（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.12 函數(shù)模型及其應(yīng)用（練）-江蘇版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專題2.12函數(shù)模型及其應(yīng)用一、填空題1．給出下列函數(shù)模型：①一次函數(shù)模型；②冪函數(shù)模型；③指數(shù)函數(shù)模型；④對(duì)數(shù)函數(shù)模型．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是________(填序號(hào)).x45678910y15171921232527【答案】① 【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．2．某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是________(填序號(hào))．【答案】①3．某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出電話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差________元．【答案】10【解析】設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k2t，當(dāng)t＝100時(shí)，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時(shí)，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為________m.【答案】20【解析】設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為y，則由相似三角形性質(zhì)可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，當(dāng)x＝20時(shí)，Smax＝400.5．(2017·長(zhǎng)春模擬)一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過(guò)8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)________min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．【答案】166．A，B兩只船分別從在東西方向上相距145km的甲乙兩地開出．A從甲地自東向西行駛．B從乙地自北向南行駛，A的速度是40kmh，B的速度是16kmh，經(jīng)過(guò)________h，AB間的距離最短．【答案】eq\f(25,8)【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)xh，A，B相距為ykm，則y＝eq\r(145－40x2＋16x2)＝eq\r(1856t2－11600t＋1452)(0≤x≤eq\f(29,8))，求得函數(shù)的最小值時(shí)x的值為eq\f(25,8).7．某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為________．【答案】10【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費(fèi)用為y，則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費(fèi)用為y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5，由基本不等式得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時(shí)取等號(hào)．8．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)金130萬(wàn)元．在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是________(參考數(shù)據(jù)：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)．【答案】2019二、解答題9．現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？解(1)V＝eq\f(1,3)×62×2＋62×2×4＝312(m3)．(2)設(shè)PO1＝x，則O1B1＝eq\r(62－x2)，B1C1＝eq\r(2)·eq\r(62－x2)，∴SA1B1C1D1＝2(62－x2又由題意可得下面正四棱柱的高為4x.則倉(cāng)庫(kù)容積V＝eq\f(1,3)x·2(62－x2)＋2(62－x2)·4x＝eq\f(26,3)x(36－x2)．由V′＝0得x＝2eq\r(3)或x＝－2eq\r(3)(舍去)．由實(shí)際意義知V在x＝2eq\r(3)(m)時(shí)取到最大值，故當(dāng)PO1＝2eq\10．(2017·南通模擬)某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？能力提升題組11．(2017·南京調(diào)研)某市對(duì)城市路網(wǎng)進(jìn)行改造，擬在原有a個(gè)標(biāo)段(注：一個(gè)標(biāo)段是指一定長(zhǎng)度的機(jī)動(dòng)車道)的基礎(chǔ)上，新建x個(gè)標(biāo)段和n個(gè)道路交叉口，其中n與x滿足n＝ax＋5.已知新建一個(gè)標(biāo)段的造價(jià)為m萬(wàn)元，新建一個(gè)道路交叉口的造價(jià)是新建一個(gè)標(biāo)段的造價(jià)的k倍．(1)寫出新建道路交叉口的總造價(jià)y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)P是新建標(biāo)段的總造價(jià)與新建道路交叉口的總造價(jià)之比．若新建的標(biāo)段數(shù)是原有標(biāo)段數(shù)的20%，且k≥3.問(wèn)：P能否大于eq\f(1,20)，說(shuō)明理由．解(1)依題意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一依題意x＝0.2a所以P＝eq\f(mx,y)＝eq\f(x,kax＋5)＝eq\f(0.2a,k0.2a2＋5)＝eq\f(a,ka2＋25)12．(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為x(單位：元，x>0)時(shí)，銷售量q(x)(單位：百臺(tái))與x的關(guān)系滿足：若x不超過(guò)20，則q(x)＝eq\f(1260,x＋1)；若x大于或等于180，則銷售量為零；當(dāng)20≤x≤180時(shí)，q(x)＝a－beq\r(x)(a，b為實(shí)常數(shù))．(1)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(rùn)(單位：元)取得最大值，并求出該最大值．解(1)當(dāng)20≤x≤180時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b·\r(20)＝60，,a－b·\r(180)＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝90，,b＝3\r(5).))故q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20<x<180，,0，x≥180.))(2)設(shè)總利潤(rùn)f(x)＝x·q(x)，由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0<x≤20，,9000x－300\r(5)·x\r(x)，20<x<180，,0，x≥180，))當(dāng)0<x≤20時(shí)，f(x)＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，又f(x)在(0,20]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)有最大值120000.當(dāng)20<x<180時(shí)，f(x)＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，f′(x)＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′(x)＝0，得x＝80.當(dāng)20<x<80時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)80<x<180時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝80時(shí)，f(x)有最大值240000.當(dāng)x≥180時(shí)，f(x)＝0.綜上，當(dāng)x＝80元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值240000元．13．(2017·蘇北四市調(diào)研)如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝