（江西專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)（十二）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（解析版）

專題限時(shí)集訓(xùn)(十二)[第12講點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系](時(shí)間：45分鐘)1．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，給出下列四個(gè)命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l∥m，則α⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．32．已知a，b，c為三條不重合的直線，下面有三個(gè)結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)3．如圖12－1，O為正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1OA．A1DB．AA1C．A1D1D．A1圖12－1圖12－24．圖12－2是某個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，l1，l2是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在正方體中，l1與l2()A．互相平行B．異面且互相垂直C．異面且夾角為eq\f(π,3)D．相交且夾角為eq\f(π,3)5．對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得()A．a(chǎn)α，bαB．a(chǎn)α，b∥αC．a(chǎn)⊥α，b⊥αD．a(chǎn)α，b⊥α6．下列命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,bα))?a⊥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))?b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))?a⊥b；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥c,bα,cα))?a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))?b∥α.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．3B．4C．5D．67．如圖12－3，正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面MACC．異面直線BC1與AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°圖12－3圖12－4.如圖12－4，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn)，且EFA．點(diǎn)P到平面QEF的距離B．直線PQ與平面QEF所成的角C．三棱錐P－QEF的體積圖12－5D．二面角P－EF－Q的大小9．如圖12－5，四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD上的投影恰好是A，其主視圖與左視圖都是腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形．則在四棱錐P－ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中，互相垂直的異面直線共有________對(duì)．10．在正三棱錐P－ABC中，M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則截面AMN與底面ABC所成的二面角正弦值是________．11．如圖12－6，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.(1)設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF；(2)設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為VF－ABCD，VF－CBE，求VF－ABCD∶VF－CBE.圖12－612．如圖12－7，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝eq\r(2)，E為CD的中點(diǎn)，將△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中點(diǎn)O在線段DE內(nèi)．(1)求證：CO⊥平面ABED；(2)問∠CEO(記為θ)多大時(shí)，三棱錐C－AOE的體積最大？最大值為多少？圖12－713．如圖12－8，四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.(1)求證：BC⊥AF；(2)若點(diǎn)M在線段AC上，且滿足CM＝eq\f(1,4)CA，求證：EM∥平面FBC；(3)試判斷直線AF與平面EBC是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．圖12－8

專題限時(shí)集訓(xùn)(十二)【基礎(chǔ)演練】1．C[解析]如圖，選擇一正方體作模型，記直線l為AA1，平面ABCD為α，B1C1為直線m，BCC1B1為平面β，則：雖有l(wèi)⊥m，但α∥β不成立，②錯(cuò)；雖有α⊥β，但l與m2．B[解析]①不對(duì)，b，c可能異面；②不對(duì)，b，c可能平行；平行移動(dòng)直線不改變這條直線與其他直線的夾角，故③對(duì)，選B.3．D[解析]由于A1C1⊥B1D1，根據(jù)正方體特征可得BB1⊥A1C1，B1D1∩BB1＝B1，故A1C1⊥平面BB1D1D，B1O平面BB1D1D，所以B1O⊥A4．D[解析]把展開圖還原為幾何體，則l1，l2是正方體中位于同一個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)面的面對(duì)角線，故一定相交且夾角為eq\f(π,3).【提升訓(xùn)練】5．B[解析]若滿足A則a，b共面，但a，b可以不共面，A錯(cuò)；滿足C則a，b平行，而a，b可以異面，C錯(cuò)；若滿足D，則a，b垂直，也不符合題意．所以B正確．6．A[解析]因?yàn)閍⊥α，則a與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，所以①正確；又若b∥α，a⊥α，由線面平行的性質(zhì)及空間兩直線所成角的定義知，a⊥b成立，所以③正確；兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也垂直于這個(gè)平面，所以②正確；由線面垂直的判定定理知④錯(cuò)；a∥α，b⊥a時(shí)，b與α可以平行、相交(垂直)，也可以bα，所以⑤錯(cuò)；當(dāng)a⊥α，b⊥a時(shí)，有b∥α或bα，所以⑥錯(cuò)．7．D[解析]找A1C1中點(diǎn)O1，則D1O∥BO1，D1O?平面A1BC1，O1B平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1；D1O⊥AC，使用勾股定理可得D1O⊥OM，OM∩AC＝O，可得D1O⊥平面MAC；異面直線BC1與AC所成的角就是∠A1C1B，等于60°；二面角M－AC－B的平面角是∠MOB，顯然不可能是908．B[解析]平面QEF即平面A1B1CD，由于點(diǎn)P為A1D1的中點(diǎn)，故A正確；直線PQ與平面QEF所成角的正弦值是點(diǎn)P到平面QEF的距離與PQ長(zhǎng)度的比值，其中點(diǎn)P到平面QEF的距離為定值，但PQ的長(zhǎng)度不是定值，故直線PQ與平面QEF所成的角不是定值；由于點(diǎn)P到平面PEF的距離為定值，△QEF面積也為定值，故三棱錐P－QEF的體積為定值；二面角P－EF－Q是兩個(gè)固定平面PDC與平面A1DCB1所成的角，故其為定值．9．6[解析]因?yàn)樗睦忮FP－ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD上的投影恰好是A，其主視圖與左視圖都是腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，故PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，共6對(duì)．10.eq\f(\r(6),6)[解析]如圖，由于MN∥BC，所以MN∥平面ABC，所以平面AMN與平面ABC的交線為過點(diǎn)A且與直線BC，MN均平行的直線．取MN和BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則∠EAF即為所求二面角的平面角．設(shè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，根據(jù)△APF為等腰三角形可得，b＝eq\f(\r(3),2)a.在△AEF中，AF＝eq\f(\r(3),2)a，EF＝eq\f(PF,2)＝eq\f(1,2)×eq\r(PB2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),4)a，所以，sin∠EAF＝eq\f(EF,AF)＝eq\f(\f(\r(2),4)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(6),6).11．解：(1)設(shè)DF的中點(diǎn)為N，則MN綊eq\f(1,2)CD，又AO綊eq\f(1,2)CD，則MN綊AO，∴四邊形MNAO為平行四邊形，∴OM∥AN，又AN平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF.(2)過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴FG⊥平面ABCD，∴VF－ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·FG＝eq\f(2,3)FG.∵CB⊥平面ABEF，∴VF－CBE＝VC－BFE＝eq\f(1,3)S△BFE·CB＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)EF·FG·CB＝eq\f(1,6)FG，∴VF－ABCD∶VF－CBE＝4∶1.12．解：(1)在直角梯形ABCD中，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，則AB＝DE，又AB∥DE，AD⊥AB，知BE⊥CD.在四棱錐C－ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE＝E，CE，DE平面CDE，則BE⊥平面CDE.因?yàn)镃O平面CDE，所以BE⊥CO，又CO⊥DE，且BE，DE是平面ABED內(nèi)兩條相交直線，故CO⊥平面ABED.(2)由(1)知CO⊥平面ABED，知三棱錐C－AOE的體積V＝eq\f(1,3)S△AOE·OC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×OE×AD×OC.由直角梯形ABCD中，CD＝2AB＝4，AD＝eq\r(2)，CE＝2，得三棱錐C－AOE中，OE＝CEcosθ＝2cosθ，OC＝CEsinθ＝2sinθ，故V＝eq\f(\r(2),3)sin2θ≤eq\f(\r(2),3)，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1，θ∈0，eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,4)時(shí)取等號(hào)，(此時(shí)OE＝eq\r(2)<DE，O落在線段DE內(nèi))．故當(dāng)θ＝eq\f(π,4)時(shí)，三棱錐C－AOE的體積最大，最大值為eq\f(\r(2),3).13．解：(1)因?yàn)镋F∥AB，所以EF與AB確定平面EABF.因?yàn)镋A⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.由已知得AB⊥BC且EA∩AB＝A，所以BC⊥平面EABF.又AF平面EABF，所以BC⊥AF.(2)過M作MN⊥BC，垂足為N，連接FN，則MN∥AB.又CM＝eq\f(1,4)AC，所以MN＝eq\f(1,4)AB.又EF∥AB且EF＝eq\f(1,4)AB，所以EF∥MN，且EF＝MN，所以四邊形EFNM為平行四邊形．所以EM∥FN