伯樂教育-第二冊第一章點(diǎn)線面與平行關(guān)系

紙上得來終覺淺絕知此事要躬行第二章：平面基本性質(zhì)與推論及平行關(guān)系【考綱要求】立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，通過近幾年的高考情況分析，考察的重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn)。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)在對圖形及幾何體的認(rèn)識上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識深化和拓展的重點(diǎn)，因而在這部分知識點(diǎn)上命題，將是重中之重。在掌握直線與平面的位置關(guān)系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系)的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行的判定依據(jù)(定義、公理和定理)、判定方法及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用；在有關(guān)問題的解決過程中，進(jìn)一步了解和掌握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有關(guān)問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．1．用類比的思想去認(rèn)識面的垂直與平行關(guān)系，注意垂直與平行間的聯(lián)系。2．注意立體幾何問題向平面幾何問題的轉(zhuǎn)化，即立幾問題平面化。3．注意下面的轉(zhuǎn)化關(guān)系：【基礎(chǔ)知識梳理】1．平面概述（1）平面的兩個(gè)特征：①無限延展②平的（沒有厚度）（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面（3）平面的表示：用一個(gè)小寫的希臘字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母表示，如平面。2．三公理三推論:公理1：若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)：公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線。公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面。公理4：平行于同一直線的兩條直線平行.3．空間直線: （1）空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線——有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)； 平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。相交直線和平行直線也稱為共面直線。異面直線的畫法常用的有下列三種：（2）平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個(gè)結(jié)論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。。4．直線和平面的位置關(guān)系它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，，。線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。推理模式：．線面平行的性質(zhì)推理模式：．5．兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點(diǎn)）（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。定理的模式：推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行。推論模式：（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面；（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行?！揪媲缶康谝活悾航痪€與截面問題1.如圖，直角梯形中，，，是直角梯形所在平面外一點(diǎn)，畫出平面和平面的交線，并說明理由．2.在正方體中，是的中點(diǎn)，畫出平面與正方體有關(guān)各面的交線.3.把一正方體沿對角面劈開，得一如圖幾何體，其中,為的中點(diǎn)，試作出過且與平面平行的截面，并計(jì)算該截面面積.4.在正方體木頭中，試畫出過其中三條棱的中點(diǎn)P、Q、R的平面截得木頭的截面形狀．第二類：異面直線所成的角異面直線所成角的大小，是由空間任意一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來定義的．準(zhǔn)確選定角的頂點(diǎn)，平移直線構(gòu)造三角形是解題的重要環(huán)節(jié)．1.如圖的正方體中，是的中點(diǎn)(1)圖中哪些棱所在的直線與直線成異面直線?(2)求直線和所成的角的大??；(3)求直線和所成的角的正切值；(4)求直線和所成的角的余弦值2.如圖，長方體中，，，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角是（） A． B． C． D．3.在空間四邊形中，，，分別為、的中點(diǎn)，，求、所成角的大?。瓸MANCS4.是正三角形所在平面外的一點(diǎn)，如圖，且，,分別是和的中點(diǎn)．求異面直線與所成的角的余弦值．BMANCSF1ABCD1C1A1B15.是直三棱柱，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),若，求F1ABCD1C1A1B16.如圖，在正方體中，，分別是、的中點(diǎn)．求與所成的角。7.在棱長為1的正方體中，和分別為和的中點(diǎn)，求直線與所成角的余弦值.BB1A1ABC1D1CDMN8.如圖，四面體的各棱長都相等，如果、分別為、的中點(diǎn)，求異面直線與FABCES所成的角.FABCES9.如圖，四面體中，,且，，、分別是、的中點(diǎn)，求和所成角的正切值.AABCDMN43ABCDE66810.如圖，四面體中，，，，且，，是中點(diǎn)，求與所成角的余弦值.ABCDE668MABCNC1A1B111.如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個(gè)側(cè)面都是正方形，、分別是和MABCNC1A1B18ABCDE78544512.如圖，四面體中，為中點(diǎn)，若，，，求8ABCDE78544513.在四面體中，，分別是,的中點(diǎn)，若,所成的角為，且,求的長度.CC15.底面為平行四邊形的四棱錐，,，點(diǎn)、分別為、中點(diǎn)，若異面直線與所成的角為，求線段的長.第三類：線面平行證明1．運(yùn)用中點(diǎn)作平行線ACNPDMBG例1.已知四棱錐的底面是距形，、分別是、的中點(diǎn)，求證∥平面．ACNPDMBG2．運(yùn)用比例作平行線MFNCEADBH例2.四邊形與是兩個(gè)全等正方形，且，其中，，求證：∥平面MFNCEADBH3.運(yùn)用傳遞性作平行線例3.求證：一條直線與兩個(gè)相交平面都平行，則這條直線和它們的交線平行４.運(yùn)用特殊位置作平行線例4．正三棱柱的底面邊長為2，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，．問當(dāng)點(diǎn)在何位置時(shí)∥平面？AABCEFNMB1A１C1練習(xí)1.棱長都相等的四面體稱為正四面體．在正四面體中，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，給出下列命題：①直線∥平面；②直線⊥；

③三棱錐的體積是三棱錐的體積的一半．

則其中正確命題的序號為2.如圖，幾何體是四棱錐，為正三角形，．若，為線段的中點(diǎn)，求證：∥平面3.如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，分別為棱，，的中點(diǎn)．證明：直線平面；AA1D1C1B1BAEDCFE14.如圖，在四棱錐中，，，為的中點(diǎn)，．

（I）證明：直線∥平面；

5.如圖，在正四棱柱中，棱長，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．6.空間四邊形的對棱，成的角，平行于與的截面分別交，，，于、、、．

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）若,，求四邊形周長的取值范圍；（2）若,求在的何處時(shí)截面的面積最大？最大面積是多少？典例解析題型1：共線、共點(diǎn)和共面問題例1如圖所示，平面平面＝，分別為線段、、、上的點(diǎn)，四邊形是以、為腰的梯形。試證明：三直線、、共點(diǎn)。例2.如圖所示，在四邊形中，已知，直線,,,分別與平面相交于點(diǎn)，，，．求證：，，，四點(diǎn)必定共線。ααDCBAEFHG例3．已知：，，，是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：，，，共面。ααbadcGFEAabcdαHK圖1圖2題型2：異面直線的判定與應(yīng)用例4．已知：如圖所示，，，，，。求證直線、為異面直線。題型3：平行關(guān)系的判定與性質(zhì)例5．兩個(gè)全等的正方形和所在平面相交于，，，且，求證：∥平面。例6．如圖，在長方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，，求證：面。例10．是所在平面外一點(diǎn)，、、分別是、、的重心。（1）求證：平面∥平面；（2）:的值。一、選擇題；1．已知兩條相交直線、，∥平面，則與平面的位置關(guān)系()A.B.與相交C.D.或與相交2.直線,異面直線，直線和平面平行，則直線和平面的位置關(guān)系是（）A.B. C.與相交 D.以上都有可能3.，，則與的關(guān)系為（）A、必相交B、必平行C、必在內(nèi)D、以上均有可能4．不同直線和不同平面，給出下列命題：其中假命題有()①②③④∥A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)5．若將直線、平面都看成點(diǎn)的集合，則直線∥平面可表示為()A.B.C.D.6．平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系是()A.平行B.相交C.異面D.平行或相交或異面7．已知空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．B．C．D．8．平面∩平面＝，平面∩平面＝，平面∩平面＝，若，則與，的位置關(guān)系是（）A．與，都異面B．與，都相交C．至少與，中的一條相交D．與，都平行9.下列四個(gè)命題中，正確的是（）①夾在兩條平行線間的平行線段相等；②夾在兩條平行線間的相等線段平行；③如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么夾在這條直線和平面間的平行線段相等；④如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么夾在這條直線和平面間的相等線段平行A．①③ B．①②C．②③ D．③④10．如果兩個(gè)相交平面分別經(jīng)過兩條平行線中的一條，那么它們的交線和這兩條平行線的位置關(guān)系是（）A．都平行B．都相交C．一個(gè)相交，一個(gè)平行 D．都異面11．對于直線、和平面，下面命題中的真命題是 A．如果、是異面直線，那么 B．如果、是異面直線，那么相交 C．如果、共面，那么 D．如果、共面，那么12．、是不在直線上的兩點(diǎn)，則過點(diǎn)、且與直線平行的平面的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．無數(shù)個(gè)D．以上三種情況均有可能13．已知、是不重合的直線，、是不重合的平面，有下列命題①若，，則；②若，，則；③若，，則且；其中真命題的個(gè)數(shù)是 A．0 B．1 C．2 D．314．設(shè)直線,,平面,,下列條件能得出的有()①,,且,；②,,且；③,,且A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)15.若，，則下列說法正確的是（）A.過在平面內(nèi)可作無數(shù)條直線與平行B.過在平面內(nèi)僅可作一條直線與平行C.過在平面內(nèi)可作兩條直線與平行D.與的位置有關(guān)16.下列四個(gè)命題（1），（2），（3），（4），正確有（）個(gè)A、B、C、D、17．已知：命題：內(nèi)存在著不共線的三點(diǎn)到平面β的距離均相等；命題：，則下面成立的是（）A.PQ，PQB.PQ,PQC.PQD.PQ，PQ18.若直線∥平面，則平行于內(nèi)的()A.一條確定的直線B.任意一條直線C.所有直線D.無數(shù)多條平行線19.直線∥平面,平面內(nèi)有條直線交于一點(diǎn)，那么這條直線中與直線平行的（）A、至少有一條B、至多有一條C、有且只有一條D、不可能有20.直線∥面，面內(nèi)有條互相平行的直線，那么這條直線和直線()A.全平行 B.全異面C.全平行或全異面 D.不全平行也不全異面21.設(shè),,是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過他們的中點(diǎn)的平面和直線的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.AC在此平面內(nèi)二、填空題；22.經(jīng)過直線外一點(diǎn)有平面和已知直線平行；23.經(jīng)過直線外一點(diǎn)直線與已知直線平行；24.經(jīng)過兩條異面直線中的一條有平面與另一條直線平行；25.過兩條平行直線中的一條，可以作________個(gè)平面平行于另一條直線；26.與空間四邊形四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有________個(gè)；27.若直線∥平面，直線∥平面，且，，且，則、的位置關(guān)系是.28.若直線∥平面，直線∥平面，，,則、的位置關(guān)系是.29.有以下命題，正確命題的序號是.①直線與平面沒有公共點(diǎn)，則直線與平面平行；②直線與平面內(nèi)的任何一條直線都不相交，則直線與平面平行；③直線上有兩點(diǎn)，它們到平面的距離相等，則直線與平面平行；④直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線不相交，則直線與平面平行30.正方體中，為的中點(diǎn)，則與過點(diǎn)、、的平面的位置關(guān)系是；31.過正方體的頂點(diǎn)、、的平面與底面所在平面的交線為，則與的位置關(guān)系是__________；32.下列命題中正確的是