（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題6.3 等比數(shù)列及其求和（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題6.3等比數(shù)列及其求和【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC數(shù)列數(shù)列的概念√對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認(rèn)識，并能解決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認(rèn)識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.等差數(shù)列√等比數(shù)列√【直擊考點】題組一常識題1．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝12，a4＝18，則該數(shù)列的通項公式為an＝________．2．在等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2·a6＝________.【解析】a2·a6＝aeq\o\al(2,4)＝16.3．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，則{an}的前10項和等于________．【解析】由已知得eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(1,3)，則數(shù)列{an}是公比為－eq\f(1,3)的等比數(shù)列．∵a2＝－eq\f(4,3)，∴a1＝4，則數(shù)列{an}的前10項和S10＝eq\f(4×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(10))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝3×(1－3－10)．4．在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________．【解析】設(shè)該數(shù)列的公比為q，則由題意知，243＝9×q3，得q3＝27，∴q＝3.故插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27，27×3＝81.題組二常錯題5．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝4，a7＝16，則a3與a7的等比中項為________．【解析】設(shè)a3與a7的等比中項為G.因為等比數(shù)列{an}中，a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.6．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且S3＝3a3，則此數(shù)列的公比q7．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna【解析】∵{an}為等比數(shù)列，且a10a11＋a9a12＝2e∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10∴l(xiāng)na1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne題組三?？碱}8．若三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，其中a＝5＋2eq\r(6)，c＝5－2eq\r(6)，則b＝________．【解析】因為三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac＝(5＋2eq\r(6))(5－2eq\r(6))＝1.因為b>0，所以b＝1.9．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________．【解析】由a1＝2，an＋1＝2an可知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，所以Sn＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＝126，得n＝6.10．已知{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＝eq\f(2,a3)，S6＝63，則{an}的通項公式為an＝________.【知識清單】考點1等比數(shù)列的定義，通項公式，前項和的基本運算1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零）2．等比數(shù)列通項公式為：.說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則.3．等比中項如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）4．等比數(shù)列前項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項和是，當(dāng)時，或；當(dāng)時，（錯位相減法）.說明：（1）（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)討論的情況.5.等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列．(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列．?dāng)?shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．(4)如果由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中哪些項是它們的公共項，構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．考點2等比數(shù)列的性質(zhì)1.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等比數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等比中項；（2）在等比數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等比數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等比數(shù)列中，對任意，，； （4）在等比數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，時，則，是的等比中項.也就是：，如圖所示：.（5）若數(shù)列是等比數(shù)列，且公比不為－1，是其前項的和，，那么，，成等比數(shù)列.如下圖所示：.（6）兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、、仍為等比數(shù)列．（7）若數(shù)列是等比數(shù)列,則，仍為等比數(shù)列．2.公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即，，，…成等比數(shù)列，且公比為.3.等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時，為遞增數(shù)列，當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．考點3等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，，，，且，則(2)(3)，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項和()，即，…仍成等比數(shù)列前n項和時，；當(dāng)時，或.【考點深度剖析】江蘇新高考對數(shù)列知識的考查要求較高，整個高中共有8個C能級知識點，本章就占了兩個，高考中以填空題和解答題的形式進(jìn)行考查，涉及到數(shù)形結(jié)合、分類討論和等價轉(zhuǎn)化的思想，著重考查學(xué)生基本概念及基本運算能力.經(jīng)常與其它章節(jié)知識結(jié)合考查，如與函數(shù)、方程、不等式、平面解析幾何知識結(jié)合考查.【重點難點突破】考點1等比數(shù)列的定義，通項公式，前項和的基本運算【題組全面展示】【1-1】對任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是.成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列【答案】D【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則所以，一定成等比數(shù)列，故選D.【1-2】已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，若則數(shù)列的通項公式為.【答案】【1-3】已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則.【答案】【解析】∵，∴，由（1）（2）可得，∴，代入（1）得，∴，∴，∴.【1-4】在等比數(shù)列中，已知，公比,則等于.【答案】【解析】因為，等比數(shù)列中，已知，公比，所以，，公比即.【1-5】已知數(shù)列滿足，，，則的前項和=.【答案】綜合點評：這幾個題都是等比數(shù)列的基本運算，與等比數(shù)列的判定，關(guān)于等比數(shù)列的基本運算，其實質(zhì)就是解方程或方程組，需要認(rèn)真計算，靈活處理已知條件．容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是計算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對根的符號進(jìn)行判斷；二是不能靈活運用等比數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運算量．在判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列時，應(yīng)該根據(jù)已知條件靈活選用不同的方法，一般是先建立與的關(guān)系式或遞推關(guān)系式，表示出，然后驗證其是否為一個與無關(guān)的常數(shù)．【方法規(guī)律技巧】1.等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；(2)等比中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；(3)通項公式法(均是不為0的常數(shù)，)?是等比數(shù)列．2.求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有關(guān)等比數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等比數(shù)列的通項公式及前項和公式或，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運用方程的思想解等比數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算．(2)分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，必須分類求和，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時，也必須對與分類討論．3.特殊設(shè)法:三個數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為；四個數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為.這對已知幾數(shù)之積,求數(shù)列各項,運算很方便.4.等比數(shù)列的前項和公式若已知首項和末項，則，或等比數(shù)列{an}的首項是，公比是，則其前項和公式為.5.若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．【新題變式探究】【變式一】設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列的連續(xù)四項在集合中，則等于.【答案】或【變式二】設(shè)為等比數(shù)列的前項和，已知，，則公比.【答案】4【解析】由已知，，兩式作差得,所以,即.【綜合點評】這兩個題都是等比數(shù)列的基本運算，第一題，給出5個數(shù)，只有三個正數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，可根據(jù)等比數(shù)列的特性可知，不可能都為正數(shù)或負(fù)數(shù)，故兩正兩負(fù)，且兩負(fù)數(shù)為奇數(shù)項或偶數(shù)項，故可求出公比，第二個題，由數(shù)列的前項和性質(zhì)，兩式作差即可，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié).考點2等比數(shù)列的性質(zhì)【題組全面展示】【2-1】公比為2的等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且則=.【答案】-4【解析】依題意可得，所以.【2-2】設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，則為.【答案】【2-3】等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則.【答案】10【解析】由題意可知，又得，而．【2-4】設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，且，，則.【答案】【解析】由已知得，，又，則，故，，，所以.【2-5】已知公比為的等比數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論中：（1）成等比數(shù)列；（2）；（3）正確的結(jié)論為.【答案】（2）（3）．綜合點評：這五個題都是等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解這一類題題時應(yīng)從基礎(chǔ)處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運算量，既準(zhǔn)又快地解決問題．【方法規(guī)律技巧】1.等比數(shù)列的性質(zhì)是等比數(shù)列的定義、通項公式以及前項和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等比數(shù)列問題．2.等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān)，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應(yīng)用,故應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項的序號之間的關(guān)系．3.應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項公式、前項和公式．4.在運用函數(shù)判斷數(shù)列的單調(diào)性時，要注意函數(shù)的自變量為連續(xù)的，數(shù)列的自變量為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質(zhì)不能夠完全等同于數(shù)列的性質(zhì)．有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究．【新題變式探究】【變式一】已知等比數(shù)列的前項積記為，若，則.【答案】512【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)及可得.又等比數(shù)列的前項積記為，即，所以.【變式二】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，與的等比中項為，則的最小值為.【答案】8【解析】∵與的等比中項為，∴，∴，∴的最小值為8.【綜合點評】這兩個題都是性質(zhì)的靈活運用，第一個題給出新定義，根據(jù)新定義利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可解出，第二個題利用等比數(shù)列的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化得，可利用積為定值，和有最小值，可用基本不等式解出，做這一類題關(guān)鍵是善用技巧，減少運算量，快速解題.考點3等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【題組全面展示】【3-1】各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則.【答案】 【解析】由題意得，即，解得（舍去）；而.【3-2】已知等比數(shù)列公比為，其前項和為，若、、成等差數(shù)列，則等于.【答案】【3-3】的等比數(shù)列，則等于.【答案】126【解析】因為的等比數(shù)列，，．【3-4】已知等差數(shù)列的公差和首項都不等于0，且，，成等比數(shù)列，則.【答案】2【3-5】已知為等比數(shù)列，是它的前項和.若，且與的等差中項為，則=.【答案】31【解析】由得，即，與的等差中項為，可得，得，，從而，所以．綜合點評：這幾個題都是考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解；解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略.【方法規(guī)律技巧】1.等差、等比數(shù)列性質(zhì)很多，在高考中以等差中項和等比中項的考查為主，在應(yīng)用時，要注意等式兩邊的項的序號之間的關(guān)系．2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯公式．方程思想的應(yīng)用往往是破題的關(guān)鍵．3.解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系．如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解．4.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用．但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形．