------Do.-----C.--------D.--------

4444

10.已知矩形ABC。的頂點都在半徑為5的球。的球面上,且AB=6,BC=2√5,則棱錐。一

ABCD的側(cè)面積為()

A.20+8√5B.44C.20√5D.46

IL如圖,E,F分別為棱長為1的正方體的棱&Bi,BlCl的中點,點G,H分別為面對角線4C

和棱A4上的動點,則下列關(guān)于四面體E-FGH的體積正確的是()

A.該四面體體積有最大值,也有最小值

B.該四面體體積為定值

C.該四面體體積只有最小值

D.該四面體體積只有最大值

12.正四棱錐的側(cè)棱長為遙,底面邊長為2,則該棱錐的體積為()

A.8B.-C.6D.2

3

13.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形,CE=2EP,若三棱錐P-EBn的體積為

%,三棱錐P-AB。的體積為玲,則稱的值為()

v2

14.四面體4BCD的四個頂點都在某個球。的表面上,ABCO是邊長為3b的等邊三角形,當Z在

球。表面上運動時,四面體ABCD所能達到的最大體積為—,則四面體OBCD的體積為

4

()

A.^B.*C,9√3D,^

842

15.正三棱柱ABC—&BICl的底面邊長為2,側(cè)棱長為8,D為BC中點,則三棱錐A-B]。Cl的

體積為()

A.3B.-C.1D.-

22

16.在外接球半徑為4的正三棱錐中,體積最大的正三棱錐的高等于()

A.-B.-C.-D.-

3423

17.在三棱錐P中,O為底面48C的邊AB上一點,M為底面4BC內(nèi)一點,且滿足而=

-AB,M4=AD+-BC,則三棱鐳P一AMD與三棱錐P-ABC的體積比經(jīng)皿為()

45Vp-ABC

4

-

A.2B.5

25

18.一個等腰三角形的周長為10,四個這樣相同等腰三角形底邊圍成正方形,如圖,若這四個三角

形都繞底邊旋轉(zhuǎn),四個頂點能重合在一起,構(gòu)成一個四棱錐,則圍成的四棱錐的體積的最大值

為()

A5OOV^D500Λ^

A.------D.------------C.5√3D.15√2

8127

19.已知三棱錐S-4BC的所有頂點都在球。的球面上,底面AABC是邊長為1的正三角形,棱

SC是球。的直徑且SC=2,則此三棱錐的體積為()

AWB-?

cD

6?f?T

20.已知邊長為1的正方體內(nèi)接于半球體,即正方體的頂點中,有四點在球面上,另外四點在半球

體的底面圓內(nèi),則半球體的體積為()

A16π

A.——B.√6πC.D.4√6π

3亨

二、填空題(共5小題;)

21.側(cè)棱長為2的正三棱錐,若其底面周長為9,則該正三棱錐的體積是.

22.如圖,正方體ABC。-AIBlClDl的棱長為2,點P在正方形ABCC的邊界及其內(nèi)部運動.平面

區(qū)域IV由所有滿足4ιP≤遍的點P組成,則”的面積是;四面體P-&BC的體積

的最大值是.

23.將一塊邊長為6cm的正方形紙片,先按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形,然

后將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個正四棱錐模型(底面是正方形,從頂點向底面作垂線,垂

足是底面中心的四棱錐),將該四棱錐如圖2放置,若其正視圖為正三角形,則其體積

為cm3.

圖I圖2

24.一個六棱錐的體積為2代,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面

積為.

25.在正三棱錐A-BCD中,底面邊長為6,側(cè)棱長等于5.則正三棱錐A-BCD的體積

V=;正三棱錐4-BCD的外接球的半徑R=.

三、解答題(共5小題;)

26.已知正三棱錐。-4BC的底面邊長為1,且它的側(cè)棱與底面所成的角為60。,求這個三棱錐的體

積和表面積.

27.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABC。是邊長為4的正方形,EF//AB,EF=2,EF

上任意一點到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.

28.如圖,求證三棱柱ABC-A1B1C1可分割為三個體積相等的三棱錐.

29.如圖,已知4BCZ)—4BIClDl是棱長為α的正方體,E為的中點,F(xiàn)為Cel上一點,求三

棱錐&一DIEF的體積.

30.已知四棱錐P-48C0中,PA垂直于直角梯形ABCD所在的平面,BAlAD,BC//AD,M是

PC的中點,且48=4。=AP=2,BC=4.

(1)求證:DM〃平面P4B;

(2)求三棱錐M-PBD的體積.

答案

【解析】設(shè)三棱錐B-ABC的高為h,則匕棱錐TSAABCh=日

1.D1BlBC==[XfX3

2.D

3.C

4.B

5.C

6.B【解析】由三視圖可得,該幾何體為如圖所示的正方體ABCD-4BlGDl截去三棱錐Di-

ACD和三棱錐B-A1B1C1后的剩余部分.

其表面為六個腰長為1的等腰直角三角形和兩個邊長為VI的等邊三角形,

所以其表面積為6×∣×l2+2×y×(√2)2=3+√3.

7.C

8.A【解析】如圖所示,圖1中,連接4C與BD相交于點。,

AC1BD,

則。4=OC=1AC=1,

圖2中,AOAC是等邊三角形,04J.BD,OC1BD,OACtOC=0,OAU平面。AC,OCc

平面。AC,

所以BD1平面04C,

2

所以三棱錐A-BCD的體積=∣×SΔOΛC×βD=∣×y×l×2=y.

9.C

1().B

【解析】由題意可知四棱錐。-ABCD的側(cè)棱長為5.

因為側(cè)面中底面邊長為6和2遙,它們的斜高為4和2芯,

所以棱錐。一ABCD的側(cè)面積為S=4×6+2√5×2√5=44.

H.D【解析】因為E,F分別為棱長為1的正方體的棱AlB1,BIG的中點,

所以EF〃&G,

y.A1C1//AC,

故點G到EF的距離為定值,

則△EFG面積為定值,

當點H與點A重合時,為平面構(gòu)不成四面體,故只能無限接近點4

當點,與點義重合時,/1有最大值,體積有最值,

所以四面體體積有最大值,無最小值.

12.B

13.B【解析】設(shè)點E到平面PBD的距離為b,點C到平面PBD的距離為h2,

由CE=2EP得h1th2=1:3,

因為點A到平面PBD的距離與點C到平面PBD的距離相等,

所以三棱錐P-ABD的體積V2=VA.PBD=?s?pgp?h2,

又三棱錐P-EBD的體積V1=VE-PBD=?δpbd?h1,

則興=空=;,故選B.

V2h23

14.C【解析】四面體48Co達到最大體積時,401平面BCD,設(shè)此時的高為九,

則:xfx(3√5)2∕ι=竽,

34',4

2

所以h=9,設(shè)球的半徑為R,則R2=(∕χ3√5)+(9-R)2,

所以R=5,

所以四面體OBCD的體積為∣×γ×(3√3)2×(9-5)=9√3.

15.C

【解析】如圖,在正三角形4BC中,D為BC中點,則有AO=*AB=遍,ShDBiCi=?×2×

√3=√3.

又因為平面BBlGC_L平面ABC,平面BBlQCn平面ABC=BC,AD1BC,4。u平面ABC,所以

ADJ■平面B∕GC,即AD為三棱錐4-BiDG的高.

Iz5

所以三極錐A-BMG=∣ΔDB1C1?>4D=∣×√3×√3=1.

16.D【解析】如圖,設(shè)正三棱錐A-BCD的外接球的球心為0,連接AO并延長交底面BCD于E,

則AEI平面BCD,連接DE并延長交BC于F,則DFIBC.設(shè)正三棱錐的底面邊長為a,高為h,

由題易得。E="4,DE=^-a,

則在直角三角形。ED中,OD2=OE2+DE2,

即42=僅一4)2+(Fa),

整理得8∕ι-F=扣2,

因為>0,

所以8八一九2>0,

所以0<九<8.

又因為正三棱錐的體積

K=∣×^-a2h=y(8h—h2)h=γ(8∕ι2-∕ι3),

所以V=更(16∕ι-3%2),

所以M=0,解得∕l=g或九=0(舍去),

所以函數(shù)V=^(8h2-ft3)在(0,T)上單調(diào)遞增,在售,8)上單調(diào)遞減,

所以當∕l=g時,U取得最大值.

17.D【解析】如圖,

P

由宿=而+∣就知,DM//BC,

所以ΛMDA=?CBA,

所以SAAMDDMSD_9

SAABCBCAB~20

因為三棱錐P-ABC與三棱錐P-AMD同高,

所以二PTMD_S"MD__9_

Vp-ABC-SΔABC-20*

18.A【解析】四棱錐如圖,

設(shè)底面正方形邊長的一半為X,

則有AO=√(5-x)2-x2-x2=√-x2-IOx+25,

V=--X2-V-X2—IOx+25=-√-x6-IOx5+25x4.

33

設(shè)y=-X6—IOx5+25X4,

則y'=-6x5—50x4+IOOx3=2X3(-3X2—25%÷50)=2x3(x+10)(-3%+5),

由y'=0,可得%=-10(舍)或%=|,

所以?nax=誓?

19.A

20.C

π4

22.

43

8√6

23.

3

【解析】因為正四棱錐的正視圖是正三角形,正視圖的底面邊長為α,高為三α,

所以正四棱錐的斜高為α,

因為圖1得出:因為將一張邊長為6Cm的紙片按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形,

圖1圖2圖3

所以*x6=α+巴,a=2V2.

22

所以正四棱錐的體積是12X梟=VCm3.

24.12

【解析】因為一個六棱錐的體積為2百,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,

所以棱錐是正六棱錐,設(shè)棱錐的高為h,則1x6xfx22?h=2√5,

所以h=1,

棱錐的斜高為:J∕I2+(苧X2)2=√IT^=2,

該六棱錐的側(cè)面積為:6×∣×2×2=12.

25?3回,誓

【解析】如圖所示,在正三棱錐4一BCD中,A在平面BCD內(nèi)的投影E為等邊ABCD的中心.

底面邊長為6,則Ez)=IFD=2√3,

在Rt△AED中,利用勾股定理得到AE=√13,V=?∕ι=∣×∣×6×6sin60oX√13=3√39.

如圖所示,正三棱錐4-BCD的外接球的球心在AE上,設(shè)為。,

OE=√13-/?,ED=2√3,OD=R,

—7O

利用勾股定理得到R2=(√13-/?)+(2√3),

所以R=誓

“U√3√3+√39

26.K=——,Sc=-----.

124

。四枝錐ETBCD=9X3=16.

因為48=2E凡EF〃AB,

所以^LEAB=2S>BEF?

所以V三棱錐F-EBC

=曝棱錐C-EFB

=9七棱錐C-ABE

=2v≡^E-ABC

1ιu

=2X2”四枝錐E-48C0

=4.

所以多面體的體積V=%棱錐ET8C0+金棱錐F-EBC=I6+4=20.

28.由祖唯原理可知底面積和高分別相等的兩個三棱錐的體積相等.

所以^Ai-ABC=^B-B1A1C?

又SABBIS=SABClC,

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