數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)(人教版)-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)〔人教版〕知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二十一章二次根式21.1二次根式1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。

2.最簡(jiǎn)二次根式：滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式；

〔1〕被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

〔2〕被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如不是最簡(jiǎn)二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如，，..........都不是最簡(jiǎn)二次根式，而，，5，都是最簡(jiǎn)二次根式。

3.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。如,,就是同類二次根式，因?yàn)?2，=3，它們與的被開方數(shù)均為2。

4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如與，a+與a-，-與+，互為有理化因式。二次根式的性質(zhì)：

1.(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),即≥0;

2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：()2=a(a≥0)；

3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即=|a|=

4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即=·〔a≥0,b≥0〕。

5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方鏟除以除式的算術(shù)平方根，即=〔a≥0,b>0〕。21.2二次根式的乘除1.二次根式的乘法兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即〔≥0，≥0〕。說明：〔1〕法那么中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；〔2〕〔≥0，≥0〕可以推廣為〔≥0，≥0〕；〔≥0，≥0，≥0，≥0〕?！?〕等式〔≥0，≥0〕也可以倒過來使用，即〔≥0，≥0〕。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

2.二次根式的除法兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即〔≥0，＞0〕。說明：〔1〕法那么中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，≥0，在分母中，因此＞0；〔2〕〔≥0，＞0〕可以推廣為〔≥0，＞0，≠0〕；〔3〕等式〔≥0，＞0〕也可以倒過來使用，即〔≥0，＞0〕。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

3.最簡(jiǎn)二次根式一個(gè)二次根式如果滿足以下兩個(gè)條件：〔1〕被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；〔2〕被開方數(shù)中不含分母。這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。說明：〔1〕這兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，才是最簡(jiǎn)二次根式；〔2〕被開方數(shù)假設(shè)是多項(xiàng)式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)；〔3〕二次根式化簡(jiǎn)到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式。21.3二次根式的加減1.同類二次根式

〔1〕定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式。

注：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡(jiǎn)二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)是否相同。

〔2〕合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項(xiàng)的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號(hào)及被開方數(shù)不變。

2.二次根式的加減

〔1〕二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類二次根式分別合并。

〔2〕二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，首先是化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的根底上去括號(hào)再合并同類二次根式，同類二次根式相當(dāng)于同類項(xiàng)。

一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：

i〕將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式

ii〕判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組

iii〕合并同類二次根式

3.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法那么的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

〔1〕觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。

〔2〕在運(yùn)算過程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”。

〔3〕觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)和整式中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在二次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。

4.分母有理化

〔1〕我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中研究了分母形如形式的分式的分母有理化

綜合起來，常見的有理化因式有：①的有理化因式為，②的有理化因式為，③的有理化因式為，④的有理化因式為，⑤的有理化因式為

〔2〕分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過分母有理化而進(jìn)行的。第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，假設(shè)是，再對(duì)它進(jìn)行整理．如果能整理為ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，那么這個(gè)方程就為一元二次方程．〔4〕將方程化為一般形式：ax^+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足〔a≠0〕22.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的根本思想方法是通過“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法：用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m(xù).直接開平方法就是平方的逆運(yùn)算.通常用根號(hào)表示其運(yùn)算結(jié)果.2、配方法通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據(jù)是完全平方公式。1.轉(zhuǎn)化：將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式〕2.系數(shù)化1：將二次項(xiàng)系數(shù)化為13.移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右側(cè)4.配方：等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方5.變形：將等號(hào)左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式6.開方：左右同時(shí)開平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。22.3實(shí)際問題與一元二次方程列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和開展從列方程解應(yīng)用題的方法來講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問題大局部都可通過算術(shù)方法來解決．如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率問題，數(shù)學(xué)問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等．第二十三章旋轉(zhuǎn)23.1圖形的旋轉(zhuǎn)1.圖形的旋轉(zhuǎn)〔1〕定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向〔順時(shí)針或逆時(shí)針〕轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角?！?〕生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類那么是由某一根本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。〔3〕圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。〔4〕會(huì)找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角。2.旋轉(zhuǎn)的根本特征：〔1〕圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度?！?〕圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；〔3〕圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。3.幾點(diǎn)說明：〔1〕在理解旋轉(zhuǎn)特征時(shí)，首先要對(duì)照?qǐng)D形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)角?！?〕旋轉(zhuǎn)的角度是對(duì)應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。〔3〕旋轉(zhuǎn)中心確實(shí)定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，假設(shè)在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中位置沒有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；假設(shè)在圖形外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。23.2中心對(duì)稱中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假設(shè)它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這劉遇圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。中心對(duì)稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分。②關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形是全等形。中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，②關(guān)于y軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計(jì)靈活運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)．圖案設(shè)計(jì)就是通過圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱或幾種的組合)把根本圖形組成具有一定意義的新圖形，圖案設(shè)計(jì)時(shí)不僅要看是否正確使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的表達(dá)了設(shè)計(jì)意圖．第二十四章圓24.1圓定義：〔1〕平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓?！?)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。圓心：〔1〕如定義〔1〕中，該定點(diǎn)為圓心〔2〕如定義〔2〕中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心?！?〕圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心?！?〕垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。注：圓心一般用字母O表示直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)〔無理數(shù)〕，用字母π表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，π≈3.14。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表示。一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。周長(zhǎng)計(jì)算公式1.、直徑：C=πd2、半徑：C=2πr3、周長(zhǎng)：D=c\π4、圓周長(zhǎng)的一半:1\2周長(zhǎng)(曲線)5、半圓的長(zhǎng)：1\2周長(zhǎng)+直徑面積計(jì)算公式：1、半徑：S=πr平方2、直徑：S=π〔d\2〕平方3、周長(zhǎng)：S=π(c\2π)平方24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系①點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑②點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑③點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑2.過三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3.外接圓和外心經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。4.直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。5.直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么①直線和⊙O相交；②直線和⊙O相切；③直線和⊙O相離。圓和圓定義：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切。兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離＜＝＞d＞R+r兩圓外切＜＝＞d=R+r兩圓相交＜＝＞R-r<d<R+r(R>＝r)兩圓內(nèi)切＜＝＞d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含＜＝＞d<R-r(R>r)24.3正多邊形和圓1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。

3、正多邊形的有關(guān)概念：

(1)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心。

(2)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑。

(3)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。

(4)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。

4、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的對(duì)稱軸有n條。

(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。

重點(diǎn)正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

知識(shí)講解

1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。

再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗痪哂懈鹘窍嗟?，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因?yàn)?，它只具有各邊相等，而各角不一定相等?/p>

2、正多邊形與圓的關(guān)系。

正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。

相鄰分點(diǎn)間的弧相等，那么所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。

如：將圓6等分，即，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。

觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。

所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是⊙O的內(nèi)接正六邊形。

3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長(zhǎng)an。

(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。

如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD……根據(jù)以上講解，我們來分析RtΔAOM的根本元素：

斜邊OA——正n邊形的半徑Rn；

一條直角邊OM——正n邊形的邊心距rn；

一條直角邊AM——正n邊形的邊長(zhǎng)an的一半即AM＝an；

銳角∠AOM——正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝；

銳角∠OAM——正n邊形內(nèi)角的一半即∠OAM＝[(n－2)·180°]；

可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。

因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問題。

4、正多邊形的有關(guān)作圖。

(1)使用量角器來等分圓。

由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形。

(2)用尺規(guī)來等分圓。

對(duì)于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。

5、正多邊形的對(duì)稱性。

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。

如：正三角形、正方形。

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C＝2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，說明：〔1〕在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫成?！?〕在弧長(zhǎng)公式中，l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。

知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積如下圖，陰影局部的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一局部，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是。又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。

知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積〔1〕弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧〔包括劣弧、優(yōu)弧、半圓〕組成的圖形叫做弓形?！?〕弓形的周長(zhǎng)＝弦長(zhǎng)＋弧長(zhǎng)〔3〕弓形的面積如下圖，每個(gè)圓中的陰影局部的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計(jì)算出來，就可以得到弓形AmB的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，

當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，例：如下圖，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，那么圖中陰影局部的面積是〔

〕〔結(jié)果用表示〕分析：由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以，所以注意：〔1〕圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。

圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積公式〔2〕扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別〔2〕扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積

知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如下圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說明：〔1〕圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積?！?〕研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如下圖，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，假設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，那么圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識(shí)小結(jié)：圓錐與圓柱的比擬名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過程

由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法

第二十五章概率初步25.1隨機(jī)事件與概率1．隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間具有以下三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；·(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；(3)每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用表示，稱為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作．2．隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件)．通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機(jī)事件．3．事件的關(guān)系及運(yùn)算(1)包含：假設(shè)事件發(fā)生，一定導(dǎo)致事件發(fā)生，那么，稱事件包含事件，記作(或)．(2)相等：假設(shè)兩事件與相互包含，即且，那么，稱事件與相等，記作．(3)和事件：“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱為A與B的和事件，記作；“n個(gè)事件中至少有一事件發(fā)生”這一事件稱為的和，記作〔簡(jiǎn)記為〕．(4)積事件：“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為A與B的積事件，記作(簡(jiǎn)記為)；“n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為的積事件，記作〔簡(jiǎn)記為或)．(5)互不相容：假設(shè)事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即，那么稱事件A與B互不相容(或互斥)，假設(shè)n個(gè)事件中任意兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即(1≤i<j≤幾)，那么，稱事件互不相容．(6)對(duì)立事件：假設(shè)事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即且，那么，稱A與B是對(duì)立的．事件A的對(duì)立事件(或逆事件)記作．(7)差事件：假設(shè)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，那么，稱這個(gè)事件為事件A與B的差事件，記作(或)．(8)交換律：對(duì)任意兩個(gè)事件Ａ和B有，．(9)結(jié)合律：對(duì)任意事件A，B，C有，．(10)分配律：對(duì)任意事件A，B，C有，．(11)德摩根〔DeMorgan〕法那么：對(duì)任意事件A和B有,.4．頻率與概率的定義(1)頻率的定義設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，那么比值／n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即.(2)概率的統(tǒng)計(jì)定義在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率在一個(gè)穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動(dòng)，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即．(3)古典概率的定義具有以下兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型：(i)試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不妨記作;(ii)在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)(〕出現(xiàn)的概率相同，即．在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為．(4)幾何概率的定義如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為·(5)概率的公理化定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，隨機(jī)事件A是的子集，是實(shí)值函數(shù)，假設(shè)滿足以下三條公理：公理1(非負(fù)性)對(duì)于任一隨機(jī)事件Ａ，有≥0；公理2(標(biāo)準(zhǔn)性)對(duì)于必然事件，有；公理3(可列可加性)對(duì)于兩兩互不相容的事件，有，那么稱為隨機(jī)事件Ａ的概率．5．概率的性質(zhì)由概率的三條公理可導(dǎo)出下面概率的一些重要性質(zhì)(1)．(2)(有限可加性)設(shè)n個(gè)事件兩兩互不相容，那么有．(3)對(duì)于任意一個(gè)事件A：．(4)假設(shè)事件A，B滿足，那么有,．(5)對(duì)于任意一個(gè)事件A，有．(6)(加法公式)對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B，有.對(duì)于任意n個(gè)事件，有.6．條件概率與乘法公式設(shè)A與B是兩個(gè)事件．在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為條件概率，記作．當(dāng)，規(guī)定.在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質(zhì)．乘法公式：對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B，當(dāng),時(shí)，有.7．隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性如果事件A與B滿足，那么，稱事件A與B相互獨(dú)立．