安徽省淮南市淮南四中2023-2024學年高一上學期第二次段數學考試

安徽省淮南市淮南四中2023-2024學年高一上學期第二次段

考數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={9,3間，3={根2,9},且4=8，則根=（）

A.0B.3C.±3D.3或0

2

2.設命題3x<0,使得X+-20,則力為（）

x

22

A.V%<0,者R有工~1—<0B.Vx>0,者B有工+一20

xx

22

C.3x<0,xH—<0D.3%>0,使得％+—20

Xx

3.“同>1”是“。>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若函數/。）=相'（。>0且"1）是（-?）,+?）上的單調遞減函數，則實數。的取值范圍

為（）

A.（0,1）B.（1,收）

C.（0,1）51,+<?）D.不確定

25

5.己知正實數龍力滿足lgx+lgy=l,則一+一的最小值為（）

A.8B.4C.2D.1

6.已知累函數〃x）=（2?7-l）爐的圖象經過點。^，下面給出的四個結論:①“力二二；

②為奇函數；③〃x）在R上單調遞增；④其中所有正確命題的

序號為（）

A.①④B.②③C.②④D.①②③

7.設函數/（尤）=]￡，則函數八刈的圖象大致為（）

c.D.o

8.已知=則函數/（%）的值域為（）

3

A.[l,+oo)B.—,+oo

2

1

C.—00—D.(-oo,l]

2

二、多選題

9.已知。<b<0,c<d<0,則下列不等式一定成立的是（）

dc

A.a+c<b+dB.ac>bdC.—>—D.a2>ab>b2

aa

三、單選題

10.下列根式與分數指數累的互化正確的是（）

3-

B.x(x>0)

_______3]

D.#>o)

四、多選題

H.已知函數/a)滿足/(%+、)=/(%)+/(、),％,ywR,則()

A./(0)=0B.f(k)=kf(l),keZ

C.7(x)=d￡|,d)D./(-%)/?<0

12.已知函數/(x)=log3(f-2x),則下列結論正確的是()

A.函數〃x）的單調遞增區(qū)間是［1,—）B.函數〃x）的值域是R

C.函數的圖象關于x=l對稱D.不等式/。）<1的解集是（-1,3）

五、填空題

13.已知函數“X）的定義域為（0,a）,則函數y=/（無+次）的定義域為

14.計算：1嗝+7嚙3=.

試卷第2頁，共4頁

15.若不等式d一依+120對一切x>0恒成立，則。的取值范圍是.

16.歐拉函數°(w)(〃eN*)的函數值等于所有不超過正整數小且與"互質的正整數

的個數，例如0(2)=1,0(4)=2,則9(6")=.

六、解答題

17.已知集合"={x|2VxV4},N={x[2+nzWx〈l-2m}.

⑴若求實數機的取值范圍；

⑵若McN=0,求實數m的取值范圍.

七、問答題

18.已知二次函數/。)=/+(2/+1)》+左2-2"(x)>0的解集為(—0,石)(x,,+a)).

⑴若％=1,求三+工的值；

xxx2

(2)若再>0,%>0，求實數人的取值范圍.

八、作圖題

19.已知對VxeR,都有/(-x)+/(x)=0,且當x>0時，f(x)=4-x2.

⑴求函數的解析式，并畫出〃尤)的簡圖(不必列表);

(2)求/(/(3))的值；

⑶求#(x)>0的解集.

九、證明題

20.已知函數/（對=\：，（凡beR）.

⑴若為奇函數，證明：a+b=0；

⑵討論〃x）的單調性.

十、解答題

21.“三星堆”考古發(fā)掘出大量的古代象牙，博物館需要設計一個透明且密封的長方體玻

璃保護罩，并充入昂貴的保護液，保護出土的這些古代象牙，該博物館需要支付的總費

用由以下兩部分構成：①保護液的費用，已知罩內該液體的體積比保護罩的容積少0.50?,

且每立方米的保護液費用為500元.②保險費，需支付的保險費為P（元），保護罩的容

積為Mn?）,。與x-1成反比，當容積為3m3時，支付的保險費為4000元.

（1）求該博物館支付的總費用y（元）與保護罩容積尤（n?）之間的函數關系式；

（2）如何設計保護罩的容積，使博物館支付的總費用最??？

22.設函數〃x）=log"S-6）">0且"1,6eR）,已知"2）=1,/（log06）=2.

⑴求的定義域；

⑵是否存在實數力,使得了（X）在區(qū)間卜％用上的值域是［2機-九2〃-/|?若存在，請求

出義的取值范圍；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據集合相等列方程，解方程，然后根據元素的互異性進行取舍.

【詳解】由A=B得3根=濟，解得m=3或加=0,

當機=3時，3m=9,不滿足元素的互異性，舍去；

當機=0時，A=5成立.

故選：A.

2.A

【分析】根據給定條件由含有一個量詞的命題的否定方法直接寫出p的否定判斷作答.

2

【詳解】命題P：3x＜0,使得x+—20,

x

2

則其否定為：Vx＜0,都有1+—＜（）.

x

故選：A

3.D

【分析】利用充分條件，必要條件的定義即得.

【詳解】因為同＞1=。＜一1或々＞1,

又av-L時，不能得出。＞0；

。＞0時，不能得出〃＜一1；

所以“同＞1”是“。＞0”的既不充分也不必要條件.

故選:D.

4.B

【分析】根據指數函數的性質得到關于。的不等式，解出即可.

【詳解】因為“X）=/J是S,+8）上的單調遞減函數，

則0＜—＜1,解得67＞1.

a

故選：B.

5.C

【分析】利用給定的等式求出再利用基本不等式求解即得.

【詳解】由lgx+lgy=lg孫=1,得孫=10,

答案第1頁，共10頁

而無>0,y>0,則2+922］竺=2,當且僅當工=』，即X=2,y=5時等號成立，

xy\xyxy

25

所以一+一的最小值為2.

xy

故選：c

6.B

【分析】根據題求幕函數解析式，判斷A；結合幕函數性質判斷②③④.

【詳解】對于①：由事函數的定義可知2%-1=1,解得加=1,

將點(2,8)代入函數/(力=4得2”=8,解得〃=3,

所以〃"=短，故①錯誤；

對于②：因為定義域為R,M/(-X)=(-%)3=-%3=-/(%),

所以為奇函數，故②正確；

對于③：由事函數的圖象可知，/'(X)在R上單調遞增，故③正確；

對于④：因為4+121,且〃x)在R上單調遞增，所以故④錯誤,

綜上可知，②③正確，①④錯誤.

故選：B.

7.D

【分析】根據函數的圖象性質分類討論判斷選項，

【詳解】l+e，>0恒成立，所以當x>0時，/(無)=}>。；

當x<0時，f(x)=-^<0,排除B、C項，

1+e

又/(°)=&=°，即過原點，排除人項-

1+e

故選：D.

8.C

【分析】利用換元法求得了(X)的解析式，進而結合二次函數的性質求解即可.

【詳解】設7=7^20,則》=一;

22

答案第2頁，共10頁

函數/(%)在［0,+")上單調遞減,

當x=0時，f(x)=—

J\/maxn

二函數y=/(x)的值域為.

故選：c.

9.ABD

【分析】本題考查了不等式的性質，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、傳遞性即

可求解.

【詳解】由不等式的同向可加性知選項A正確；

因為a<b<0,c<d<Q,所以一。>一>>0,-c>-d>0,所以故選項B正確；

因為c<d<0,-<0,所以&<￡,故選項C錯誤；

aaa

因為—a>>0,所以/>ab，ab>b2所以"，曲〉〃，故選項D正確.

故選：ABD.

10.ACD

【分析】利用根數與指數基的運算可判斷各選項的正確.

【詳解】對于A選項，(a>0),故A正確;

對于B選項，》>0)>故B錯誤;

對于C,=乂廣(尤>o,y>o),故c正確;

57X

故選：ACD.

11.ABC

【分析】結合已知條件，利用賦值法逐項判斷.

【詳解】對于A,7(0)=/(0+0)=/(0)+/(0)=2/(0),f(O)0,故A正確;

對于B,/(左)=/(左一1)+/(I)=于(k-2)+/(1)+/(I)==/(1)+/(1)+.+f(l)=kf(l),故

答案第3頁，共10頁

B正確;

==(小+(胃++/[[="口"故c正確;

對于D,f{x-x)=f(x+(-%))=/(x)+/(-A-)=/(O)=0,

fM==-(/(x))2<0,故D錯誤.

故選：ABC.

12.BC

【分析】根據對數函數相關的復合函數的單調性，值域，對稱性，及解對數不等式，依次判

斷即可得出結果.

【詳解】對A：令尤2一2》＞0,解得x＞2或尤＜0,故的定義域為/=（一/,0）32,+力），

y=log3a在定義域內單調遞增，a=/-2尤在（一4。）上單調遞減，在（2,+⑹上單調遞增，

故"X）在（-8，。）上單調遞減，在（2,+也）上單調遞增，A錯誤；

對B：；*2一2尤=（》-1）2一12-1,即＞的值域M=［-l,+co）,

V（O,+?）cM,故函數的值域是R,B正確；

X2X2

對C：?；"2-x）=logs［（2-）-2（2-）］=log3（x-2x）=/（x）,即/（2-x）寸（x）,

故函數〃x）的圖象關于x=l對稱，C正確；

2

對D：/（x）=log3（x-2x）＜1=log33,且y=log3無在定義域內單調遞增，

可得0＜爐一2元＜3,解得2Vx＜3或一l＜x＜0,

故不等式/（x）＜l的解集是（TO）（2,3）,D錯誤.

故選：BC.

13.（-72,0）

【分析】根據/■（*）的定義域即可求出y=/（x+V2）的定義域.

【詳解】由題意，

在函數/（X）中，定義域為（0,應）,

答案第4頁，共10頁

...在>=/（尤+忘）中，0<x+V2<V2，

解得：-^2<x<0?

故答案為：（-^2,0）.

14.1

【分析】根據指數幕以及對數的運算性質，求解即可得出結果.

【詳解】根據指數幕以及對數的運算性質，可知1隰+7啕3=log5（2+3）=l.

故答案為：1.

15.（-oo,2]

【分析】由題意可得aVx+工對一切x>0恒成立，然后利用基本不等式求出了+■1■的最小值

x無

即可.

【詳解】因為不等式f-6+120對一切x>0恒成立，

所以。V尤+,對一切x>0恒成立，

x

因為x>0,所以彳+工、2、]1=2,當且僅當關=L，即x=l時取等號，

X\XX

所以aW2,即。的取值范圍是（3,2],

故答案為：（-8,2]

16.2x6'-'

【分析】根據2的倍數，3的倍數和6的倍數個數得到答案.

【詳解】在1?6"中，2的倍數共有幺6"個，3的倍數共有62"個，6的倍數共有6"一個，

23

所以夕（6"）=6"-?一號+61=2*61.

故答案為：2x6"一

17.

【分析】（1）利用M=找到不等式組，求出實數機的取值范圍即可;

答案第5頁，共10頁

(2)在滿足McN=0的前提下，對N分空集和不是空集分類討論即可.

f2+m<2,3

【詳解】(1)因為MqN,所以<。解得加W—彳，

[l-2m>4,2

即實數機的取值范圍是[相機4-1'.

(2)^2+m>l-2m,即機>-J，此時N=0,滿足McN=0；

3

^2+m<l-2m,即機W--,因為A/cN=0,

3

所以2+加>4,或1一2根<2,解得—<m<—.

23

綜上，實數機的取值范圍是，機巾.

18.(1)-11

(2)

【分析】(1)由題意，方程一+3彳-1=0的兩根為%,%,利用根與系數的關系求解即可;

(2)根據題意建立關于上的不等式組，解出即可.

【詳解】(1)當％=1時，方程/+3彳-1=0的兩根為玉,%,A=9+4=13>。，

可得%+%2=-3,x[x2=-1,

%2+%；(再+%2)—2%%2_(-3)2-2x(-1)_

則迤+土=---------=-------------------------------------------=—11.

X2x{x2x{x2-1

A=(2k+l)2-4(k2-2)=4k+9>0,

(2)由題意可得Xj+x?=—(2k+1)〉0,

2

xxx2=A:-2>0,

解得一2<s

故實數上的取值范圍為

4-尤2,尤>0

19.(l)/(x)=0,x=0,簡圖見解析

x~-4,尤<0

(2)21

答案第6頁，共10頁

(3)(-2,0)J(0,2)

【分析】(1)利用奇函數性質求解析式，然后結合二次函數畫出分段函數圖象;

(2)先求，(3),再求

(3)利用函數圖象結合函數值的符號解不等式即可.

【詳解】(1)因為V尤eR"(T)+/a)=0,令x=0,可得7(0)=。，

22

設x<0,則一]>0ff(―x)=4—(—%)=4—x,

又/(—%)=—/(%),所以/(%)=—/(—%)=/—4,

4-X2,X>0

故/(%)=0,%=0,故函數，⑺的簡圖為

x2-4,x<0

所以/(/(3))=/(-5)--7(5)=一(4-52)=21.

[x>0Ix<0

(3)皿》)>0即為乙、八或乙、Z由圖可知0<x<2或-2<尤<0,

[/?>0"(尤)<0

故小x)>0的解集為(-2,0)(0,2).

20.(1)證明見解析

(2)答案見解析

【分析】⑴根據奇函數的定義滿足/(-x)=-〃x)，整理可得(。+3(2，+1)=0,結合指

數函數的性質即可證得結論;

答案第7頁，共10頁

（2）根據函數單調性的定義設玉，x2eR,且占＜%,作差得到

:工'~（,結合指數函數的性質判斷即可得結論.

（2皆+1乂2金+1）

【詳解】（1）證明：的定義域為R,

對VxeR,者B有一xeR,

又〃x）為奇函數，則必有〃T）=-“X），

即整理可得：（“+9（2，1）=0,又2,＞0恒成立

2r+l2+1）、八,

所以a+b=0,命題得證.

（2）設玉，％wR,且項＜馬，

/X/x_a-^'+b+6_3（2、-2*）

,（當尸"龍,尸1^71F7F=（2,+1）（2、+1）'

易知2為＞0,2?＞0,又;y=2，在R上為增函數，＜%2,可得2』—2也＜0,

當a＞萬時，/（^）-/（x2）＜0,/（X）在R上為增函數；

當a=6時，-〃9）=0，/（X）為常數函數，無單調性;

當時，〃尤）在R上為減函數.

21.（1）y=500x4-^^-250（%＞1）；

x-1

（2）當保護罩的容積為5m3時，博物館支付的總費用最小.

【分析】（1）根據給定條件，求出反比例系數，再列出函數關系式即得.

（2）由（1）的關系式，利用基本不等式求出最小值即得.

【詳解】（1）設需要支付的保險費為』7（左＞0）,當尤=3時，g=4000,解得上=8000,

x-12

所以總費用y=500（尤-0.5）+8也=500元+翌2一250（%＞1）.

x-1x-1

（2）由⑴知y=500x+^^-250=500（x-l）+^^+25022j500（x-l）.^^+250

x-1x-1Vx-1

答案第8頁，共10頁

=4000+250=4250,當且僅當500（x-l）=旦四，即x=5時等號成立,