預(yù)習(xí)10講正弦定理2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)提升課（人教A版2019）原卷版

2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)精品課（人教A版2019必修第二冊）預(yù)習(xí)10講正弦定理（精講+精練）①已知兩角和一邊解三角形②已知兩邊和其中一邊的對角解三角形③判斷三角形的形狀④與三角形面積相關(guān)的問題⑤正余弦定理的綜合應(yīng)用一、正弦定理（1）正弦定理的描述①文字語言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.②符號語言：在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有（2）正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）二、三角形面積公式三角形面積的計(jì)算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).題型一：題型一：已知兩角和一邊解三角形策略方法解決已知兩角及一邊類型的解題方法

(1)若所給邊是已知角的對邊時(shí),可由正弦定理求另一邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,最后由正弦定理求第三邊.

(2)若所給邊不是已知角的對邊時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.【題型精練】一、單選題1．在△ABC中，若，，，則（

）A． B． C． D．2．在中，已知，，，則邊的長為（

）A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A．8 B．5 C．4 D．3二、填空題4．設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則．5．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，，，則.6．在中，若，，，則．題型二：題型二：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形策略方法(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路①由正弦定理求出另一邊對角的正弦值;②如果已知的角為大邊所對的角時(shí),由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求銳角;③如果已知的角為小邊所對的角時(shí),則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角,要分類討論.(2)已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法①應(yīng)用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個(gè)數(shù);②在△ABC中,已知a,b和A,以點(diǎn)C為圓心,以邊長a為半徑畫弧,此弧與除去頂點(diǎn)A的射線AB的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù),解的個(gè)數(shù)見下表:A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<b無解無解a>bsinA兩解a=bsinA一解a<bsinA無解【題型精練】一、單選題1．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若則的值可以為（

）A． B． C． D．或2．中，，，，則（

）A． B． C． D．3．在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則C=（

）A． B． C． D．5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則cosB=（

）A． B． C． D．6．在中，角，，所對的邊分別為，，．，，則（）A． B． C． D．7．已知中，，，，則（

）A． B．或 C． D．或8．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，二、多選題9．在中，，，，則可能為（

）A． B． C． D．10．在中，，，則可能為（

）A． B． C． D．三、填空題11．在中，角的對邊分別為，，，．則．12．在中，角、、的對邊分別為、、，已知，，，則．13．在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為.四、解答題14．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，(1)若，求b；(2)若，求b．題型三：題型三：判斷三角形的形狀策略方法(1)判斷三角形形狀時(shí),應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化,要么把角轉(zhuǎn)化為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,要么把邊轉(zhuǎn)化為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系,當(dāng)然也可以邊角同時(shí)考慮.(2)在解題中,若出現(xiàn)關(guān)于邊的齊次式(方程),或關(guān)于角的正弦的齊次式(方程),可通過正弦定理,進(jìn)行邊角互化.【題型精練】一、單選題1．已知的三個(gè)角的對邊分別為，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．在中，已知，且，則該三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形3．在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形4．在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形5．在中，角所對的邊分別為，已知，，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形6．若，且，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形7．在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．在△ABC中，已知，且，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形題型四：與題型四：與三角形面積相關(guān)的問題策略方法三角形面積的計(jì)算公式①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；【題型精練】一、單選題1．在中，，，則（）A． B． C． D．2．已知中，，且的面積為，則（

）A． B．或 C． D．或3．在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．214．在中，分別是角所對的邊，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．在中，若，則的面積為（

）A． B． C．或 D．6．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（

）A． B． C．1 D．27．在中，，，分別為，，的對邊，且，，的面積為，那么等于（

）A． B． C． D．8．在中，角所對的邊分別是且，面積為，則邊的長為(

)A． B． C．或 D．二、多選題9．在中，，，，則的面積可以為（

）A． B． C． D．10．在中，，，，則的面積是（

）A． B． C． D．11．已知的內(nèi)角的對邊分別為，已知，銳角C滿足，則（

）A．的面積為 B．C． D．三、填空題12．已知銳角三角形中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的面積為，則.13．在中，，，，則邊上的高為.14．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為.15．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，的面積為，，，則.四、解答題16．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，滿足.(1)求外接圓的面積；(2)若，求的面積.17．已知內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).(1)求；(2)若的面積為，求的值.18．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知.(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長.題型五：正余弦定理的綜合應(yīng)用題型五：正余弦定理的綜合應(yīng)用策略方法(1)判斷三角形形狀時(shí),應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化,要么把角轉(zhuǎn)化為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,要么把邊轉(zhuǎn)化為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系,當(dāng)然也可以邊角同時(shí)考慮.(2)在解題中,若出現(xiàn)關(guān)于邊的齊次式(方程),或關(guān)于角的正弦的齊次式(方程),可通過正弦定理,進(jìn)行邊角互化.【題型精練】一、單選題1．在中，，則（

）A． B．C． D．2．在中，已知，則（

）A． B． C． D．3．在中，若，則的面積為（

）A． B． C．或 D．4．在中，，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．5．已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形6．已知的角的對邊分別為，且滿足，若，，則（

）A． B． C． D．7．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（

）A． B． C．4 D．8．在中，，的面積為2，則三角形外接圓的半徑為（

）A． B． C． D．9．已知在中，，，則（

）A． B． C． D．10．在中，，，所對的邊分別是，，，，，且滿足，則該三角形的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題11．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．12．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若，則此三角形為等腰三角形13．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則為等腰三角形D．若，，，則只有一解14．在中，在線段上，且，若，，則（

）A． B．的面積為8C．的周長為 D．為鈍角三角形三、填空題15．在中，角所對的邊分別為，且，，，則=．16．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，，則；面積為．17．已知的內(nèi)角、、的對邊分別是，，，若，，，則的面積為.18．△ABC的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足：．面積為，外接圓直徑為4，則的周長為．19．的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為．20．已知中，，，的對邊分別為a，b，c，若，，給出下列條件中：①，②，③，能使有