人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)24.1圓定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。（3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。（4）垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。注：圓心一般用字母O表示直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），用字母π表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，π≈3.14。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表示。一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。周長(zhǎng)計(jì)算公式1.、已知直徑：C=πd2、已知半徑：C=2πr3、已知周長(zhǎng)：D=cπ4、圓周長(zhǎng)的一半:12周長(zhǎng)(曲線)5、半圓的長(zhǎng)：12周長(zhǎng)+直徑面積計(jì)算公式：1、已知半徑：S=πr平方2、已知直徑：S=π（d2）平方3、已知周長(zhǎng)：S=π(c2π)平方24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系①點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑②點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑③點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑2.過三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3.外接圓和外心經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。4.直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。5.直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么①直線和⊙O相交；②直線和⊙O相切；③直線和⊙O相離。圓和圓定義：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切。兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離＜＝＞d＞R+r兩圓外切＜＝＞d=R+r兩圓相交＜＝＞R-r＝r)兩圓內(nèi)切＜＝＞d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含＜＝＞dr)24.3正多邊形和圓1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的對(duì)稱軸有n條。(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。知識(shí)講解1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗痪哂懈鹘窍嗟龋鬟叢灰欢ㄏ嗟?；菱形不是正多邊形，因?yàn)?，它只具有各邊相等，而各角不一定相等?、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是⊙O的內(nèi)接正六邊形。3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長(zhǎng)an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD……根據(jù)以上講解，我們來分析RtΔAOM的基本元素：斜邊OA——正n邊形的半徑Rn；一條直角邊OM——正n邊形的邊心距rn；一條直角邊AM——正n邊形的邊長(zhǎng)an的一半即AM＝an；銳角∠AOM——正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝；銳角∠OAM——正n邊形內(nèi)角的一半即∠OAM＝[(n－2)·180°]；可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來等分圓。由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形。(2)用尺規(guī)來等分圓。對(duì)于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。通過簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。5、正多邊形的對(duì)稱性。正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。如：正三角形、正方形。24.4弧長(zhǎng)和扇形面積知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C＝2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，說明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫成。（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是。又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)＝弦長(zhǎng)＋弧長(zhǎng)（3）弓形的面積如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計(jì)算出來，就可以得到弓形AmB的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，例：如圖所示，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，則圖中陰影部分的面積是（）（結(jié)果用表示）分析：由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以，所以注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖