直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題典型例題分析

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題典型例題分析直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，涉及交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題、弦的問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、取值范圍問(wèn)題等，現(xiàn)將其分類(lèi)總結(jié)如下，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考。一、直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題研究直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題，通常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，將交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問(wèn)題，利用判別式討論之．注意：（1）數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用；（2）在用到直線斜率時(shí)注意斜率不存在的情況；（3)在研究直線與雙曲線時(shí)注意直線與雙曲線的漸近線平行的情況。例1已知集合與集合，當(dāng)為何值時(shí)①M(fèi)∩N有兩個(gè)元素．②M∩N只有一個(gè)元素．③M∩N沒(méi)有元素．【解析】：由消去整理若即，則=①當(dāng)即且時(shí)，M∩N有兩個(gè)元素．②當(dāng)即時(shí)，M∩N只有一個(gè)元素．③當(dāng)即或時(shí)，M∩N沒(méi)有元素．若即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即M∩N只有一個(gè)元素．綜上所述當(dāng)且時(shí)，M∩N有兩個(gè)元素．當(dāng)或時(shí)，M∩N只有一個(gè)元素．當(dāng)或時(shí)，M∩N沒(méi)有元素【評(píng)析】本題研究的是直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立組成的方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合和特殊情況。二、圓錐曲線上點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題通常，先設(shè)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出過(guò)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系和中點(diǎn)公式，求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線與對(duì)稱(chēng)軸垂直解題。例2已知拋物線y=x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于A.3B.4C.3D.4【解析】：設(shè)直線的方程為，，由，得由韋達(dá)定理知∴的中點(diǎn)，又∵在直線上∴解得，∴，∴，，由弦長(zhǎng)公式．故選C【評(píng)析】本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．三、參數(shù)的取值范圍問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題有兩種方法，（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)適合的不等式(組），通過(guò)解不等式組求出參數(shù)的范圍；（2）將所討論的參數(shù)表示為關(guān)于另一個(gè)參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，用求函數(shù)值域的方法求解。例3設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.【解析】：顯然直線不滿(mǎn)足題設(shè)條件，可設(shè)直線：，，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又∴（A） （B） （C） （D）2、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±5)的橢圓被直線3x－y－2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為()3、斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2 B C D4、拋物線上的點(diǎn)P到直線有最短的距離,則P的坐標(biāo)是A,(0,0)B,C,D,5、經(jīng)過(guò)拋物線y的焦點(diǎn)F的直線L與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)．線段AB的斜率為k，試求中點(diǎn)M的軌跡方程；直線的斜率k＞2，且點(diǎn)M到直線3x+4y+m=0的距離為，試確定m的取值范圍．6、已知拋物線y2=2px(p＞0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|≤2p(1)求a的取值范圍(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值7、已知傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．答案1、C2、C3、C4、C5、(1)設(shè)A(直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),代入得kx-(2k+4)x+k=0．設(shè)M(x,y)，則∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(．于是消去k，可得M的軌跡方程為．由于d=所以即0＜＜,得0＜,即或故實(shí)數(shù)的取值范圍為．6、(1)設(shè)直線l的方程為y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2，又∵p＞0,∴a≤－(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn)C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p則有x==p∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點(diǎn)坐