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文檔簡介
大興區(qū)2023?2024學年度第一學期高二期末檢測
數(shù)學
1.本試卷共4頁,共兩部分,21道小題.滿分150分.考試時間120分鐘.
2.在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和準考證號.
3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效.
4.在答題卡上,選擇題用2B鉛筆作答,其他題用黑色字跡簽字筆作答.
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求
的一項.
22
土+J
1.橢圓94的長軸長為(
A.4B.5C.6D.9
【答案】C
【解析】
【分析】由橢圓的方程即可得出答案.
【詳解】由三+二=1可得片=9,則2。=6.
94
故選:C.
r22
2.雙曲線匕=1的漸近線方程為()
42
R4母
A.y=±xB.y=±——x
2
Cy=+y/2xD.y=±—x
2
【答案】B
【解析】
【分析】直接由漸近線的定義即可得解.
2222£7
【詳解】由題意雙曲線Z—二=1的漸近線方程為土—二=0,即y=±%x.
42422
故選:B.
3.若直線/的方向向量為(2,1,m),平面a的法向量為11,。,2)且則m=(
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
【分析】由可知,直線/的方向向量與平面a的法向量平行,列方程組求解即可.
【詳解】:?直線/的方向向量為(2,1,m),平面a的法向量為]l,g,2],且
;?直線/的方向向量與平面£的法向量平行,
則存在實數(shù)九使(2,1,m)=,
2=4
:?<1=—2,解得X=2,機=4,
2
m=2A
故選:D.
4.兩條平行直線犬—y=0與%—y—1=0間的距離等于()
A.—B.1C.J2D.2
2
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用兩平行線間的距離公式求解.
【詳解】兩條平行直線X—y=0與X—y—1=。,
」+[V2
由兩平行線間的距離公式可知,所求距離為
d=7—2.
故選:A.
5.過點(1,0)且被圓Y+(y+2)2=l截得的弦長最大的直線方程為()
A.2x+y—2=0B.2x—y—2=0
C.x+2y-l=0D,x-2y-l=0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可知所求直線即為過圓心的直線,結(jié)合直線的截距式方程求解.
【詳解】由題意可知:圓好+(丁+2)2=1的圓心為(0,—2),
顯然圓的最大弦長為直徑,所求直線即為過圓心的直線,
可得直線方程為彳+==1,即2x—y—2=0.
故選:B.
6.圓弓:必+:/=2與圓2)2+(y—2)2=2的位置關系是()
A.相交B.相離C.內(nèi)切D.外切
【答案】D
【解析】
【分析】求出兩個圓的圓心距即可判斷得解.
【詳解】圓G:f+y2=2的圓心£(0,0),半徑4=四,圓。2:(X-2)2+(y-2)2=2的圓心。2(2,2),
半徑&=近,
顯然|。。2|=2四=彳+々,所以圓G與外切.
故選:D
7.采取隨機模擬的方法估計氣步槍學員擊中目標的概率,先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),
指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,以三個隨機數(shù)為一組,代表三次射擊擊中的結(jié)
果,經(jīng)隨機數(shù)模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):
907966181925271932812458569683
431257393027556488730113537989
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計,該學員三次射擊至少擊中兩次的概率為()
3729
A.—B.—C.-D.—
1020520
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)計數(shù)至少擊中兩次的次數(shù)后計算概率.
【詳解】所給數(shù)據(jù)中有181,271,932,812,431,393,113共7個數(shù)據(jù)表示至少擊中兩次,
7
所以概率為尸==.
故選:B.
22
8.若方程—+3—=1表示雙曲線,則實數(shù)加的取值范圍為()
m-34-3m
(4
A.U(3,+oo)B.
I3p3
(4
-00,-------o(3,+oo)
C.I3D.p3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到(加-3/4-3加)<0,再解不等式即可.
【詳解】依題意,(m-3)(4-3m)<0,則機<g或機>3.
故選:A
2
9.已知耳,鳥是雙曲線G:d-L=1與橢圓。2的左、右公共焦點,A是G,G在第一象限內(nèi)的公共點,若
8
閨閶=閨4則的離心率是()
321
A.-B.-c.1D
553-1
【答案】A
【解析】
【分析】由雙曲線定義、橢圓定義以及離心率公式,結(jié)合已知條件運算即可得解.
=J8+1=3,
所以陽閶=|為4|=2c=6,
?.?|耳川一|乙A|=2a=2,.?.優(yōu)A|=4,.?.忻聞+區(qū).=10,
**,IFpz|=6,。2禺心率是c——=—
-105
故選:A.
10.平面內(nèi)與定點片(-。,0),乙(。,0)距離之積等于/(a>0)的動點的軌跡稱為雙紐線.曲線。是當
a=2拒時的雙紐線,P是曲線。上的一個動點,則下列結(jié)論不正確的是()
A.曲線C關于原點對稱
B.滿足用=歸閭的點P有且只有一個
C.|OP|<4
D.若直線,=區(qū)與曲線。只有一個交點,則實數(shù)上的取值范圍為(—1,1)
【答案】D
【解析】
【分析】由題意得當a=2夜時的雙紐線方程為(必+;/1=16卜2—力,對于八,用(一%,一?。┨鎿Q方程
中的(%y)即可判斷;對于B,令|P片|=|P閶,求出點P的坐標即可驗證;對于C,由
x?+9=16(:—;16即可判斷;對于D,由方程(1+左2)2爐=16?!獰o零解,即可得解.
x+y
【詳解】根據(jù)雙紐線的定義可得+a)2+-.J(x—a)2+y2=/,
當a=2夜時,曲線C:^(%+272)2+/■^(%-272)2+/=8.
BP/+2/(x2+8)+(x2-8)2=64,整理,^(x2+y2)2=16(x2-y2),
對于A,用(-x,-y)替換方程中的(%y),原方程不變,所以曲線C關于原點中心對稱,故A正確;
對于B,若歸片|=歸閶,則,卜+2可+/=小—2⑸,所以x=0,此時V+8=8,即y=0,
所以滿足|W|=|P閭的點P有且只有一個,即(0,0),故B正確;
對于C,由卜2+)?)2=16卜2—V),得于+,2=16(:—1)?]6,所以曲線c上任意一點到原點的距
離,即都不超過4,故C正確;
對于D,直線與曲線C一定有公共點(0,0),若直線與曲線C只有一個交點,將,=近代入方程
(丁+力2=16卜2-力中,
得(1+左2),4=16(1—左2.2,當XW0時,
方程(1+左2)2/=16(1—無零解,則1—左2<0,解得左21或左W—1,故D錯誤.
故選:D.
【點睛】關鍵點睛:判斷D選項的關鍵是首先一定有公共點(0,0),然后通過化簡方程組得方程
(1+左2)2/=160—無零解,由此即可順利得解.
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.
11如果事件A與事件B互斥,且尸(A)=0.2,P(B)=0.3,則P(AB)=—.
【答案】0.5
【解析】
【分析】P(AI8)表示事件A與事件B滿足其中之一占整體的占比.所以根據(jù)互斥事件概率公式求解.
【詳解】P(A5)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5
【點睛】此題考查互斥事件概率公式,關鍵點在于理解清楚題目概率表示的實際含義,屬于簡單題目.
12.經(jīng)過原點(0,0)且與直線3x+4y+5=0垂直的直線方程為.
【答案】4x-3y=0
【解析】
【分析】與直線3x+4y+5=0垂直的直線方程可設為:4x-3y+b=Q,再將(0,0)代入即可得出答案.
【詳解】與直線3x+4y+5=0垂直的直線方程可設為:4x-3y+b=0,
又因為經(jīng)過原點(0,0),所以8=0.
所求方程為4x-3y=0
故答案為:4x-3y=0.
2
13.已知雙曲線C=1(m〉0)是等軸雙曲線,則。的右焦點坐標為;C的焦點到其漸
m
近線的距離是.
【答案】①.(四,0)②.1
【解析】
【分析】根據(jù)等軸雙曲線的概念求得比,即可得焦點,再根據(jù)點到直線的距離可得結(jié)果.
【詳解】雙曲線。:必—二=1(根〉0)是等軸雙曲線,則機2=1,“2=1,
m
二片+^=1+1=2,則c=0,則則。的右焦點坐標為(、歷,0卜
雙曲線的漸近線方程為丁=土無,即x土y=0,
則焦點(±V2,o)到漸近線的距離d=If=1,
故答案為:(3,0),1.
14.探照燈、汽車燈等很多燈具的反光鏡是拋物面(其縱斷面是拋物線的一部分),正是利用了拋物線的光
學性質(zhì):由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對稱軸方向射出.根據(jù)光路可逆圖,在平面直角坐標系
中,拋物線C:9=8x,一條光線經(jīng)過M(8,-6),與天軸平行射到拋物線C上,經(jīng)過兩次反射后經(jīng)過
N(8,%)射出,則為=,光線從點/到N經(jīng)過的總路程為
Q
【答案】①.—②.20
3
【解析】
【分析】由點N與點。的縱坐標相同和韋達定理可得為,利用拋物線的定義可求得總路程.
【詳解】如圖,設第一次射到拋物線上的點記為尸,第二次射到拋物線上的點記為Q,易得6
因為尸(2,0),
所以直線P戶的方程為12x+5y—24=0.
聯(lián)立上一消去X整理得3y2+10y-48=0,
12x+5y-24=0
可設Q(x。,%),顯然-6和%是該方程的兩個根,
Q
則一6yo=T6,所以為=§.
(方法一)光線從點M到N經(jīng)過的總路程為
\MP\+\PQ\+\QN\=(XM一%)+(龍尸+尤2+4)+(稅一九2)=光”+^+4=20.
(方法二)設拋物線的準線為Z,則其方程為x=-2,分別過點P,。做準線/的垂線,垂足分別為G,H,
WJ|PF|=|PG|,\QF\=\QH\,所以|PQ|=|PF|+|QF|=|PG+|QM,
故光線從點M到N經(jīng)過的總路程為
\MF\+\PQ\+\QN\=\MG\+\NH\=8+2+8+2=20.
15.畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn):與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓
22
中心為圓心的圓,我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.己知橢圓。:[+?=1(4>匕>0)的離心率為
ab
當,耳,B分別為橢圓的左、右焦點,A3為橢圓上兩個動點.直線/的方程為bx+紗-。2—尸=0.給出下列
四個結(jié)論:
①C的蒙日圓的方程為f+y2=3〃;
②在直線/上存在點尸,橢圓C上存在A3,使得PB;
③記點A到直線/距離為d,則d—的最小值為半6;
④若矩形肱VGH的四條邊均與C相切,則矩形肱VGH面積的最大值為6戶.
其中所有正確結(jié)論的序號為.
【答案】①②④
【解析】
【分析】由。(。力)在蒙日圓上可得蒙日圓的方程,結(jié)合離心率可得。力關系,由此可知①正確;由/過
且P他,。)在蒙日圓上,可知當A3恰為切點時,PA±PB,知②正確;根據(jù)橢圓定義可將
d-|4工|轉(zhuǎn)化為d+|A周—2a,可知耳A,/時,2+|4耳|取得最小值,由點到直線距離公式可求得
4+|4昂最小值,代入可得8-|4工|的最小值,知③錯誤;由題意知,蒙日圓為矩形肱VGH的外接圓,
由矩形外接圓特點可知矩形長寬與圓的半徑之間的關系必+V=12戶,利用基本不等式可求得矩形面積最
大值,知④正確.
【詳解】對于①,過。(。3)可作橢圓的兩條互相垂直的切線:x=a,y=b,
???Q(a,b)在蒙日圓上,.?.蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2,
由e=£=Jl—t=交,得標=2〃,
a\a22
...C的蒙日圓方程為三+丁2=3/,故①正確;
對于②,由/方程知:/過尸他,a),
又P(b,a)滿足蒙日圓方程,尸0,a)在圓龍2+y2=3戶上,
當A3恰為過P作橢圓兩條互相垂直切線的切點時,PA±PB,故②正確;
對于③,?.?人在橢圓上,,|441+|4居1=2匹
d-\AF2\=d-(2a-\AF,\)=d+\AF{\-2a,
當月A,/時,d+1A4|取得最小值,最小值為F[到直線/的距離,
又可到直線/的距離41“丁3」-人常工羋匕,
荷+/0b3
???(d-\AF2|)min=^b-2a,故③錯誤;
對于④,當矩形肱VGH的四條邊均與。相切時,蒙日圓為矩形禰VGH的外接圓,
矩形肱VGH的對角線為蒙日圓的直徑,
設矩形肱VGH的長和寬分別為辦",貝U療+〃2=12/,
矩形MNGH的面積S=根〃<-------=6b2,當且僅當根="=6時取等號,
2
即矩形面積的最大值為6/,故④正確.
故答案為:①②④.
【點睛】關鍵點睛:本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解,解題關鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義,結(jié)合
點(。力)在蒙日圓上,得到蒙日圓的標準方程,從而結(jié)合圓的方程來判斷各個選項.
三、解答題共6小題,共85分.解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程.
16.己知兩直線6:7m:+8y+〃=0和6:2x+my-l=Q,
(1)若乙與4交于點尸(私T),求也”的值;
(2)若“〃2,試確定辦72需要滿足的條件.
【答案】(1)m=l,n=7
(2)當機=4,"w-2或機=#2時,
【解析】
【分析】(1)將點代入則得到方程,解出即可;
(2)根據(jù)平行列出方程,解出加=±4,再排除重合的情況即可.
【小問1詳解】
將點P(機,—1)代入兩直線方程得:77?一&+〃=o和2根—m―1=0,
解得m=1,n=7.
【小問2詳解】
由/J//2得:〃廠一8x2=0=>加=±4,
又兩直線不能重合,所以有8x(—1)—〃加w。,對應得〃w±2,
所以當根=4,〃w-2或m=T,〃w2時,lj/l2.
17.已知橢圓C:三+上=1與經(jīng)過左焦點Fl的一條直線交于A,B兩點.
43
(1)若工為右焦點,求AAB區(qū)的周長;
TT
(2)若直線A3的傾斜角為一,求線段A3的長.
4
24
【答案】(1)8(2)—
【解析】
【分析】(1)直接畫出圖形結(jié)合橢圓的定義即可求解.
JT
(2)由題意結(jié)合左焦點4的坐標以及直線AB的傾斜角為一,可得直線AB的方程,將其與橢圓方程聯(lián)立,
4
結(jié)合韋達定理以及弦長公式即可得解.
【小問1詳解】
由題意a=2,由橢圓定義有=2a=4,忸耳|+忸閭=2a=4,
所以AAB耳的周長為+|和|+忸閶=|A制+|班|+忸國+忸閶=4+4=8.
【小問2詳解】
設4(和%)5(孫%),
2
由題意直線AB的斜率為左=tan:=l,°=1a_濟=,4-3=1,即片(一1,0),
|22
22X"-1
所以直線A3的方程為>=%+1將它與橢圓方程二+二=1聯(lián)立得<43
43
y=x+l
消去y并化簡整理得7必+8尤—8=0,
88
顯然△>€),由韋達定理得X]+冗2=—亍,%%2=—,,
所以線段AB的長為=J1+左2歸-x2\=J1+左2,(再+%2『-4七々=A/2x
18.已知圓C經(jīng)過點A(2,0),與直線x+y=2相切,且圓心C在直線2x+y-1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)已知直線/經(jīng)過點(0,1),并且被圓C截得的弦長為2,求直線/的方程.
【答案】(1)(x-1)2+(j+1)2=2
(2)尤=0或3尤+4y-4=0
【解析】
【分析】(1)由圓C的圓心經(jīng)過直線2x+y-1=0上,可設圓心為C(a,1-2a).由點到直線的距離公式表
示出圓心C到直線尤+y=2的距離d,然后利用兩點間的距離公式表示出AC的長度即為圓的半徑,然后根
據(jù)直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑,列出關于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,由
a的值可確定出圓心坐標及半徑,然后根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可.
(2)分類討論,利用圓心到直線的距離為1,即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
因為圓心C在直線2x+y-1=0上,可設圓心為C(a,1-2a).
|-a-11
則點C到直線x+y=2的距離d=%」.
據(jù)題意,d=\AC\,則??=,(a—2¥+(1—2ay,
解得a=l.
所以圓心為C(l,-1),半徑r=d=J5,
則所求圓的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.
【小問2詳解】
左不存在時,x=0符合題意;
k+2|3
左存在時,設直線方程為丘-y+l=0,圓心到直線的距離,-----=1,.,.k=—,
Jie2+14
,直線方程為3x+4y-4=0.
綜上所述,直線方程為尤=0或3x+4y-4=0.
19.如圖,在四面體ABC。中,AD,平面ABC,點M為棱AB的中點,
AB=AC=2,BC=25AD=2.
BC
(1)證明:AC1BD-,
(2)求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值;
(3)在線段8。上是否存在一點P,使得直線PC與平面DCM所成角的正弦值為如?若存在,求空
6BD
的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
⑵正
3
(3)不存在,理由見解析
【解析】
【分析】(1)由勾股定理得AB1AC,由平面ABC得AD,AC,從而AC,平面ABD,進而得
出結(jié)論;
(2)以A為坐標原點,以A3,AC,AO所在直線分別為羽%z軸,建立空間直角坐標系,求出平面BCD與
平面DCM的法向量,利用向量夾角公式求解;
RP
(3)設——=X(0K2<1),則=48。,求得「(2-240,24),設直線PC與平面DCM所成角為0,
BD
,.PC-n
由題意sin3=cos{PC,n)=———,列式求解即可.
'/PC\\n
【小問1詳解】
VAB=AC=2,BC=242,:.AB~+AC2=BC2-AABJ.AC,
:A£)_L平面ABC,ACu平面ABC,,ADJ_AC,
VABryAD=A,A3,ADu平面鉆口,
AC_L平面
;3Du平面ABD,AAC.LBD.
【小問2詳解】
以A為坐標原點,以A5,AC,AT)所在直線分別為蒼%z軸,建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),M(l,0,0),
BC=(-2,2,0),CD=(0,-2,2),CM=(1,-2,0),
設平面BCD的法向量為加=(七,另,4),
m-BC=-2玉+2%=0
令3=1,則M=1,Z]=1,m=(1,1,1)>
m-CD=-2yt+2z1-0
設平面DCM的法向量為〃=(々,必*2),
n-CD=-2y,+2z,=0
由彳'一,令%=1,則%=2,z?=1,n=(2,1,1),
n-CM=x2-2y2=0
/\m-n42^2
?COS(m,n)=-j—n~~r=―產(chǎn)———-------
'/“〃V3x^63
平面BCD和平面DCM夾角的余弦值為述
3
【小問3詳解】
PP
設=A(O<^<1),則BP=A.BD>
BD
設P(x,y,z),則(%—2,丁/)=/1(-2,0,2),得x—2=—2X,y=0,z=2;l,
/.尸(2-22,0,22),PC=(22-2,2,-22),
平面DCM的法向量為“=(2,1,1),
設直線PC與平面DCM所成角為夕,
/\PCn|22-2|76
由題意,sin。=cos(PC,n)=——n—=,=~,
'/PC”V8A2-82+8XV66
.?.42+1=0,此方程無解,
在線段8。上是不存在一點P,使得直線PC與平面DCM所成角的正弦值為逅.
6
20.已知拋物線C:y2=2/(p>0),過。的焦點尸且垂直于x軸的直線交。于不同的兩點P,Q,且
闋=4.
(1)求拋物線。的方程;
(2)若過點〃(0,2)的直線/與。相交于不同的兩點A,3,N為線段A5的中點,。是坐標原點,且JL05
與△MQV的面積之比為6:1,求直線/的方程.
【答案】(1)>2=4%
(2)y=;x+2或y=-x+2
【解析】
【分析】(1)由題意可得直線P,Q方程,進而可得|尸。=2,,可求得。值,即可得答案.
(2)設直線/的方程為y=Ax+2(左/0),聯(lián)立直線與拋物線,根據(jù)韋達定理及弦長公式求得點N的橫坐
標/,|人用,求出。到直線/距離d,由與△MON的面積的關系列式求出左,可得答案.
【小問1詳解】
拋物線C:V=2px(0>0)的焦點《go],
則尸,。兩點所在的直線方程為:x=g,
代入拋物線C:y2=2px(p>0),得_/=/,y=±p;
則|PQ|=2夕=4,故夕=2,
拋物線C的方程為y2=4x.
【小問2詳解】
由題意,設直線/的方程為y=Ax+2(左/。),4(西,%),3(々,當),
y=kx+2,,
聯(lián)立廣,,得左2^+(4左—4)x+4=0,
y=4x
A=(4左一4)2—16左②=—32左+16〉0,解得左且左w0,
4-4k4
Xx+X2=———,,
——一、ix,+x92-2k
點N的橫坐標為xN==2,
乙K
\AB\=J(l+左2)[(5+%)2-標㈤=J(l+左2)[4^)2-1]=4?+k[Q-2k)一
,2
。到直線/距離i——不
4jl-2左
???一AOB的面積;I明?d=;X4W+)
2a--P-
L2?V1+
△MON的面積S△MON=,詠I=;x2x專學=三g,
由題意S#'S,MON'
_7I
.Z"2k=舟二#,整理得3尸+2左一1=0,解得左=彳或左=—1,
k2k23
中,左、右焦點為耳,月,四邊形片片生工是面
積為2的正方形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若P是橢圓P上異于男,當?shù)狞c,判斷直線尸耳和直線尸員的斜率之積是否為定值?如果是,求出定
值;如果不是,請說明理由;
2
(3)已知圓d+y2=§的切線/與橢圓c相交于2E兩點,判斷以DE為直徑的圓是否經(jīng)過定點?如果
是,求出定點的坐標;如果不是,請說明理由.
丫2
【答案】(1)—+/=1
2
(2)是定值,定值為-,
2
(3)過定點,定點為(0,0)
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意列式求。,仇c,即可得橢圓方程;
(2)設P(%,%),%W0,根據(jù)斜率公式結(jié)合橢圓方程分析求解;
(3)取特例x=±g可知定點應為(0,0),再對一般情況,利用韋達定理可得OC.。。=0,即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
b=C\a=^2
由題意可得x2bx2c=2,解得,8=1,
2
2i2,2C—\
a—b+c〔
所以橢圓C方程為三+y2=l.
2
【小問2詳解】
是定值,理由如下:
設W0,則,+y;=i,可得x;=2(l—y;),
由(1)可知:4(0,—1),5(0,1),
%+1.>0T_y;T=y;_1=_j_
則kpB、’kpB?
/Xoxo20-端2,
所以直線PB]和直線PB2的斜率之積是定值.
【小問3詳解】
由題意可知:圓好+丁=:的圓心為(0,0),半徑為手,
因為逅<1,可知圓產(chǎn)+丁=2在橢圓內(nèi),可知切線/與橢圓c相交,
33
①當直線/的斜率不存在時,因為直線/與圓/相切,故切線方程為x=±Y5,
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